Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

1. Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

?
Титова В.А.,
учитель математики
МОУ СОШ № 5

2. Содержание

1. Справочная информация.
2. Задания первой части ГИА.
3. Задания второй части ГИА.
Задания: - на множественный выбор;
- с практическим содержанием;
для самостоятельного решения;
- с развёрнутым свободным ответом.
4. Задания третьей части ГИА.
5. Задания ЕГЭ 2009 (В-11).
для самостоятельного решения

3. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

треугольники
четырехугольники
правильные многоуг
ольники
окружность
векторы

5.

Справочные сведения
Треугольники
Прямоугольный треугольник
α
Решение прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора: с 2 а 2 b 2
А
b
c
sin
М
a
С
В
a
b
h
c
a
;
c
b
cos ;
c
tg
a
,
b
где а – катет, противолежащий α; b - катет, прилежащий к α.
Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:
h 2 ca cb ;
b 2 cb c
а 2 са с;
с , с - проекции катетов на гипотенузу.
а
b
Площадь прямоугольного треугольника:
b
а
R
r
R
1
c
2
r
a b c
2
S
ab
2

6.

Справочные сведения
Треугольники
Равнобедренный треугольник
h
Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию,
совпадают.
Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны;
медианы, проведённые к боковым сторонам, равны;
биссектрисы углов при основании равны.

7. Справочные сведения Треугольники

Произвольный треугольник
Площадь треугольника:
b
с
S
h
a
b
abc
;
4R
a
sin A
B
R
S
1
a h
2
где р – полупериметр
0
Сумма углов в треугольнике: А В С 180
a
b
c
Теорема синусов:
c
r
S
S p ( p a ) ( p b) ( p c ) ,
А
C
1
a b sin ;
2
S = p ∙ r;
Теорема косинусов:
R
abc
4S
r
sin B
sin C
с 2 a 2 b 2 2ab sin
2S
p

8.

Справочные сведения
Треугольники
А
Подобие треугольников
В в подобных треугольниках
С
D
F
E
В
А
(соответствующие стороны лежат против равных углов)
Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении
А1 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА1 = 2 : 1)
О
С
l
a
x
c
b
y
AB BC AC
DE EF DF
АА1
1
2 АС 2 2 АВ 2 ВС 2
2
Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам (а : b = x : y).
2ab cos
2
Длина биссектрисы l ab xy
lc
a b

9.

Справочные сведения
Четырехугольники
Параллелограмм
Свойства
ABCD – параллелограмм
AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD,
В
С
A C , B D
A B B C C D A D 1800 ,
О
AO = OC, BO = OD,
φ
α
A
D
2 ( AB 2 BC 2 ) AC 2 BD 2 .
Признаки
AB CD, BC AD
ABCD – параллелограмм;
AO = OC, BO = OD
ABCD – параллелограмм;
ABCD – параллелограмм;
AB = CD, BC = AD
ABCD – параллелограмм;
AB = CD, AB CD
BC = AD, BC AD ABCD – параллелограмм
Площадь:
1
S aha ;
2
S ab sin ;
S
1
d1 d 2 sin
2

10.

Справочные сведения
Четырехугольники
Прямоугольник
Свойства
ABCD – прямоугольник
AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD;
В
С
О
A
D
А С В D 900 ;
AO = BO = CO = DO
(О – центр описанной окружности, ОА = R).
Признаки
ABCD – параллелограмм, АС = BD
ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм,
ABCD – прямоугольник.
0
А 90
Площадь
S ab
S
1 2
d sin
2

11.

Справочные сведения
Четырехугольники
Ромб
В
А
О
h
α
a
D
С
Свойства
ABCD – ромб
AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
0
A C , B D ; A B B C C D A D 180 ,
АС ВD , АО = ОС, ВО = ОD;
ВАО DAO, ABO CBO, BCO DCO, ADO CDO
Признаки
AB = CD, BC = AD ABCD – ромб
ABCD – параллелограмм, АС BD
ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм,
ABCD – ромб
ВАО DAO
Площадь
S aha ,
S a 2 sin ,
S
d1 d 2
.
2

12.

Справочные сведения
Четырехугольники
Квадрат
В
а
О
d
A
Свойства
С ABCD – квадрат AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
А С В D 900 ; АС ВD , AO = BO = CO = DO;
ВАО АВО СВО ВСО DCO CDO ADO DAO 450
D
Признаки
ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат;
ABCD – ромб, А 90 0
ABCD – квадрат.
Площадь
S a2
d2
S
2

13.

Справочные сведения
Четырехугольники
Произвольная трапеция
B
C
O
φ
A
D
Треугольники AOD и СОВ подобны.
Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны)
Площадь трапеции: S 1 d1d 2 sin
2
a
m
h
b
c
Средняя линия трапеции:
Площадь трапеции:
S
m
a b
2
a b
h m h
2
Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная.
В описанной около окружности трапеции:
высота равна диаметру: h = 2 r;
b
сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d;
r d
полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m;
a
(боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии).

14.

Справочные сведения
Четырехугольники
Равнобедренная трапеция
В
С
A
Углы при оснований равны: А D, B C
D
B
C
O
A
D
B
C
h
m
A
H
Диагонали равны: АС = ВD;
отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO;
углы, образованные основанием и диагоналями, равны:
CAD ADB, DBC ACB
Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание
на отрезки, равные a b a b
(если ВН – высота, то DH = m, где m –
и
средняя линия).
2
2
D
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота,
проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае
площадь трапеции можно найти по формуле: S h 2 m 2

15.

Справочные сведения
Правильные многоугольники
Сумма углов многоугольника
В выпуклом многоугольнике сумма углов равна
1800 (т 2),
где n – число сторон (вершин) многоугольника.
Свойства правильного многоугольника
Все стороны равны, все углы равны,
О – центр вписанной и описанной окружностей,
R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла,
r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном
перпендикуляре к стороне.
О
R r
A
B
1
2
3
Центральный угол:
Внутренний угол:
Внешний угол равен центральному углу:
a2 3
S3
4
1 360 0 : n,
180 0 (n 2)
2
,
n
3 3600 : n.

16.

Справочные сведения
Правильные многоугольники
Примеры равнобедренных треугольников,
боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два
радиуса или равные диагонали:
d
a
R
R
R
r
r
R
a
Примеры прямоугольных треугольников
(вписанный угол опирается на диаметр)
d

17.

Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
.
Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен
этой хорде.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен
касательной.
.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного
касательными, проведёнными из одной точки.
.
.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 900

18.

Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги,
на которую он опирается.
m
m
n
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается.
n
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение
отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой
хорды.

19.

Справочные сведения
Окружность
Окружность, вписанная в треугольник
Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её
касания со стороной, перпендикулярен этой стороне.
Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до
точек касания равны между собой.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе
угла, образованного двумя сторонами.

20.

Справочные сведения
Окружность
Окружность, описанная около треугольника
Центр описанной окружности лежит на серединном
перпендикуляре к любой из сторон треугольника.
Если прямоугольный треугольник вписан в
окружность, то его гипотенуза является диаметром
окружности.
Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза
меньше центрального угла, опирающегося на ту же
дугу, и равен любому другому вписанному углу,
опирающемуся на ту же дугу.

21.

Справочные сведения
Векторы
Сложение и вычитание векторов
В
В
A
CA
С
D
Правило треугольника: АВ ВС АС ;
Правило параллелограмма: AB AD AC
D
Сумма нескольких векторов:
A
А
В
В
О
А
А
AD a b c
Вычитание векторов: ОА ВА ОВ
О
Скалярное произведение векторов:
a b a b cos ab ;
а
b
В координатах: a x ; y , b x ; y a b x x y y
1
1
2
2
1 2
1 2

22. Треугольники

Решение заданий первой части
1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр треугольника МРС.
1) 22 2) 21 3) 42 4)23
С
2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет НТ.
1) 5 3
2) 5
3)
4) 10 2
5 2
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет SТ.
1) 9
2) 6 3
3) 9 3 4) 9 2
4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет BC.
6
6
1) 6 sinα 2) 6 tgα 3)
4)
tg
sin
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
площадь треугольника.
1) 156
2) 78
3) 60
4) 30
Р
7
В
12
7
8
М 8
2)
А
Р
45
10
Н
3)
0
Т
R
600
3)
18
S
T
B
1)
6
C
α
13
A
5
12
4)

23.

Треугольники
Решение заданий первой части
6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь
прямоугольного треугольника.
1) 16
2) 192
3) 120
4) 96
7. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его
сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите сторону АС.
1) 18
2) 14
3) 15
4) 11
20
12
5
4)
В
М
К
6
3)
9
А
Р
С
8. Треугольник АСР – равнобедренный с основанием СР, равным 10, и боковой
стороной, равной 12. Найдите периметр треугольника РКМ, где КМ – средняя
линия, параллельная стороне АС.
9. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка
МР, если известно, что МР || АС.
М
17
D
6
Р
А4
С
21
12,6

24. Треугольники

Решение заданий первой части
10. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр четырёхугольника ABDC, если известно,
что угол BAD равен углу CAD.
11. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р, причём
угол ВАР равен углу DCP. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите длину отрезка AD.
12. АВС – равнобедренный треугольник с основанием АС.
AD и СЕ – высоты к боковым сторонам. Найдите AD, если
АЕ = 6, АС = 10.
C
D
28
4
B
10
A
В
D
14
23
P
A 9 9 C
В
Е
D
8
6
A
10
C

