Повторение планиметрии

1.

Справочник
планиметрии.

2.

1.Угол.
В
биссектриса
А
D С
H
САМ
4. Смежные углы.
С
D
СAD и ВАСсмежные
СAD + ВАС=180˚
ВАС=180˚
3.Виды углов.
С
ВАС
АМ - биссектриса
В
В
М
вершина
ВАМ=
2.Развёрнутый угол.
С
А
А
В
BAD=90˚прямой
СAВ<90˚острый
НAВ>90˚тупой
5. Вертикальные углы равны.
С
А
В
H
D
Вернуться

3.

5.Угол между прямыми.
С
А
В
<90˚
6.Углы при секущей.
c
4
а
H
D
1
2
3
8
b
Пары углов: (2;8); (3;5)-накрест
лежащие, (1;5); (4;8); (3;7); (2;6)соответственные, (3;8); (2;5)односторонние.
7.Параллельные прямые.
а
5
6
7
а||b
b
8.Признаки и свойства параллельных прямых.
1
а
b
3
а
а||b
5
c
b
а
b
2
а||b
5
c
а||b
5
c
Вернуться
<2+<5=180˚

4.

Треугольники.
Вернуться
1.Треугольник, его элементы.
2.Признаки равенства.
3.Подобие.
4. Линейные элементы.
5. Площадь.
6. Теоремы синусов и косинусов.
7. Вписанная и описанная окружности.
8. Виды.

5.

1. Треугольник.
вершина
А
М
Вернуться
Геометрическая фигура, состоящая из трёх
точек, не лежащих на одной прямой, и трёх
отрезков, попарно их соединяющих,
называется треугольником.
сторона
С
вершина
вершина
В
2. Неравенство треугольника.
В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других
сторон и больше их разности. В противном случае треугольник
не существует: ВС-АС<АВ<ВС+АС…
3. Внешний угол треугольника и его свойство.
Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется
внешним углом треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника,
не смежных с ним:
АВМ= С+ А
4.Сумма углов треугольника. А+ В+ С=180˚.

6.

5.Признаки равенства треугольников.
А₁
А
По двум сторонам и углу
между ними.
В
А
С
В₁
А₁
С₁
По стороне и двум углам,
прилежащим к ней.
В
А
С В₁
А₁ С₁
По трём сторонам.
В
С В₁
С₁
Вернуться

7.

Подобие треугольников.
Вернуться
1.Признаки подобия.
2.Примеры и свойства.

8.

6.Признаки подобия треугольников.
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них
соответственно равны углам другого, а сходственные стороны
пропорциональны:
А= А₁; В= В₁; С= С₁; АВ:А₁В₁=АС:А₁С₁=ВС:В₁С₁=k.
В₁
В
По двум углам .
А С₁
С
В
ka
a
b А С₁
С
В
С
В₁
А₁
a
c
b
А С₁
По двум сторонам и углу
между ними.
kb
В₁
ka
А₁
kc
kb
А₁
По трём сторонам.
Вернуться

9.

7. Примеры и свойства подобных треугольников.
А
В₁
С₁
В
С
Прямая, параллельная стороне треугольника,
отсекает от него треугольник, подобный данному.
Сходственные биссектрисы, медианы и высоты треугольников
пропорциональны сходственным сторонам.
Отношение периметров подобных треугольников равно отношению
cходственных сторон (коэффициенту подобия k) .
РАВС
k
РА1В1С1
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
отношения cходственных сторон (квадрату коэффициента
S АВС
подобия k²) .
2
S А1В1С1
k
Вернуться

10.

Линейные элементы.
Вернуться
1.Медиана.
2.Высота.
3.Биссектриса.
4.Средняя линия.

11.

8. Медиана треугольника.
А
С₁
В₁ Медианой треугольника называется отрезок,
соединяющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны.
М
В
А₁
С
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре
тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая
от вершины: АМ:МА₁=ВМ:МВ₁=СМ:МС₁=2:1.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих (с равными
площадями) треугольника.
Все медианы треугольника делят его на 6 равновеликих
треугольников.
2
2
2
2b 2c a
АА1 та
4
2
2
Вернуться

12.

9. Высота треугольника.
А
Высотой треугольника называется
С₁
В₁
Н
В
А₁ С
А
В₁
А₁
Н
В
С₁
перпендикуляр, опущенный из вершины
треугольника к прямой, содержащей
противолежащую сторону .
Все высоты треугольника или прямые, их
содержащие, пересекаются в
одной точке – ортоцентре треугольника.
С АА1 ha ; BB1 hb ; CC1 hc
Н ортоцентр
1 1 1 1
ha hb hc r
r- радиус вписанной окружности.
Вернуться

13.

