Числовые последовательности

1.

2.

Понятие числовой последовательности
Рассмотрим ряд натуральных чисел N:
1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, …
Функцию
y=f(x),
x N
называют
функцией
натурального
аргумента
или
числовой
последовательностью и обозначают
y=f(n) или y1, y2,
…, yn, … или {уn}.
Величина
уn
называется
последовательности.
общим
членом
Обычно
числовая
последовательность
задаётся
некоторой формулой уn=f(n), позволяющей найти любой
член последовательности по его номеру n; эта формула
называется формулой общего члена.

3.

Примеры числовых
последовательностей
1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где n N;
и т.д.

4.

Способы задания последовательностей
1. Перечислением
членов
последовательности
(словесно).
2. Заданием аналитической формулы.
3. Заданием рекуррентной формулы.
Примеры:
1. Последовательность простых чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
2. Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
3. Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q

5.

Ограниченность числовой последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной сверху,
если все ее члены не больше некоторого числа.
Последовательность {уn} ограниченна сверху, если
существует число M такое, что для любого п выполняется
неравенство
уп ≤ М
Число
М
называют
последовательности.
верхней
границей
Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

6.

Ограниченность числовой последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной снизу,
если все ее члены не меньше некоторого числа.
Последовательность {уn} ограниченна снизу, если
существует число m такое, что для любого п выполняется
неравенство:
уп ≥ m
Число
m
называют
последовательности.
нижней
границей
Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.
Если последовательность ограничена и сверху и
снизу,
то
ее
называют
ограниченной
последовательностью.

7.

Возрастание и убывание числовой
последовательности
Последовательность
{уn}
называют
возрастающей
последовательностью, если каждый ее член больше
предыдущего: у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.
Последовательность
{уn}
называют
убывающей
последовательностью, если каждый ее член меньше
предыдущего: у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …
Пример: 1, 1/3,
последовательность.
1/5,
1/7,
1/(2п–1),
…
-
убывающая
Возрастающие и убывающие последовательности
называют монотонными

8.

Предел числовой последовательности
Рассмотрим числовую последовательность, общий член
которой приближается к некоторому числу a при увеличении
порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая
последовательность имеет предел.
Число а называется пределом числовой
последовательности {уn}:
lim un a
n
если для любого ε > 0 найдется такое число
N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│< ε при n > N

9.

Предел числовой последовательности
Это определение означает, что a есть предел
числовой последовательности, если её общий член
неограниченно
приближается
к
a
при
возрастании n.
Геометрически
это
значит,
что
для
любого ε>0 можно найти такое число N, что начиная
с n>N все члены последовательности расположены
внутри интервала (a – ε, a + ε).
Последовательность,
называется сходящейся;
расходящейся.
имеющая
в противном
предел,
случае –

10.

Рассмотрим
последовательность:
1 1 1 1
1
1; ;
; ;
; ...;
; ... – гармонический ряд
2 3 4 5
n
1
lim
0
n n
Если │q│< 1, то
lim q 0
n
n
Если │q│> 1, то последовательность уn = q n
расходится

11.

Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.
Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа
функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
[ f ( x) g ( x)]
lim
x x0 ( )
lim
x x0 ( )
f ( x)
lim
x x0 ( )
g ( x).
Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций
равен произведению пределов этих функций, т.е.
lim
[ f ( x) g ( x)]
x x0 ( )
lim
x x0 ( )
f ( x)
lim
x x0 ( )
g ( x).
Следствие. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак
предела, т.е.
lim [Cf •( x)] C lim
f ( x).
x x ( )
x x ( )
0
0

12.

Основные теоремы о пределах
Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.
lim
[ f ( x)]n [
x x0 ( )
lim
x x0 ( )
f ( x)]n .
Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов
этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.
lim
f ( x)
f ( x) x x0 ( )
.
g
(
x
)
lim
g
(
x
)
x x0 ( )
lim
x x0 ( )

13.

Если m N, k R, то
k
lim m 0
n n

14.

Примеры:
1
1 1
1
1
1 ) lim 2 lim lim lim
0 0 0
n n
n n
n n n n
n
2
5
2
5
2 ) lim 2 3 lim lim 2 lim 3 0 0 3 3
n n
n
n
n n n n
1
1 1
1
1
1
3 ) lim k lim ... lim ... lim 0 ... 0 0
n n
n n
n n
n
n n n
2 n2
3
2 3
2
2
2
2 n2 3
n lim
n
lim n2
4 ) lim 2
4
n
n n
n
4
n 4
1 2
2 2
n
n
n
3
3
lim 2 2
lim 2 lim 2
n
n n
2 0
n n
2
4
4
1 0
lim 1 2
lim 1 lim 2
n
n
n n
n

15.

f ( x) b
Предел функции на бесконечности lim
x
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b
при x→∞, если для произвольного малого положительного
числа ε можно указать такое положительное число M, что для
всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M,
выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.
В этом случае прямая у=b является горизонтальной
асимптотой графика функции y=f(x).
у
у=b
y = f(x)
0
х

16.

l im f ( x ) b
Предел функции в точке
x а
Функция y=f(x) стремится к пределу b при x→a, если для
каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было,
можно указать такое положительное число δ, что при всех x≠a
из области определения функции, удовлетворяющих неравенству
|x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε.
у
y = f(x)
b
0
а
х

17.

Непрерывность функции в точке
Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x=a, если
выполняется условие
l im f ( x) f (a)
x а
Примеры:
1) lim x 3 2x 2 5x 3 13 2 12 5 1 3 7
х 1
sin π x sin2π
0
0
х 2 x 4
2 4
2 4
2) lim
( x 3)( x 3)
x2 9 0
x 3 3 3
3
3) lim
lim
lim
х 3 4x 12
х
3
х
3
4( x 3)
4
4
2
0