25. Треугольники

Задания первой части (для самостоятельного решения)
1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр треугольника АВС.
1) 42
2) 23
3) 46
10
А
N
7M
6
4) 30
7
2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет РК.
1)10 2 2) 10 3) 10 3 4) 20 2
sin
tg
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
площадь треугольника.
1) 135
2) 67,5
3) 54
4) 108
B
3)
C
М
1)
20
45 0
Р
К
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет HN.
1) 12
2)
3)
4)
12 3
12 2
8 3
4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
гипотенузу ВС.
6
6
1) 6 sinα 2) 6 tgα 3)
4)
10
N
24
L
2)
30 0
H
B
A
3)
6
15
C
9
3)

26. Треугольники

Задания первой части (для самостоятельного решения)
6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр четырёхугольника ABDC, если известно,
что угол BAD равен углу CAD.
7. Отрезки АE и CD пересекаются в точке N, причём
угол NАD равен углу NCE. Используя данные, указанные
6
D
C
30
B
A
9
15
N
C
E
22
на рисунке, найдите длину отрезка AE.
15
D
7
A
8. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС вписан
квадрат BDEF так, что его стороны BD и BF лежат на катетах
ВА и ВС, а вершина Е – на гипотенузе. АВ = 14. Найдите FC.
9. На параллельных прямых a и b отложены равные отрезки KL
и MN. Отрезки KN и ML пересекаются в точке О. КО = 7.
Найдите длину отрезка KN.
7
A
D
E
B
F
C
K
L
a
O
M
N
b
7
10. Найдите синус угла С треугольника ACD, если известно, что АС
= 15,
cos K
AD = 12.
9
синус угла D равен 0,75.
11. Найдите сторону LN треугольника KLN, если известно, что
KL = 5, KN = 9.
14
,
0,6
6

27. Треугольники

Задания первой части ГИА– 2009 (для самостоятельного решения)
12. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь
прямоугольного треугольника.
1) 160
2) 192
3) 12
4) 96
20
4)
16
В
13. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его
сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите сторону АВ.
1) 15
2) 17
3) 20
4) 18
М
А
8
7
К
10
Р
1)
С
14. Треугольник СDЕ – равнобедренный с основанием DE, равным 22, и боковой
стороной, равной 16. Найдите периметр треугольника ЕМР, где МР – средняя
линия, параллельная стороне СD.
15. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка
LN, если известно, что LN || ВС.
15
B
L
10 D
17
27
N
6,8
C

28. Треугольники Решение заданий второй части

Задачи на вычисления в равнобедренном треугольнике, как правило, помимо свойств, относящихся к равнобедренному треугольнику, используют свойства прямоугольного треугольника, т. к.
медиана, проведённая к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных.
1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше
боковой стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 3 11
.
В
Решение: 1 способ
1) Обозначим АС = х, тогда ВС = 3х, МС = 1,5х.
3х
М
3 11
А
Н
х
2
2
2
АМ
МС
АС
2 МС АС сosС
AMC
2)
: по теореме косинусов
1,5 х
CH 0,5 х 1
ВСН
:
cos
C
.
С 3) Пусть ВН – высота к основанию АС.
BC
3х
6
3 11
2
х 2 1,5 х 2 х 1,5 х
4) Получаем:
99 х 2 2,25 х 2 0,5 х 2
2
1
6
99 2,75 х 2
х 2 36
х 6
Ответ: 6.
- 6 не удовл. смыслу задачи
Отсюда АС = 6.

29. Треугольники Решение заданий второй части

1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше боковой
стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 3 11.
2 способ: используется приём, позволяющий быстро решать задачи, где речь идёт о медиане.
Медиана АМ продлевается за точку М и на её продолжении откладывается отрезок МD, равный
медиане.
Рассматривается параллелограмм АВDС и используется формула, связывающая его
стороны и диагонали.
D
Решение:
В
1) Пусть АС – основание треугольника, АМ – медиана.
М
Отложим на луче АМ отрезок МD = АМ
Тогда АСВD – параллелограмм, т. к.его диагонали пересекаются
в середине.
А
С
2) Обозначим АС = х, АВ = ВС = 3х, тогда по свойству сторон и
2
2
2
2
диагоналей параллелограмма имеем: 2( АВ АС ) ВС АD
,
2
2
2
2
или 2 (9 х х ) 9 х (6 11 )
11 х 2 36 11
х 6
Ответ: 6.

30. Треугольники Решение заданий второй части

2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус
12
угла при основании треугольника равен .13
Радиус ОМ пересекает под прямым углом
боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
1 способ опирается на свойства вписанных и центральных углов и решение прямоугольных
треугольников.
В
Решение:
М
К
1) Угол при основании равнобедренного треугольника может быть только
острым, значит, центр О с вершиной А лежит по одну сторону от хорды ВС.
О
ВОС
- центральный, соответствующий углу А. Отсюда
ВОС 2 А.
А
С Тогда
2) Δ ВОС – равнобедренный, ОК – высота, проведённая к основанию, тогда ОК – биссектриса
угла О, отсюда имеем: ВОС 2 А.
12
12 ВК
0
ВОК
:
К
90
,
ОВ
13
,
sin
ВОК
, ВК 12, ОК 13 2 12 2 5.
3)
13
13 13
Ответ: 5.

31. Треугольники Решение заданий второй части

2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус
12
угла при основании треугольника равен . Радиус ОМ пересекает под прямым углом
13
боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
Т.к. в ряде случаев первый способ применить бывает невозможно, приведём 2 способ решения, который использует свойство отрезков хорд.
В
О
А
К
М
С
Решение:
1)
ВС 2 R sin A 2 13
12
24.
13
ОМ ВС ВК КС 12.
2)
3) Достроим радиус ОМ до диаметра РМ, тогда РМ =26.
Пусть МК = х. По свойству отрезков хорд получим
12 2 х ( 26 х)
х 2 26 х 144 0
х1 8илих 2 18.
Ответ:5.
МК 8, ( МК 18, т.к.МК R ), OK 13 8 5.

32. Треугольники Решение заданий второй части

Свойство отрезков касательных чаще всего применяют в задачах, связанных с вычислением
элементов равнобедренных или прямоугольных треугольников. При решении задач бывает
полезно отметить на рисунке точки касания и отметить равные отрезки одинаковыми буквами
или чёрточками, используя при этом свойства рассматриваемого треугольника.
3. Окружность с центром О, вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.
Она касается стороны ВС в точке М, причём отрезок ВМ составляет 0,4 боковой стороны.
Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если АС = 30.
В
Решение:
2х
1) Обозначим буквой Н точку касания вписанной окружности с основанием.
К
Так как ΔАВС – равнобедренный, то центр О лежит на высоте к основанию,
О М
3х
т. е. ВН – высота и Н – середина основания.
А
3х Н 3х С
2) Если считать ВМ = 2х и СМ = 3х, то АВ = ВС = 5х.
По свойству отрезков касательных имеем СН = 3х, 3х = 15, АВ = 25.
3) По теореме Пифагора ВН 2 25 2 15 2
ВН 2 20 2
ВН 20.
4) SАВС =0,5 ВН· АС = 0,5 АВ · h, отсюда h = (20 · 30) : 25 = 24.
Ответ: 24.

33. Треугольники Решение заданий второй части

В задачах на площадь треугольника иногда используется отношение площадей
треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
отношения сходственных сторон (или квадрату коэффициента подобия).
Из формулы площади треугольника можно вывести ещё два следствия:
- если треугольники имеют общее основание (или равные основания), то их
площади относятся, как высоты, проведённые к этим основаниям;
- если треугольники имеют общую высоту (или равные высоты), то их площади
относятся, как основания.

34. Треугольники Решение заданий второй части

4. Площадь треугольника МРК равна 21. Известно, что сторона МР = 7, медиана
РА = 3 2, а в треугольнике АРМ сторона АМ – наименьшая. Найдите сторону МК.
Решение:
Р
1)
2)
7
3 2
М
А
К
S MAP
S MAP
1
S MPK 10,5.
2
1
10,5 2
1
MP AP sin sin
2
7 3 2
2
Т. к. МА – наименьшая сторона в треугольнике АРМ, то α не
может быть тупым, α = 45 0.
3) В треугольнике МАР по теореме косинусов:
АМ 2 49 18 2 7 3 2
Ответ: 10.
АМ 5
МК 10.
1
2
25

35. Треугольники Решение заданий второй части

5. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С биссектриса ВК делит
катет АС на отрезки АК = 15 и КС = 12. Найдите площадь треугольника АВК.
Решение:
АВ АК 15 5
1) По свойству биссектрисы треугольника ВС КС 12 4 .
Тогда АВ = 5х, ВС = 4х, АС 25 х 2 16 х 2 3х,
В
5х
4х
3 х 27
х 9
ВС 36.
А
15
К
12
Ответ: 270.
С
2) S ABK : S BCK 5 : 4 (т. к. эти треугольники имеют одну
и ту же высоту ВС).
5
5 1
Значит,
S ABK S ABC 27 36 270.
9
9 2

36. Треугольники Решение заданий второй части

6. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.
2) Медиана проходит через середину стороны треугольника.
3) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
4) Точка пересечения медиан произвольного треугольника – центр окружности, описан –
ной около этого треугольника.
5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в
отношении 2 к 1, считая от вершины.
Ответ: 2), 3), 5).
7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Биссектриса всегда проходит через середину стороны треугольника.
2) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
3) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам.
4) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, вписанной
в этот треугольник.
5) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, описанной
около этого треугольника.
Ответ: 2), 3), 4).

37. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

8. Из листа фанеры вырезали равносторонний треугольник со сторонами 10 дм, 10 дм и
1дм 2
12 дм. Сколько килограммов краски потребуется, чтобы его покрасить, если на
поверхности расходуется 0,015 кг краски?
10
10
Решение:
12
1)
По формуле Герона
S p ( p a ) ( p b) ( p c) получаем:
р (10 10 12) : 2 16(дм)
S 16 (16 10) (16 10) (16 12) 16 6 6 4 4 6 2 48(дм 2 )
2)
Расход краски равен 48 · 0,015 = 0,72 (кг)
Ответ: 0, 72.

38. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги, треугольники
и иные математические фигуры.
(Галилей)
Измерение высоты предмета.
1 способ самый лёгкий и самый древний – по тени предмета, использующий:
а) свойства равнобедренного треугольника. Для этого выбирается час, когда длина
тени человека равна его росту; в этот момент высота предмета равна длине отбрасываемой им тени.
Б) подобие треугольников. Можно пользоваться любой
тенью, любой длины. Измерив свою тень или тень любого
шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:
АВ : ав = ВС : вс.
(Высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты (или шеста), во сколько раз тень дерева длиннее вашей (или шеста).

39. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

2 способ
А) С помощью шеста, который надо воткнуть в землю так, чтобы его высота
равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лёжа вы видели
верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. По свойству равнобедренного прямоугольного треугольника АВ = ВС, т. е. высоте дерева.

40.

- Да.
- Помнишь свойства подобных треугольников?
- Их сходственные стороны пропорциональны.
- Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У
меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до
основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами
будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка
до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с
направлением гипотенузы первого треугольника.
- Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от
колышка до шеста так относится к расстоянию от
колышка до основания стены, как высота шеста к
высоте стены.
- Да. И следовательно, если мы измерим два первых
расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить
четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту
стены. Мы обойдемся, таким образом, без
посредственного измерения этой высоты.
Оба горизонтальных расстояния были измерены:
меньшее равнялось 15 футам, большее- 500 футам.
По окончании измерений инженер составил следующую запись:
15:500=10:х,
15:500=10:х,
500 10=5000,
5000:15=333,3.
Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.

41. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Б) (способ Жюля Верна, описанный в романе «Таинственный остров»)
Для определения высоты скалы необходимо взять шест длиной равной росту человека,
воткнуть вертикально в землю. Затем отойти от скалы на такое расстояние, чтобы лёжа на
песке, можно было видеть и конец шеста и конец гребня.
В учебнике этот способ рассматривается в п.64 «Практические приложения
подобия
треугольников»

42. Треугольники Решение заданий второй части

3 способ
Для измерения высоты дерева можно использовать способ основанный на равенстве угла падения и
угла отражения света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле, в
точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой
наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева.
А
В
С
D

43. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Как поступать, если к измеряемому объекту невозможно подойти вплотную?
А) Задача решается двукратным применением описанного выше способа – помещение зеркала
высота равна возвышению глаза наблюдателя, умноженному на отношение расстояния между
положениями зеркала к разности расстояний наблюдателя от зеркала.
Б) На прямой, проходящей через основание Н предмета, отмечают точки В и С на определённом расстоянии а друг от друга и измеряют углы АВН и АСВ: АВН , АСВ .
По теореме синусов:
А
АН
а sin sin
.
sin( )
Способ рассматривается в учебнике п.100,
«Измерительные работы».
Задача № 1036, 1038.
Н
а
В
С

44. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

1. В 40 м одна от другой стоят две сосны. Высота одной 31 м, другой, молодой – всего 6
м. Можете ли вы определить как велико расстояние между их макушками?
Решение:
По теореме Пифагора расстояние АВ между
верхушками сосен равно
АВ 40 2 (31 6) 2 40 2 25 2 47( м).
Ответ: 47 м.

45. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

2. Тень ВС от отвесного шеста АВ высотою 4,2 м имеет 6,5 длины. Какова в этот
момент высота Солнца над горизонтом, т. е. как велик угол С?
Решение:
sin C
AB
AC
2
AC AB 2 BC 2 4,2 6,52 7,74( м)
sin C
4,2
0,55
7,74
C 330
Ответ:
C 330

46. Треугольники Решение заданий второй части

3. Определите высоту (в метрах) дерева, изображён –
ного на рисунке, если рост человека 1,7м, а в результате измерений получено: ВС = 9м, CD = 1,5м.
Решение:
В
С
D
A
АВС 90 0
E
1.7
B
9
C 1.5 D
EDC 90 0
ACB ECD(свойство )
AB BC
AB
9
ED DC
1,7 1,5
АВ
Ответ: 10,2 м.
АВСподобен EDC (призн.)
9 1,7 3 17
10,2( м)
1,5
5

47. Треугольники Решение заданий второй части

4. Для измерения высоты дома нужно воткнуть в землю под прямым углом шест
М
М 1 Р1 выше роста ОО1 наблюдателя на расстоянии РР от дома. Затем следует
1
М1
отойти от шеста назад по продолжению РРдо
той точки О, с которой
1
N1
можно увидеть высшую точку М на одной линии с верхней
О
N
О1 Р1
точкой М 1 шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо
P
отметить на шесте и на доме 2 точки N1 и N, лежащие на горизонтальной прямой.
Определите высоту МР дома, если рост человека
ОО1 1,7 м, М 1 N1 1м, О1 Р 18 м, О1 Р1 3 м.
Решение:
1) О ОNPиO ON P прямоуголь ники ON O P 18 м, ON O P 3 м, NP OO 1,7 м.
1
1
1 1
1
1
1 1
1
2) M N O подобен MNOпо первому признаку
1 1
Отсюда следует пропорциональность сторон:
MP = MN + NP = 6 + 1,7 = 7,7 (м).
Ответ: 7,7 м.
M N O MNO 90 , MON общий .
0
1
1
M 1 N 1 MN
M N ON 1 18
MN 1 1
6 м.
ON1
ON
ON 1
3

48. Треугольники Решение заданий второй части

5. Для того, чтобы измерить высоту CD = h холма, необходимо с помощью угломерных
инструментов измерить угол α, под которым видна вершина С холма из точки А, затем
отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости ACD, и измерить угол β, под которым
видна вершина С. АА ВВ- рост наблюдателя. Найдите высоту холма, если
3 1,73,
1
1
.
0
0
60 , 30 , d 100 м, АА1 1,8 м
С
В1
β
α
А1
В
А
d
4) В прямоугольном
5)
Решение:
1)
С1 D A1 A 1,8 м, А1 В1 АВ D 100 м
h
как
стороны прямоугольников
С1
АА1 В1 ВиАА1С1 D.
2)
B1 A1C 180 0 180 0 60 0 120 0.
3)
D
B1CA1 180 0 ( 120 0 ) 180 0 (30 0 120 0 ) 30 0
B1 A1C равнобедре нный А1С А1 В1 100 м
СС1 А1 : СС1 А1С sin 100 sin 60 0 100
h CD CC1 C1 D 86,5 1,8 88,3( м).
Ответ: 88,3м.
3
50 3 50 1,73 86,5( м).
2

49. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Измерение ширины реки
В
1 способ основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов.
(рассматривается в учебнике, № 1037).
В1
С
С1
2 способ основан на использовании подобия треугольников
А
а)(рассматривается в учебнике, № 583).
б) с помощью «прибора» с тремя булавками на вершинах равнобедренного треугольника.
рассматривается в книге Я.И. Перельмана
«Занимательная геометрия»
(гл. 2, «Геометрия у реки»)

50. Треугольники Решение заданий второй части

В).Чтобы измерить ширину реки на её прямолинейном участке, необходимо на противополож –
ном берегу выбрать какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем на своём берегу
следует найти точку А, так, чтобы отрезок АС был перпендикулярен береговой линии (это
можно сделать с помощью угломерных инструментов). Далее нужно отметить точку В, нахо –
дящуюся на расстоянии АВ = d от точки А и отойти от неё в точку D так, чтобы С, В и D нахо –
дились на одной прямой линии. Затем необходимо отметить точку Е так, чтобы С, А и Е нахо –
дились на одной прямой и отрезок ED был параллелен береговой линии.
6. Найдите ширину реки АС = Н, если АВ = d1 = 24 м, ED = d 2= 30 м, АЕ = h = 4,5 м.
Решение:
АВСподобен EDC
С
Н
А
h
Е
по первому признаку подобия
0
( Собщий , САВ CED 90 по построению).
AC EC
H
H h
или
Hd 2 Hd 1 hd1
Отсюда
В
d1
d2
AB
D
ED
d1
d2
H ( d 2 d 1 ) hd1 H
4,5 24
hd1
.
d 2 d1
Подставив в формулу числа, данные в условии, получим: Н
30 24
Ответ: 18.
4,5 24
4,5 4 18 м.
6

51. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

7. Чтобы определить
ширину АВ озера, вы нашли по компасу, что прямая АС уклоняется
0
к западу на 21, а ВС – к востоку на22 0 . Длина ВС = 68 м, АС = 35 м. Вычислить по
этим данным ширину озера.
Решение:
1) В треугольнике АВС:
0
0
С 21 22 43 0
2) Опускаем высоту АD, имеем
СА 35 м, СВ 68 м.
AD
AD
0,68 AD 0,68 35 24.
AC
AC
0
sin 43 0,68
sin 43 0
3)
СD 2 AC 2 AD 2 352 24 2 649 CD 25,5
BD BC CD
68 25,5 42,5.
4) Из треугольника
АВD имеем:
Ответ: 49 м.
AB 2 AD 2 BD 2 24 2 42,52 2380
(способ предложен в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия»)
AB 49
!? Найдите более простой способ решения задачи.

52. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Нахождение расстояния до недоступной точки
1 способ
основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов. На местности выбираем точку
А ; В .
В и измеряем длину с отрезка АВ. Измеряются углы А и В:
По теореме синусов находим искомое расстояние d: d
c sin
.
sin( )
С
d
В
c
А
Способ рассматривается в
учебнике п.100,
«Измерительные работы».
Задача № 1037.
2 способ основан на использовании подобия треугольников
(рассматривается в учебнике, № 582).

53. Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)

1. Определите высоту дерева (в метрах), изображённого на рисунке,
если рост человека 1,8 м, а в результате измерений получено:
ВС = 5м, СО = 0,9м.
А
Е
1,8
О
10
С
В
2. Для измерения высоты монумента нужно установить шест Р1 М под прямым углом
выше роста ОО1 наблюдателя на расстоянии РР1 от монумента. Затем отойти назад
до той точки О1 , с которой можно увидеть вершину М на одной линии с верхней
точкой М шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо отметить на шесте
М1
1
и на монументе 2 точки N и N , лежащие на горизонтальной прямой. Найдите
О
N1
1
высоту монумента, если рост человека 1,8м, М 1 N1 1м, О1 Р1 2,2 м, О1 Р 17,6 м.
О1
3. Для того, чтобы определить высоту СК = h здания, необходимо из точки А с
помощью угломерных инструментов измерить угол α, под которым видна вершина
К здания, затем отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости АСК, и изме –
рить угол β, под которым видна вершина К из точки В. АА ВВ - рост наблюда –
1
1
теля. Найдите высоту СК здания, если 75 0 ; 30 0 ; АА 1,8 м; d 14 м.
1
Указание: sin 750 0,97; sin 450 0,7.
М
9,8
N
P
Р1
К
С
1
С
В1
А1
А
В
11,5

54. Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)

4. Для измерения ширины реки на её прямолинейном участке нужно
на берегу наблюдателя отметить 2 точки А и В на границе с водой и
измерить расстояние АВ = d между ними, а на противоположном бе –
регу найти какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем
с помощью угломерных инструментов следует измерить углы
. Найдите ширину CD = h реки, (CD AB),
САВ , АВС
Если
. Указание:
.
60 0 , 60 0 , d 20 м
3 1,73
5. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны
С
А
h
D
17,3
В
d
1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, прямой угол.
2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон.
3) Точка пересечения высот произвольного треугольника – центр окружности, описанной
около этого треугольника.
4) Высота всегда делит треугольник на два треугольника равной площади.
5) Высота может лежать и вне треугольника.
6. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ = АС. Отрезки BD и СЕ проведены
таким образом, что они пересекаются в точке О, лежащей на биссектрисе угла А, а
точки Е и D лежат на отрезках АВ и АС соответственно. Докажите, что
ВЕ = CD.
1)
2)
5)

55. Задания с развёрнутым свободным ответом

Используются во второй и третьей частях работы для проверки состояния более
сложных предметных умений – анализировать ситуацию, разрабатывать способ
решения, проводить математически грамотные рассуждения.
Характеризуя высокий уровень подготовки по предмету, как правило, выделяют
следующие его качества:
• умение выполнять чертёж, соответствующий ситуации, представленной в
условии задачи;
• прочное владение системой знаний, указанных в школьной программе;
• умение обосновывать сделанные выводы ссылкой на теоремы и определения;
• умение строить логически верную цепочку доказательных рассуждений, шагов
решения , которые помогают прийти к требуемому выводу;
• умение синтезировать информацию из различных разделов курса геометрии
для решения поставленной проблемы;
• умение математически грамотно записать решение задачи.

