eff2-398d9e38

1.

.

2.

Возьмем произвольную пирамиду
PA1A2…An и проведем секущую
плоскость β||α основания пирамиды и
пересекающую боковые ребра в точках
B1,B2,…,Bn. Плоскость β разбивает
пирамиду на 2 многогранника.
Многогранник, гранями которого
являются n–угольники A1A2…An и
B1B2…Bn(нижнее и верхнее основания),
расположенные в параллельных
плоскостях, и n четырехугольников
A1A2B2B1, A2A3B3B2, …,
AnA1B1Bn(боковые грани), называется
усеченной пирамидой.

3.

Еще одно определение усеченной пирамиды.
Тело, получающееся
из пирамиды, если
отсечь ее вершину
плоскостью,
параллельной
А
основанию,
называется усеченной
пирамидой.
D1
А1
С1
В1
D
С
В

4.

Усеченную пирамиду с основаниями А1А2…Аn и
В1В2…Вn обозначают так: А1А2…АnВ1В2…Вn .
Четырехугольники
A1A2B2B1, A2A3B3B2, …,
AnA1B1Bn – боковые грани,
n –угольники А1А2…Аn и
В1В2…Вn – основания
усеченной пирамиды.
Отрезки А1В1, А2В2,
А3В3 ,…, АnВn – боковые
ребра усеченной пирамиды.

5.

Теорема (свойство усеченной пирамиды):
«Боковые грани усеченной
пирамиды – трапеции».
S
B1
А1
А
С1
С
B

6.

Определения.
Площадью боковой поверхности усеченной
пирамиды называется сумма площадей ее
боковых граней.
D1
А1
С1
В1
D
А
С
В
Sбок. = SАА1В1В + SВВ1С1С + SСС1D1D + SАА1D1D

7.

Р
Усеченная пирамида
называется правильной,
если она получена сечением
правильной пирамиды
плоскостью, параллельной
плоскости основания.
М
Н
К
С
А
Основания правильной
усеченной пирамиды –
правильные
многоугольники, а боковые
грани – равнобедренные
трапеции.
В
1. (МНК) || ;
2. АСНМ,АМКВ,ВСНК –
равнобедренные трапеции, т.е.
АМ=КВ=НС

8.

Высоты боковых граней правильной усеченной
пирамиды называются апофемами.
1. АВСDА1В1С1D1 – правильная
усеченная пирамида;
2. АВСD и А1В1С1D1 – квадраты;
3. А1Н, В1М, D1К – апофемы.
D1
А1
С1
В1
К
С
D
М
А
Н
В

9.

Теорема:
«Площадь боковой поверхности
правильной усеченной пирамиды
равна произведению полусуммы
периметров оснований на апофему».
Sбок. пр. пир. =½∙(Росн +Росн ) ∙d
1
2

10.

D1
A1
D
C1
B1
N
H
M
K
◦
A
Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная усеченная
пирамида; А1К, В1М, D1N, A1H – апофемы, т.е.
А1К АВ, В1М ВС, D1N DC, A1H AD
C Доказать:Sбок =½∙d∙(РABCD+PA1B1C1D1)
B
Sбок = SABB1A1 + SBCC1B1 + SCDD1C1 + SADD1A1 =
= ½∙A1K∙(AB+A1B1) + ½∙B1M∙(BC+B1C1) + ½∙D1N∙(CD+C1D1) +
+ ½∙A1H∙(AD+A1D1)
Но (по свойству ) A1K=B1M=D1N=A1H=d
=
= Sбок = ½·d∙(AB+A1B1+BC+B1C1+CD+C1D1+AD+A1D1)=
= ½∙d∙((AB+BC+CD+AD)+(A1B1+B1C1+C1D1+A1D1))=
=½∙d∙(PABCD+PA1B1C1D1)

11. Теорема.

Объем V усеченной пирамиды, высота
которой равна h, а площади оснований равны
S и S1, вычисляется по формуле
1
V усеч .пир . h S S 1 S S1
3