Числовые последовательности

1.

2.

Понятие числовой последовательности
Рассмотрим ряд натуральных чисел N:
1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, …
Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального
аргумента или числовой последовательностью и обозначают
y = f(n) или y1, y2, …, yn, … или {уn}.
Величина уn называется общим членом последовательности.
Обычно числовая последовательность задаётся некоторой
формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член
последовательности по его номеру n;
эта формула называется формулой общего члена.

3.

Примеры числовых последовательностей
1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где n N;
и т.д.

4.

Способы задания
последовательностей
1.
Перечислением членов последовательности (словесно).
2. Заданием аналитической формулы.
3. Заданием рекуррентной формулы.
Примеры:
1. Последовательность простых чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
2. Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
3. Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q

5.

Ограниченность числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше
некоторого числа.
Последовательность {уn} ограниченна сверху, если
существует число M такое, что для любого п
выполняется неравенство
уп ≤ М
Число
М
называют
верхней
границей
последовательности.
Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

6.

Ограниченность числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше
некоторого числа.
Последовательность
{уn}
ограниченна
снизу,
если
существует число m такое, что для любого п
выполняется неравенство
уп ≥ m
Число m называют нижней границей последовательности.
Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.
Если последовательность ограничена и сверху и снизу,
то ее называют ограниченной последовательностью.

7.

Возрастание и убывание числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют возрастающей
последовательностью, если каждый ее член больше
предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п – 1, … - возрастающая
последовательность.
Последовательность {уn} называют убывающей
последовательностью, если каждый ее член
меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …
Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п – 1), … - убывающая
последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности
называют монотонными

8.

Предел числовой последовательности
Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой
приближается к некоторому числу a при увеличении
порядкового номера n.
В этом случае говорят, что числовая последовательность
имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.
Число а называется пределом числовой последовательности {un}
если для любого ε > 0 найдется такое число N = N(ε), зависящее
от ε, что │un – a│< ε при n > N
lim un a
n

9.

Предел числовой последовательности
Это определение означает, что a есть предел числовой
последовательности, если её общий член неограниченно
приближается к a при возрастании n. Геометрически это
значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число
N, что начиная с n > N все члены последовательности
расположены внутри интервала (a – ε, a + ε).
Последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся; в противном случае – расходящейся.

10.

Рассмотрим последовательность:
1;
1 1 1 1
1
; ; ; ; ...; ; ... – гармонический ряд
2 3 4 5
n
Если m N, k R, то lim
k
n n
Если │q│< 1, то
m
1
0
n n
lim
0
lim q n 0
n
Если │q│> 1, то последовательность уn = q
n
расходится

11.

Свойства пределов
Если
lim хn, b, то
n
lim yn с
n
1. предел суммы равен сумме пределов:
lim хn уn b c
n
2. предел произведения равен произведению пределов:
lim хn уn bc
n
3. предел частного равен частному пределов:
хn
lim
n у n
b
с
4. постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim kхn kb
n

12.

Примеры:
1) lim
1
n n 2
1
1
1 1
lim lim lim 0 0 0
n n n
n n n n
2
5
2 5
2) lim 2 3 lim lim 2 lim 3 0 0 3 3
n n
n
n
n n n n
1
1
1
1 1
lim
...
lim
...
lim
0 ... 0 0
k
n n
n n n
n n n n n
3) lim
1
2n 2
3
2
2
2n 2 3
n
n
lim
4) lim 2
n n 4
n n 2
4
2 2
n
n
3
2
lim
n2
n
4
1
n2
3
lim 2 lim 2
n
n n
2 0
2
4 1 0
lim 1 lim 2
n
n n
lim 2 3
2
n
n
4
lim
1
2
n
n

13.

Горизонтальная асимптота графика
функции
lim f ( n ) b
n
Это равенство означает, что прямая у = b
является горизонтальной асимптотой графика
последовательности yn = f(n), то есть графика
функции y = f(х), х N
у
у=b
y = f(x)
0
х

14.

Сумма бесконечной геометрической
прогрессии
Пример:
b1
S
1 q
Дано: b1 + b2 + b3 + b4 + … + bn + … = 9;
(b1)2 + (b2)2 + (b3)2 + (b4)2 + … + (bn)2 + … = 40,5.
Найти: b5.
Решение:
b1
1 q 9,
2
b1 40,5;
1 q 2
b1 9 1 q ,
2
2
9 1 q
40,5;
2
1 q
4
b1 9 1 q ,
1 q 1
1 q 2 ;
2
1
b5 6
.
27
3
b1 6,
1
q
.
3
2
Ответ:
.
27

15.

Предел функции на бесконечности lim f(x) b
x
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b
при x → ∞, если для произвольного малого положительного
числа ε можно указать такое положительное число M,
что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству
|x| > M, выполняется неравенство |f(x) − b| < ε.
В этом случае прямая у = b является горизонтальной
асимптотой графика функции y = f(x).
у
у=b
y = f(x)
0
х

16.

Предел функции в точке lim f(x) b
x a
Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a, если для
каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было,
можно указать такое положительное число δ, что при
всех x ≠ a из области определения функции,
удовлетворяющих неравенству |x − a| < δ, имеет место
неравенство |f(x) − b| < ε.
у
y = f(x)
b
0
а
х

17.

Непрерывность функции в точке
Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке
x = a, если выполняется условие
lim f(x) f ( a )
x a
Примеры:
1 lim x 3 2x 2 5x 3 13 2 12 5 1 3 7
x 1
2 lim
x 2
sin πx
x 4
sin 2π
2 4
0
2 4
0
x2 9 0
x 3 x 3
x 3
3 lim
lim
lim
x 3 4x 12
x 3 4
0 x 3 4 x 3
3 3
6
1,5
4
4