Способы задания и свойства числовых последовательностей

1. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая последовательность

2.

Числовая
последовательность
–
это
множество чисел, каждому из которых можно
присвоить уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:
Всю последовательность мы обычно называем какойнибудь буквой (например, a), и каждый член этой
последовательности – той же буквой с индексом, равным
номеру этого члена: a1, a2 ..., a10, ..., an.

3.

Последовательность
Определение 1.
Функцию вида у= f (х), х ϵ Ν называют
функцией натурального аргумента
или числовой последовательностью
и обозначают у = f (n) или
у1, у2,
у3,…, уn,…, или
(уn).
(аn) – последовательность
а1 ; а2 ; а3 ;…. аn - члены последовательности
Первый
член послед.
n-ый
член послед.

4.  Свойства числовых последовательностей

Свойства числовых последовательностей
Последовательность {an} называется монотонной, если an+1≥ an
или an+1≤an для всех n.
В первом случае это монотонно неубывающая, во втором –
монотонно невозрастающая последовательность.
Если an+1>an или an+1< an для всех n, то говорят, что
последовательность {an} строго монотонна (возрастает в первом
случаем и убывает во втором).
Последовательность {an} называется ограниченной, если
существуют такие числа c и C, что для всех членов
последовательности выполняются неравенства c ≤ an ≤ C.
Ограниченной сверху называется последовательность, для которой
существует такое число C, что для всех членов последовательности
выполняется неравенство an ≤ C.
Ограниченной снизу называется последовательность, для которой
существует такое число c, что для всех членов последовательности
выполняется неравенство an ≥ С.
Если говорят, что последовательность ограничена, это означает, что она
ограничена и сверху и снизу.

5.

Если существует такое натуральное T, что, начиная с некоторого n,
выполняется равенство an = an+1, то последовательность
называется периодической, а T-длиной её периода.
Используя понятия монотонности, ограниченности и периодичности,
можно описать немало простейших свойств последовательностей. Вот
некоторые из них:
1) Если последовательность {an} монотонно возрастающая, то
последовательность {-an} монотонно убывающая, и наоборот.
2) Если последовательность {an} монотонно невозрастающая, то
последовательность {-an} монотонно неубывающая, и наоборот.
Монотонно возрастающая ограниченна снизу, монотонно
убывающая – сверху.
Монотонно возрастающая или монотонно убывающая
последовательность не может быть периодической.
Периодическая последовательность всегда ограничена.

6. Примеры бесконечных числовых последовательностей

• 1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность
натуральных чисел.
• 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных
чисел.
• 1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных
чисел.
• 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность
квадратов натуральных чисел.
• 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых
чисел.

7. Способы задания числовых последовательностей

•Словесный
•Аналитический
•Рекуррентный

8. Словесный способ.

Правило задания описано словами, без
указания каких-либо формул или когда
закономерности между элементами
последовательности нет.
Пример 1. Последовательность простых чисел:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .
Пример 2. Произвольный набор чисел:
1,4,12,25,26,33,39,… .
Пример 3. Последовательность четных чисел:
2,4,6,8,10,12,14,16,… .

9.

10.

Примеры последовательностей.
Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7,
9, 6…
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…

11.

Примеры последовательностей.
Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7,
9, 6…
Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на
нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных
местах: 10, 9, 8, 7
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…
Ответ: Перемножаются две цифры, входящие
в предыдущее число

12. Аналитический способ задания числовых последовательностей

Последовательность задана аналитически, если
указана формула n-ого члена.
Например,
1) yn=n2 – аналитическое задание последовательности
1, 4, 9, 16, …
2) yn=С – постоянная (стационарная)
последовательность
2) yn=2n – аналитическое задание последовательности
2, 4, 8, 16, …

13. Рекуррентный способ задания числовых последовательностей

Рекуррентный способ задания последовательности
состоит в том, что указывают правило,
позволяющее вычислить n-ый член, если
известны ее предыдущие члены
1) арифметическая прогрессия задается
рекуррентными соотношениями a1=a, an+1=an + d
2) геометрическая прогрессия b1=b, bn+1=bn * q

14.

