Усеченная пирамида

1.

2.

Еще одно определение усеченной пирамиды.
Тело, получающееся
из пирамиды, если
отсечь ее вершину
плоскостью,
параллельной
А
основанию,
называется усеченной
пирамидой.
D1
А1
С1
В1
D
С
В

3.

P
Сечение
Секущая
плоскость
В1
Вn
β
В2
Н2
В3
В4
α
A
n
A1
A
Н1
A2
4
A3

4.

Усеченную пирамиду с основаниями А1А2…Аn и
В1В2…Вn обозначают так: А1А2…АnВ1В2…Вn .
Четырехугольники
A1A2B2B1, A2A3B3B2, …,
AnA1B1Bn – боковые грани,
n –угольники А1А2…Аn и
В1В2…Вn – основания
усеченной пирамиды.
Отрезки А1В1, А2В2,
А3В3 ,…, АnВn – боковые
ребра усеченной пирамиды.

5.

Теорема (свойство усеченной пирамиды):
«Боковые грани усеченной
пирамиды – трапеции».
S
B1
А1
А
С1
С
B

6.

Определения.
Площадью боковой поверхности усеченной
пирамиды называется сумма площадей ее
боковых граней.
D1
А1
С1
В1
D
А
С
В
Sбок. = SАА1В1В + SВВ1С1С + SСС1D1D + SАА1D1D

7.

Р
Усеченная пирамида
называется правильной,
если она получена сечением
правильной пирамиды
плоскостью, параллельной
плоскости основания.
М
Н
К
С
А
Основания правильной
усеченной пирамиды –
правильные
многоугольники, а боковые
грани – равнобедренные
трапеции.
В
1. (МНК) || ;
2. АСНМ,АМКВ,ВСНК –
равнобедренные трапеции, т.е.
АМ=КВ=НС

8.

Основания правильной усеченной пирамиды — правильные
многоугольники, а боковые грани — равнобедренные трапеции.
P
Равнобедренная трапеция
Правильный многоугольник
В1
β
Вn
В2
В3
В4
A
α
n
A1
A4
A2
A3

9.

Высоты боковых граней правильной усеченной
пирамиды называются апофемами.
1. АВСDА1В1С1D1 – правильная
усеченная пирамида;
2. АВСD и А1В1С1D1 – квадраты;
3. А1Н, В1М, D1К – апофемы.
D1
А1
С1
В1
К
С
D
М
А
Н
В

10.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной
пирамиды равна произведению полусуммы периметров
основании на апофему.
S бок
PА PВ
h
2
Вn
В1
В2
An
В3
В4
h
A4
A2
A3

11. ЗАДАЧА 1

Стороны оснований правильной треугольной
усеченной пирамиды равны 4 см и 2 см, а
боковое ребро равно 2 см.
Найдите: 1. апофему пирамиды;
2. площадь полной поверхности.

12. Ход решения задачи.

К
М
Р
С
М 2
А
В
Дано: ABCMPK – правильная
усечённая
пирамида;
∆АВС – нижнее основание;
∆МРК – верхнее основание;
АВ = 4 см, МР = 2 см, АМ = 2 см.
Найти: 1. апофему;
2. Sполн.
Р
2
А
4
В

13. РЕШЕНИЕ

М 2
Р
2
А
Н
2
С
В
АВ=АН+АС+СВ
СВ=АН
АВ=2АН+МР
НС=МР
Т.о. 2АН=2, АН=1
∆АМН – прямоугольный, АНМ=90
АН= 3
по теореме Пифагора.
4
Sполн=Sбок+Sверхн.осн.+Sнижн.осн.
S бок
S осн
3 2 3 4
3 9 3
2
а2 3
4
т.к. в основании правильные треугольники

14. РЕШЕНИЕ

Sверхн.осн. 3
S нижн.осн. 4 3
S полн 9 3 4 3 3 14 3 см 2
Ответ:
3см, 14 3см .
2

15. Сторона оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 3 и 9 см. Высота пирамиды 4 см. найдите площадь боковой

поверхности.
Проведя перпендикуляры. Получим, что большее основание разбивается на
отрезки по три сантиметра. Рассмотрим прямоугольный треугольник ,
катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме
Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см.