Числовые последовательности

1.

2.

Понятие числовой последовательности
Рассмотрим ряд натуральных чисел N:
1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, …
Функцию y = f(x), x N называют функцией
натурального аргумента или числовой
последовательностью и обозначают
y = f(n) или y1, y2, …, yn, … или {уn}.
Величина уn называется общим членом
последовательности.

3.

Понятие числовой последовательности
Обычно
числовая
последовательность
задаётся некоторой формулой уn = f(n),
позволяющей
найти
любой
член
последовательности по его номеру n;
эта формула называется формулой
общего члена.

4.

Примеры числовых
последовательностей
1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где n N;
и т.д.

5.

Способы задания
последовательностей
1. Перечислением членов последовательности.
2. Заданием аналитической формулы.
3. Заданием рекуррентной формулы.
Примеры:
1. Последовательность простых чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
2. Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
3. Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q

6.

Ограниченность числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной
сверху, если все ее члены не больше некоторого
числа.
Последовательность {уn} ограниченна сверху,
если существует число M такое, что для любого
п выполняется неравенство
уп ≤ М
Число
М
называют
верхней
границей
последовательности.
Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

7.

Ограниченность числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной
снизу, если все ее члены не меньше некоторого
числа.
Последовательность {уn} ограниченна снизу,
если существует число m такое, что для любого
п выполняется неравенство
уп ≥ m
Число
m
называют
нижней
границей
последовательности.
Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.
Если последовательность ограничена и сверху
и снизу, то ее называют ограниченной
последовательностью.

8.

Возрастание и убывание числовой
последовательности
Последовательность {уn} называют
возрастающей последовательностью,
если каждый ее член больше предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п – 1, … - возрастающая последовательность
Последовательность {уn} называют
убывающей последовательностью, если
каждый ее член меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …
Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п – 1), … - убывающая
последовательность
Возрастающие и убывающие
последовательности называют монотонными

9.

Арифметическая прогрессия
- это последовательность, каждый член
которой, начиная со второго,
отличается от предыдущего на одно и
то же число (разность прогрессии).
d an an 1
an a1 n 1 d
a1 an
Sn
n
2
2a1 n 1 d
Sn
n
2

10.

Геометрическая прогрессия
- это последовательность, каждый член
которой, начиная со второго,
отличается от предыдущего в одно и
тоже число раз (знаменатель
b
прогрессии).
q n
bn 1
bn b1q n 1
b1 q 1
Sn
q 1
n

11.

Упражнения
• Продолжите ряд:
1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6…
77, 49, 36, 18…

12.

Упражнения
• Запишите 5 членов последовательности,
заданной описанием закономерности:
a) Положительные нечетные числа в порядке
возрастания
b) В порядке убывания правильные дроби с
числителем, равным 1
c) Увеличение в два раза и уменьшение на 1
d) Чередование увеличение на 2 и увеличение
в 2 раза

13.

Решение задач
1. Составить возможную формулу n-го
элемента последовательности (yn)
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
b) 4, 8, 12, 16, 20, …
2. Выписать первые 10 элементов
последовательности, заданной
рекуррентно: у1=1, у2=2, yn=yn-2+yn-1,
если n=3, 4, 5,…

14.

Решение задач
3. Последовательность (yn) задана
рекуррентно: у1=1, у2=2, yn=5yn-1-6yn-2.
Задать эту последовательность
аналитически.
4. Дана последовательность yn=24n+36-5n2.
а) Сколько в ней положительных членов?
б) Найдите наибольший элемент.
в) Есть в последовательности
наименьший элемент?