Числа Фибоначчи.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 3
Элементы числовой последовательности, в
которой каждое последующее число равно
сумме двух предыдущих чисел.
Леонардо Фибоначчи - итальянский
математик.
(родился около 1170 — умер после 1228),
Последовательность Фибоначчи
рекуррентно задать легко, а
аналитически – трудно.
n
1 1 5 1 5
xn
5 2 2
n

15. Последовательность чисел Фибоначчи

Филлотаксис (листорасположение) —
правило, по которому располагаются,
например, семечки в соцветии
подсолнуха.
Семечки упорядочены
в два ряда спиралей,
один из которых идет
по часовой стрелке,
другой против неё.

16. Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен сумме
предыдущего члена и одного и того же числа
d, называют арифметической прогрессией, а
число
d
–
разностью
арифметической
прогрессии.
an+1 = an + d , n є N
d = an+1 - an
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … возрастающая
арифметическая прогрессия,
у которой
d = 2.

17.

Определение
арифметической прогрессии
Разность арифметической
прогрессии
Формула n-го
члена арифметической
прогрессии
Сумма n первых
членов арифметической
прогрессии
Характеристическое
свойство арифметической
прогрессии
an+1 = an + d
d = an+1 - an
an = a1+ d · (n - 1)
a1 an
Sn
n
2

18. Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность, все члены которой
отличны от нуля и каждый член которой, начиная
со второго, получается из предыдущего члена
умножением на одно и то же число q, называют
геометрической
прогрессией,
а
число
q
–
знаменателем геометрической прогрессии.
bn = bn - 1 · q
bn = b1 ·
qn - 1
q=
Пример: 54 , 18, 6, 2, … -убывающая
геометрическая прогрессия,
у которой q = 1/3.
bn
bn - 1

19. Развитие учения о прогрессиях

Прогрессия (от латинского progressio) «движение вперёд»
Наблюдая луну от новолуния до полнолуния,
вавилоняне пришли к такому выводу: в первые
пять дней после новолуния рост освещения
лунного диска совершается по закону
геометрической прогрессии со знаменателем 2.

20.

Задача 1.
В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что
на протяжении первой минуты одна из них делится на две.
Запишите колонию, рожденную одной бактерией за семь
минут.(см. рисунок).
1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.
2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.
3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

21.

Решение:
1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.
1;2;4;8;16;32;64.
или (bп) - последовательность,
b1 =1; b2=2;
b3=4; b4=8; b5=16; b6 =32;
b7 =64;
2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.
b3 : b2 =4 : 2=2 ;
b4 : b3 =8 : 4=2;
b5 : b4 = 16 : 8=2; и т.д.
bп+1: b п = q q -знаменатель прогрессии.
q = b2:b1= b3:b2=b4:b3=…= bп+1: b п
3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.
b2 = 2b1
b3= 2 b2
b4= 2b3…..
bп+1 = q b п
Такую последовательность в математике называют геометрической
прогрессией.

22. Задача 2 Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

1
1; 4; 7; 10; 13; …
2
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
1
2
3
3
4
5
6
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
Увеличение
на 3
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
4
5
6
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

23. Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

1; 4; 7; 10; 13; …
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

24.

Задача 3
Определить, какие числовые
последовательности являются
геометрической прогрессией, а
какие арифметической:
1. 3; 6; 12; 24; 48; 56…
2. 1; 12; 23; 34; 45 …
3. −99; 33; −11…
4. −6; 5; 17; 28; 39…
5. 64; 16; 4; 1…
6. 2; 4; 8; 18…

25.

Сравним наши ответы:
Геометрическая прогрессия – 3, 6.
Арифметическая прогрессия – 2, 4.
Не является ни арифметической, ни
геометрической прогрессиями - 1, 5, 7.

26.