10. Биссектриса треугольника.
А
С₁
В
О
А₁
Вернуться
Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника,
В₁ расположенный внутри него.
Все биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке – центре вписанной окружности.
С
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам .
ВА1 СА1
ВА СА
ВС1 АС1
ВС
АС
АВ1 СВ1
АВ СВ
11. Средняя линия треугольника.
А
В
М
N
Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух сторон
треугольника.
С
Средняя линия треугольника параллельна
третьей стороне и равна её половине.

14.

Виды треугольников.
Вернуться
1.Прямоугольный.
2.Равнобедренный.
3.Равностороний (правильный).

15.

b катет
17. Прямоугольный треугольник.
А
Треугольник называется прямоугольным,
С
если у него есть прямой угол.
тс
О
а катет
Теорема Пифагора.
Квадрат длины гипотенузы равен сумме
В квадратов длин катетов.
c2 a 2 b2
Теорема, обратная теореме Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный.
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника,
равна её половине: тс=с:2.
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она
проведена, то этот треугольник прямоугольный, и эта сторона
является гипотенузой.
Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника
совпадает с серединой гипотенузы.
Вернуться

16.

18. Тригонометрические функции острых углов в
прямоугольном треугольнике.
А
90
В
А
Н
bc
h
С
a
b
a
; cos A ; tgA
c
c
b
b
a
b
sin B ; cos B ; tgB
c
c
a
sin A
ac
а
В
19. Средние пропорциональные отрезки.
Катет прямоугольного треугольника является средним
пропорциональным отрезком гипотенузы и проекции этого
катета на гипотенузу.
b c bc ; a c ac
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла является средним пропорциональным отрезком
проекций катетов на гипотенузу:
h ac bc
Вернуться

17.

Вернуться
22.Равнобедренный треугольник.
А вершина Равнобедренным называется треугольник,
у которого две стороны равны.
С₁
В
Углы при основании равны.
Высота, проведённая из вершины, является
биссектрисой и медианой.
В₁
А₁
основание
С
Высоты (биссектрисы, медианы),
проведённые к боковым сторонам
равны .
23.Признаки равнобедренного треугольника.
1.Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2.Если в треугольнике высота является биссектрисой или медианой,
то этот треугольник равнобедренный.
3.Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный.
4.Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный.
5.Если в треугольнике 2 высоты (биссектрисы, медианы) равны,
то этот треугольник равнобедренный. .

18.

24.Равносторонний (правильный) треугольник.
А
Правильным (равносторонним) называется
треугольник, у которого все стороны равны.
С₁
О
В₁
25. Свойства.
1.Все углы равны 60˚.
В
А₁
С
2. Точки пересечения медиан, биссектрис,
высот, серединных перпендикуляров
совпадают. Эта точка называется центром
треугольника и является центром вписанной
и описанной окружностей.
3. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении
2:1, считая от вершины .
3
R
2r
;
h R 3r
4. Формулы. a R 3;
2
a2 3
5. Площадь. S
4
Вернуться

19.

Параллелограммы.
Вернуться
1.Параллелограмм.
2.Ромб.
3. Прямоугольник.
4.Квадрат.

20.

26. Определение.
Вернуться
В
С
О
А
D
Параллелограммом называется
четырёхугольник, у которого
противоположные стороны
попарно параллельны.
27. Свойства.
1.Противоположные углы равны.
2.Односторонние углы в сумме составляют 180˚.
3.Противоположные стороны равны.
4.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам .
28. Признаки.
1.Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны
и параллельны, то этот четырёхугольник является
параллелограммом
2.Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно
равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
3.Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся
пополам, то этот четырёхугольник -параллелограмм.

21.

32. Ромб.
Ромбом называется параллелограмм,
С у которого все стороны равны.
1.Диагонали ромба перпендикулярны
и делят углы его пополам.
В
О
h
А
r
2.Высоты ромба равны.
r
D
3. В ромб можно вписать окружность с центром в точке
пересечения диагоналей и радиусом, равным половине высоты.
4. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
33. Признаки ромба.
5.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то
это ромб.
6.Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам,
то это ромб.
7.Если в четырёхугольнике все стороны равны, то это ромб.
1
34. Площадь ромба. S ah a sin A d1d 2
2
2
Вернуться

22.

Прямоугольником называется
параллелограмм, у которого все
углы прямые.
35. Прямоугольник.
В
С
R
b
А
О d
а
D
1.Диагонали прямоугольника равны.
2.Около прямоугольника можно
описать окружность с центром в
точке пересечения диагоналей и
радиусом, равным половине
диагонали.
3. Прямоугольник обладает всеми
свойствами параллелограмма.
36. Признаки прямоугольника.
1. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.
2. Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.
3. Если в четырёхугольнике есть три прямых угла, то это
прямоугольник.
37. Периметр и площадь прямоугольника.
1 2
S ab d sin
2
Вернуться

23.

38. Квадрат.
а
В
С
а
а
Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны.
Квадратом называется ромб,
у которого все углы прямые.
D
Квадрат обладает всеми свойствами
ромба, прямоугольника и
параллелограмма.
А
d
45˚
а
Квадрат является правильным четырёхугольником.
1
d a 2; r a
2
1
a 2
R d
2
2
1
S a2 d 2
2
d-диагональ,
R-радиус описанной окружности
r- радиус вписанной окружности
a- сторона
Вернуться

24.

39. Трапеция.
а
В
С
N
M
А
Н
b
МN – средняя линия.
Трапецией называется четырёхугольник,
две стороны которого параллельны, а
две другие нет.
D
BC и AD - верхнее и нижнее основания.
АB и СD –боковые стороны.
АС и ВD –диагонали.
MN || AD || BC ,
1
MN ( ВС АD)
2
ВН – высота трапеции, расстояние между основаниями.
Площадь трапеции:
S h MN
1
1
h( ВС АD) AC BD sin ( AC; BD )
2
2
Вернуться

25.

Окружность.
Вернуться
1.Отрезки и дуги.
2.Прямая и окружность.
3. Углы в
4.Две окружности.
окружности.
5.Вписанная окружность.
6.Описанная окружность.
7.Общие касательные двух окружностей.
8. Круг и его части.

26.

43. Отрезки и дуги.
N
Q
Вернуться
Окружностью называется множество
точек плоскости, находящихся на
одинаковом расстоянии от данной точки О
P
О
В (центра окружности).
А
Радиусом называется отрезок (ОМ),
соединяющий точку окружности с
центром.
М
Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности
(PQ и AB).
Диаметром называется хорда, проходящая через центр (АВ).
Дугой называется часть окружности, заключённая между двумя
её точками.
Две точки на окружности образуют на ней две дуги: PNQ и PMQ
Любую из них стягивает хорда PQ .
Длина окружности С=2πR.
Длина дуги окружности l=πRα/180. α-градусная мера дуги
l=Rα, α- радианная мера дуги.

27.

44. Свойства отрезков и дуг.
N
Q
Т
P
Диаметр делит хорду, не являющуюся
диаметром, пополам тогда и только тогда,
когда он перпендикулярен к этой хорде.
О
М
Q
N
Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды:
MT·TN=PT·TQ
Т
P
О
М
Вернуться

28.

56. Круг и его части.
Вернуться
1
RC
4
2
С - длина окружности,
D=2R - диаметр
S R 2
О
D2
R 2 α –градусная мера
S
360
О
дуги сектора
т
В
А
Sсегм. АтВ Sсект . АтВ S АОВ
Sсегм. АпВ Sсект . АпВ S АОВ
О
п

29.

Площади.
Вернуться
1.Площадь треугольника.
2.Отношения площадей.
3.Площадь четырёхугольника.
4.Площадь круга и его частей.
5.Площади правильных многоугольников.

30.

57.Площадь треугольника.
В
c
hb
hc
ha
b
А
Вернуться
1
1
1
S aha bhb chc Далее
2
2
2
а
1
1
1
S ab sin C bc sin A ac sin B
2
2
2
С
S rp r - радиус вписанной
окружности,
р - полупериметр
abc R - радиус oписанной окружности
S
4R
S
p( p a)( p b)( p c) , р полупериметр.

31.

58. Площадь прямоугольного треугольника.
В
c
h
1
1
S ab ch
2
2
ab
h
c
а
С
А
b
59. Площадь правильного треугольника.
В
а
60˚
А
а
а2 3
S
4
а
С
Вернуться

32.

64.Площадь прямоугольника.
В
d₁
А
d₂ O
С
α
a
D
Вернуться
1
S ab d1d 2 sin
2
b
65.Площадь параллелограмма.
В
С
d₂
1
b h
S
ah
ab
sin
A
d
d
sin
α
1
2
d₁
2
А
D
a
66.Площадь ромба.
В
С
1
2
S ah a sin A d1d 2 rp 2ra
d₁
a h
2
r - радиус вписанной окружности,
d₂
Далее
р – полупериметр ромба.
А
D
a

33.

67. Площадь квадрата.
В
С
d
a
Вернуться
d
1 2
S a d
2
2
Далее
А
D
a
68. Площадь трапеции.
a
В
С
d₂
a b
1
α N S
h MN h d1d 2 sin
M
h
2
2
d₁
А
D
b
69. Соотношения площадей в трапеции .
a
2
В
С
S1 a
S₁
O
S2 b
b
a
S₂
S AOB SCOD S1 S 2 S1 S 2
А
D
a
b
b

34.

76. Частные случаи правильных п-угольников.
О
R
r
r
О
R
a
О
R
a
r
a
60
90
120
а R 3
а R 2
R 2r
a2 3
S
4
a 2r
а R
R 3
r
2
3R 2 3
S
2
S a 2 2R 2
Вернуться