56. Треугольники Решение заданий второй части

15. (с развёрнутым свободным ответом)
В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке М. Отрезок
МЕ параллелен стороне ВС, отрезок МК параллелен стороне АВ (точки Е и К лежат
на АВ и ВС соответственно). Докажите, что ЕК перпендикулярен ВМ.
Доказательство:
1) Четырёхугольник ВКМЕ – параллелограмм, т. к. МЕ || ВС, МК || АВ.
В
Е
А
2) ВМ – диагональ параллелограмма, которая делит его угол пополам,
значит, ВКМЕ – ромб по второму признаку.
К
М
С
3) ЕК – диагональ ромба ЕК ВМ по свойству ромба,
что и требовалось доказать.

57. Треугольники Решение заданий третьей части

Основную трудность при решении задач третьей (иногда и второй) части
работы, обычно, вызывают две главные причины:
для рационального решения задачи нужно знать некоторые методы и
приёмы решения, которые, либо не рассматриваются при изучении
планиметрии, либо тщательно не отрабатываются;
в задачах представлены не самые знакомые конфигурации и для того,
чтобы применить известные факты, нужно уметь увидеть отдельные
опорные подзадачи.

58. Треугольники Решение заданий третьей части

1.
(ГИА – 2008)
Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что медиана
ВАС 45 0 , АВ. 4 2
АМ 29, а
B
Решение:
1) В остроугольном треугольнике АВС основание Н высоты ВН
4 2
М
лежит на стороне АС.
29
В прямоугольном треугольнике АВН:
ВН АВ sin 45 0 , BH 4,
Н
N С
А
AHсторону
AB cos 45 0 , AH 4.
2) Через точку М проведём прямую, параллельную прямой ВН и пересекающую
АС в точке N.
Тогда по теореме Фалеса HN =NC.
Значит, отрезок MN является средней линией треугольника ВСН. Откуда имеем:
3) В прямоугольном треугольнике AMN: AN = 5,
1
MN BH 2иMN AC.
Поскольку AN > АН, то HN = AN -AH и HN =1. Поскольку АС =AN + NC, HN = NC, то
АС =6.
2
2
2
( AN AM MN ).
4)
Ответ: 12.
1
S ABC AC BH S ABC 12.
2

59. Треугольники Решение заданий третьей части

2. (ГИА – 2008) Высоты треугольника пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М.
Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно,
, = 12, СН = 6.
что ВАС 450АВ
Решение:
По условию высоты треугольника АВС пересекаются, следовательно,
В
точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника.
Р
1) Пусть СР – высота, а BL – медиана АВС . Н 1 , К 1 , М 1 - основания
12
перпендикуляров, проведённых из точек Н, К, М к прямой АС.
H
РАС 45 0 РСА 45 0.
В прямоугольном треугольнике АРС:
К
6
45 0
М
45 0
2) В прямоугольном
НН 1С : НСН 1 45 0 ,
катеты равны:
А 6 2 L М 1 К1 Н 1 3 2 С
СН1 НН1 , НН1 АВ sin 450 3 2 , CH1 3 2 .
0
В прямоугольном равнобедренном BH 1 A катеты равны: AH 1 BH 1 , BH 1 AB sin 45 6 2 , AH 1 6 2 .
BH 1
BL 3
3) BH1 Lподобен ММ 1 L (по двум углам), и
(по свойству медиан треугольника).
1
MM 1 ML 1
Отсюда MM 1 3 BH 1 , MM 1 2 2 .
4) Из теоремы Фалеса следует, что отрезок KK 1- средняя линия трапеции НН1М 1М
1
45
КК1
22,5.
5) Поскольку АС АН 1 Н 1С , АС 9 2 S AKC AC KK 1
2
2
Ответ: 22,5.
НН1 ММ 1
5 2
, КК1
.
2
2

60. Теорема косинусов

В
АС 2 АВ 2 ВС 2 2 АВ BС cos B
А
С
АС 2 32 4 2 2 3 4 cos 60 0
В
3
АС 2 9 16 24
60 0
1
2
АС 2 13
4
АС 13
А
Ответ:
?13
13
С
13 - не удовлетворяет смыслу задачи.

61.

А
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
В
С
А
5
3
С
AC 3
sin B
0,6
AB 5
4
CB 4
cos B
0,8
AB 5
В

62.

AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
А
sin B
В
С
А
5
3
С
AC 3
sin B
0,6
AB 5
4
CB 4
cos B
0,8
AB 5
В

63.

В
С
2 ( AB 2 BC 2 ) AC 2 BD 2 .
А
D

64. Теорема Пифагора

А
С 2 а 2 b2
В
С
А
?
АВ АС 2 ВС 2 9 16 5.
3
С
А
В
4
9
СВ АВ 2 АС 2 81 36 45 3 5.
6
С
?
В