Геометрическая прогрессия {bn} - это числовая последовательность,
первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго,
равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число
называют знаменателем геометрической прогрессии.
q – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член
геометрической прогрессии.
Как вы думаете, каким может быть q?
Положительным и отрицательным, но не нулем. Допустим, что
положительное. Пусть в нашем случае
Чему равен второй член b2 и b3?
q у нас
q=3, а b1=4.
b2=4⋅3=12
b3=12⋅3=36
Соответственно, q>0, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый
знак – они положительны.
А что если q отрицательное? Например, q=−3, а b1=4. Чему равен второй
член b2 и b3?
b2=4⋅(−3)=−12
b3=−12⋅(−3)=36
Если q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

27.

q=−3, а b =4
Вернемся к нашей последней прогрессии
и попробуем так же как и в
1
арифметической найти ее 6 член. Как вы уже догадываетесь, есть два способа его нахождения.
Последовательно умножаем каждый член на q.
b2=b1⋅ q =4⋅−3=−12
b3= b1⋅ q ⋅ q = b1⋅ q2 =−12⋅(−3)=36
b4= b1⋅ q ⋅ q⋅ q= b1⋅ q3 =36⋅(−3)=−108
b5= b1⋅ q4 =−108⋅(−3)=324
b6= b1⋅ q5 = 324⋅(−3)=−972
Вывод: Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером, то мы
умножаем первый член геометрической прогрессии b1 на знаменатель q в степени, которая
на 1 единицу меньше, чем порядковый номер искомого числа.
b4=4⋅(−3)4−1=4⋅(−3)3=−108
b6=b1⋅q 6−1
b6=4⋅(−3)6−1=4⋅(−3)5=−972
Приведем формулу в общий вид и получим:
bn=b1⋅qn−1
уравнение
членов
геометрической
прогрессии.

28.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Совсем недавно мы говорили о том, что q может быть как
больше, так и меньше нуля, однако, есть особые
значения
q при которых геометрическая прогрессия
называется бесконечно убывающей. При −1<q<1 –
прогрессия называется бесконечно убывающей.
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую
прогрессию, состоящую из 5 членов.
Допустим, b1=1, а q=1/2, тогда:
bn=b1⋅q n−1
b2=1⋅1/2=1/2
b3=1/2⋅1/2=1/4
b4=1/4⋅1/2=1/8
b5=1/8⋅1/2=1/16
Мы видим, что каждый последующий член меньше
предыдущего в 1/2 раза, но будет ли какое-либо число bn=0?
Вы сразу же ответите – «нет». Вот поэтому и бесконечно
убывающая – убывает, а нулем никогда не становится.

29.

Свойство арифметической прогрессии.
an=(an+1+an−1)/2 - свойство членов арифметической
прогрессии.
Свойство геометрической прогрессии.
Как найти b3, зная b2 и b4?
Умножим
b2⋅b4=b1⋅q ⋅b1⋅q3= b12⋅q4
1) b2⋅b4=b12⋅q4
2) b3=b1⋅q2 следовательно b3=b2⋅b4 Почему?
((из 1) следует b12= b2⋅b4/ q4 , следовательно b1=b2⋅b4q4
подставим b1 в 2) и сократим q))
свойство членов геометрической прогрессии

30.

31.

Сумма членов
геометрической прогрессии.

32.

Формулы для прогрессий
Арифметическая
Рекуррентная
формула
Формула п- члена
Формула суммы ппервых членов
Характеристическое
свойство
Если в прогрессии:
m+n=p+k, то
Связь между двумя
любыми членами
прогрессии и d или q
Формула суммы членов
бесконечно убывающей
прогрессии
Геометрическая
an 1 an d
bn 0, bn 1 bn q
an a1 d (n 1)
bn b1 q n 1
a1 an
Sn
n
2
an 1 an 1
an
2
b1 (1 q n )
Sn
1 q
am an a p ak
bm bn b p bk
a k am
d
k m
bn2 bn 1 bn 1
bk
q k m
bm
b1
Sn
1 q

33.

Задача 5
Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу.
Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают
еще двух человек и так далее. Всего в классе 31 человек. Через сколько дней
гриппом будет болеть весь класс?
Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть 1 человек. 2 -ой
член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в
первый день своего прихода. Общая сумма членов прогрессии равна количеству
учащихся 5А. Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:
Весь класс заболеет за 5 дней.

34.

Домашнее задание: