Геометрический гурман. Геометрия – витамин для мозга. И.Ф. Шарыгин

1. Геометрический гурман

В соответствии с объявлением 2018-2019
учебного года – годом ГЕОМЕТРИИ

2. Геометрия – витамин для мозга. И.Ф. Шарыгин

Геометрия – витамин для мозга.
Планиметрия
И.Ф. Шарыгин
Стереометрия
Аналитическая
геометрия
Начертательная
геометрия

3. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Треугольник – это должен знать каждый!
Признаки равенства треугольников.
1)Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то
треугольники равны.
2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
Соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то треугольники равны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам
другого треугольника, то треугольники равны.
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.
1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является
биссектрисой и высотой.
3) Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
4) Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник
равнобедренный.
5) Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник
равнобедренный.
6) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник
равнобедренный.
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

4. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Треугольник – это должен знать каждый!
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.
1) Сумма внутренних углов треугольника равна 180◦.
2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с
ним углов.
3) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180◦(n−2).
4) Сумма внешних углов n-угольника равна 360◦.
5) Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба
острые или оба тупые.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
1) По двум катетам.
2) По катету и гипотенузе.
3) По гипотенузе и острому углу.
4) По катету и острому углу.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30◦, равен
половине гипотенузы.
Неравенство треугольника. Сумма двух сторон треугольника
больше третьей стороны.
Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины
двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника
параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

5. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Треугольник – это должен знать каждый!
Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, равна половине гипотенузы.
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной
точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.
Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника,
пересекаются в одной точке.
Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.
Подобие. Признаки подобия треугольников.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны
двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то
треугольники подобны.
2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого,
то треугольники подобны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны
трем сторонам другого, то треугольники подобны.
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

6. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Треугольник – это должен знать каждый!
Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит его
сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
1) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус
противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.
2) Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на
тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.
Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен
сумме квадратов катетов.
Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник — прямоугольный.
Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике. Высота
прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть
Среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.
Метрические соотношения в треугольнике.
1)Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между
ними.
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

7. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Треугольник – это должен знать каждый!
2) Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей
Параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3) Формула для медианы треугольника. Если m — медиана треугольника,
проведенная к стороне c, то m=
где a и b —остальные стороны
Четырехугольник
треугольника.
4) Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
5) Обобщенная теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу
противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
Элементы равностороннего треугольника со стороной a. Пусть h,
S, r, R — высота, площадь, радиусы описанной и вписанной окружности
Шестиугольник
равностороннего треугольника со стороной a. Тогда
Формулы площади треугольника.
1) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
2) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус
угла между ними.
3) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус
вписанной окружности.
4) Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на
учетверенный радиус описанной окружности. 5) Формула Герона.
Окружность

8. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Четырехугольник – это должен знать каждый!
Признаки и свойства параллельных прямых.
1)Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной
прямой, параллельной данной.
Четырехугольник
2) Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние
накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
3) Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между
собой.
4) Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник,
противоположные стороны которого попарно параллельны.
Шестиугольник
Свойства и признаки параллелограмма.
1) Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
2) Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3) Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4) Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5) Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
Окружность
6) Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то
этот четырехугольник — параллелограмм.

9. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Четырехугольник – это должен знать каждый!
Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника.
1) Диагонали прямоугольника равны.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм —
прямоугольник.
Ромб. Ромбом называется четырехугольник, все стороны которого равны.
Свойства и признаки ромба.
1) Диагонали ромба перпендикулярны.
2) Диагонали ромба делят его углы пополам.
3) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм —
ромб.
4) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот
параллелограмм — ромб.
Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
Свойство середин сторон четырехугольника. Середины сторон любого
четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две
противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции
называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон
(боковых сторон)
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

10. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Четырехугольник – это должен знать каждый!
Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности
оснований.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции.
1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна
полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.
Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его
противоположных углов равна 180.
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна180, то около
него можно описать окружность.
Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции
видна из центра окружности под прямым углом.
Если M — точка на отрезке AB, причем AM : BM =a : b, то
AM : AB =a : (a+b), BM : AB =b : (a+b).
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

11. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Четырехугольник – это должен знать каждый!
Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые,
пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.
Замечательное свойство трапеции.
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений
боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Формулы площади параллелограмма.
1) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
2) Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус
угла между ними.
3) Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
4) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на
синус угла между ними.
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна
произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

12. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Шестиугольник – это должен знать каждый!
Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле
180°(n-2) и равна 720°
Правильный шестиугольник - это шестиугольник, все стороны которого равны
между собой.
Свойства правильного шестиугольника
все внутренние углы равны между собой
каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
все стороны равны между собой
сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне
Все внутренние углы равны 120 градусам
Радиус вписанной окружности r равен корню из трех, деленному на два и
умноженному на длину стороны
Периметр правильного шестиугольника P равен шести радиусам описанной
окружности или четыре корня из трех, умноженным на радиус вписанной
окружности
Площадь правильного шестиугольника равна трем корням из трех пополам,
умноженным на квадрат радиуса описанной окружности или квадрат стороны
либо площадь правильного шестиугольника равна двум корням из трех,
умноженным на квадрат радиуса вписанной окружности
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

13. Геометрия на плоскости

.
Геометрия на плоскости
Треугольник
• Шестиугольник – это должен знать каждый!
E
D
R=a
P=6a
D=2R=2a
Четырехугольник
F
C
Длина дуги AB равна
Шестиугольник
Длина дуги АВ
A
B
Формула площади сектора
Окружность

14. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Окружность – это должен знать каждый!
Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же
положительное расстояние.
Свойства окружности.
1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром,
перпендикулярен этой хорде.
3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
4) Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
5) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.
6) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
8) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9) Диаметр есть наибольшая хорда окружности.
Замечательное свойство окружности. Геометрическое место точек M, из которых
отрезок AB виден под прямым углом (\AMB ==90), есть окружность с диаметром
AB без точек A и B.
Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под острым углом
(\AMB <90) есть внешность круга с диаметром AB без точек прямой AB.
Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под тупым углом
(\AMB >90), есть внутренность круга с диаметром АB без точек отрезка AB.
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

15. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Окружность – это должен знать каждый!
Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью единственную
общую точку, называется касательной к окружности.
1) Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2) Если прямая l, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна
радиусу, проведенному в эту точку, то прямая l — касательная к окружности.
3) Если прямые, проходящие через точку M, касаются окружности в точках A и B,
то MA=MB.
4) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b
и гипотенузой c, равен (a+b −c)/2
Если M — точка касания со стороной AC окружности, вписанной в
треугольник ABC, то AM = p −BC, где p — полупериметр треугольника.
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон
AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с
прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC
в точках K, L и M. Если \BAC = а, то \KLM =90 −а/2.
Окружность

16. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Окружность – это должен знать каждый!
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его
противоположных сторон равны.
Касающиеся окружности.
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую
точку (точка касания).
1) Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.
2) Окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом
тогда и только тогда, когда R +r =O1O2.
3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним
Если тогда
в четырехугольник
можно
вписать окружность, то суммы
образом
и только тогда, когда
R −r =O1O2.
противоположных
сторон
равны.
4)его
Окружности
с центрами O1 и
O2 касаются
внешним образом в точке K.
Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и
пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C.
Тогда угол AKB =90 и угол O1CO2 =90.
Углы, связанные с окружностью.
1) Угловая величина дуги окружности равна угловой величине центрального угла.
2) Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он
опирается.
Четырехугольник
Шестиугольник
Окружность

17. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Окружность – это должен знать каждый!
3) Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг,
высекаемых хордами.
Четырехугольник
4) Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на
окружности.
5) Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги,
заключенной между ними.
Шестиугольник
Окружность
Площадь круга радиуса R
Длина окружности радиуса R

18. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Шесть фактов наиболее часто используемых в ЕГЭ
1.
Теорема синусов
Четырехугольник
2. Отношение площадей треугольников с
равными высотами
3. Около четырехугольника можно описать окружность
4. Биссектриса, проведенная в треугольнике
делит противоположную сторону так, что
Шестиугольник
Окружность

19. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Шесть фактов наиболее часто используемых в ЕГЭ
5. Дуги, заключенные между параллельными хордами , равны.
тогда АВСD – равнобедренная трапеция.
6. Медиана, проведенная из прямого угла, равна
половине гипотенузы.
Четырехугольник
Некоторые полезные свойства биссектрисы
Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются
в точке M, то \BMC =90 +\A/2.
Шестиугольник
Угол между биссектрисами смежных углов равен 90.
Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных
прямых и секущей перпендикулярны.
Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на ее
средней линии.
Теорема Штейнера—Лемуса. Если две биссектрисы треугольника
равны, то он равнобедренный
Окружность

20. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Полезные свойства высот, медиан и биссектрис
Некоторые полезные свойство высот
Высоты параллелограмма, опущенные из одной
вершины, образуют угол, равный углу
параллелограмма при соседней вершине
Четырехугольник
В трапеции с перпендикулярными
диагоналями ее высота равна средней линии
FH=(BC+AD)/2
Некоторые полезные свойство медиан
В равнобедренном треугольнике две медианы,
проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана
одновременно является биссектрисой и высотой.
Если в треугольнике две медианы равны, то треугольник —
равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой
и высотой угла при своей вершине.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих
треугольников.
Если треугольник разносторонний , то его биссектриса, проведённая из
любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той
же вершины.
Шестиугольник
Окружность

21. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Гурманомания
Теорема Чевы
Три чевианы AA',BB',CC’ треугольника ABC проходят через одну точку
тогда и только тогда, когда:
|BA1|· |CB1| · |AC1|=|CA1| · |AB1| · |BC1|
y
Четырехугольник
=1
y
Дано:
АС1:С1В=2:1
ВА1=А1С
Найти: СВ1:В1А
Решение:
2x
=1
СВ1:В1А = 1 : 2
Ответ: СВ1:В1А = 1 : 2
2·1
=1
x
Шестиугольник
= 0, 5
Окружность

22. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Гурманомания
Теорема Ван – Обеля
Для трех чевиан, пересекающихся внутри треугольника ABC в точке P,
справедливо равенство:
Четырехугольник
Дано:
АА1, ВВ1, СС1 - биссектрисы
АВ + ВС = 13
АС = 8
Найти: ВО: ОВ1
Шестиугольник
Решение:
- согласно свойству биссектрис
по теореме Ван – Обеля
тогда
Ответ : 13 : 8
+
т.е. ВО : ОВ1 = 13 : 8
+
Окружность

23. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Гурманомания
Теорема Менелая
Если прямая пересекает стороны AB и BC в точках C1 и A1
соответственно, а также продолжение прямой AC в точке B1, то
выполнено следующее соотношение:
Дано:
АВС
АС = 4
ВМ и АN – медианы, К АВ
ОК АС = Р
Найти: АР
Выделим АВМ
Т.к ВМ – медиана ВО : ОМ = 2 : 1
АМ = 2 , пусть АР – у
Р
Шестиугольник
В
3x
K
x
А
Ответ: АР = 4
Четырехугольник
N
О
М
С
Окружность

24. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Гурманомания
Симедиана – чевиана, симметричная медиане относительно
биссектрисы, проведенной из той же вершины.
Симедиана – чевиана, делящая противоположную сторону в
отношении квадратов прилежащих сторон.
Четырехугольник
В
А
М
N
С
Шестиугольник
В
Лемма: В треугольнике проведен отрезок,
антипараллельный одной из сторон.
Тогда прямые, содержащие медиану
большого и симедиану маленького
А
треугольника, совпадают.
P
антипараллельны
K
М
С
Окружность

25. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Гурманомания
Основная задача: прямая, содержащая симедиану треугольника
проходит через точку пересечения касательных из двух его вершин к
описанной окружности треугольника.
Задача:
В остроугольном треугольнике
ABC точки Е и F основания
Проекции высоты ВК на стороны АВ и
ВС соответственно.
К окружности вокруг треугольника BEF
в точках E и F проведены касательные.
Требуется доказать, что их точка
пересечения лежит на прямой,
содержащей медиану
треугольника .
Четырехугольник
Шестиугольник
Решение: заметим, что ВР
симедиана треугольника BEF, а
следовательно АС антипараллельна EF.
Таким образом ВМ медиана
треугольника АВС.
Окружность

26. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Гурманомания
Всероссийская олимпиада по геометрии 2012
Дан АВС. Касательная в точке С к его описанной окружности пересекает
прямую АВ в точке D. Касательные к описанной окружности АСD в
точках А и С пересекаются в точке К. Докажите, что прямая DK делит
отрезок ВС пополам.
Четырехугольник
Разберем решение на доске
Гармонический четырехугольник.
Определение: Вписанный в окружность четырехугольник называется
гармоническим, если произведения его противоположных сторон равны.
Свойство: диагонали гармонического четырехугольника
являются симедианами.
Шестиугольник
Лемма: если во вписанном четырехугольнике
одна диагональ является симедианой,
то он гармонический.
Окружность
https://yadi.sk/i/-7sPFyNP3amjvP

27. Геометрия на плоскости

Треугольник
• Гурманомания
Теорема. Основания перпендикуляров, опущенных на
стороны треугольника (или их продолжения) из точки,
лежащей на описанной около окружности, лежат на одной
прямой. Прямая Симпсона.
Всероссийская олимпиада по геометрии, 2014
Дан прямоугольник ABCD. Через точку B
провели две перпендикулярные прямые.
Первая прямая пересекает сторону AD в
точке K, а вторая продолжение стороны CD в
точке L. Пусть F – точка пересечения KL и
AC. Докажите, что BF KL.
Четырехугольник
Шестиугольник
Разберем решение на доске
https://yadi.sk/i/ZmFFbnuA3ammth
Окружность

28. https://foxford.ru/about_foxford

Подготовка к
ОГЭ
Карточки
«Я знаю
геометрию!»
https://foxford.ru/ab
out_foxford
https://yadi.sk/
i/DkmOQFo_3
amodP
Желаю
удачи!