Угол между прямой и плоскостью. Решение задач

1. Устно:

2. Угол между прямой и плоскостью

Геометрия полна приключений,
потому, что за каждой задачей
скрывается приключение мысли.
Решить задачу – это значит
пережить приключение.
В. Произволов.

3. Должны узнать

- Что называется углом между прямой и
плоскостью?
- Как построить угол между прямой и
плоскостью?
- В каких задачах может потребоваться
угол между прямой и плоскостью?
- Как обозначить этот угол ?

4.

Проекция точки на
плоскость.
А
1.А ; АВ
В
С
Точка B – проекция
точки A на плоскость
2. С
Точка С – проекция
точки С на плоскость

5.

Проекция фигуры
F
F1

6.

Проекция прямой на плоскость.
2. а
1. а
а
А
Точка А – проекция
прямой на плоскость
М
а
М1
а1 О
Н1
Н
Проекцией
(а )
( ),
на
прямой
не
перпендикулярную к
плоскость
этой плоскостью является
– прямая.

7.

Угол между прямой и
плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью,
пересекающей эту прямую и не перпендикулярную
к ней, называется угол между прямой и ее
проекцией на плоскость.
а
а1 А
Если
а , а а1– проекция
прямой
а на плоскостьа, то (а, ) (а1 , а)

8.

А что,
если а
а или
?

9.

а
а
Если а
на
а1
А
, то
проекция
является точка А.
А а
(а, ) 90
а
Если а , то прямая
а1 Проекция прямой
на плоскость
а
а а1 , а1 (а, ) 0
Понятие угла не вводим

10.

Найдите угол между
В1D и (ABC);
В1D и (DD1C1)
В1
А1
С1
D1
А1
В
А
С
D
АВСD- прямоугольник,
АА1 (АВС)
В1
С1
D1
В
А
С
D
АВСD- параллелограмм,
АА1 (АВС)

11. ВВ1(АВС).Найдите угол между ВС1 и (АА1В1).

ВВ1 (АВС).Найдите угол между ВС1 и
(АА1В1).
А1
А1
С1
В1
В1
С
А
С
А
В
В
АВС равносторонний
С1
АВС –
прямоугольный
В=90

12. ВВ1(АВС).Найдите угол между ВС1 и (АА1В1).

ВВ1 (АВС).Найдите угол между ВС1 и
(АА1В1).
А1
С1
В1
С
А
В
АВС – тупоугольный,
В>90

13. АА1(АВС)

АА1 (АВС)
B1
C1
А1
D1
K1
F1
В
С
D
А
K
F
Найдите угол:
Между В1F и (АВС);
Между В1F и (КК1F);
Между В1F и (АА1В1);

14. BD(АВС) Найдите угол между CD и плоскостью (ABD)

BD (АВС)
Найдите угол между CD и плоскостью (ABD)
D
АВС –
прямоугольный
C=90
А
B
C

15. BD(АВС) Найдите угол между CD и плоскостью (ABD)

BD (АВС)
Найдите угол между CD и плоскостью (ABD)
D
АВС –
равносторонний
А
B
C

16. BD(АВС) Найдите угол между CD и плоскостью (ABD)

BD (АВС)
Найдите угол между CD и плоскостью (ABD)
D
АВС –
прямоугольный
А=90
А
B
C

17.

18. Основные задачи урока:

• Ввести понятие двугранного угла и его
линейного угла
• Рассмотреть задачи на применение этих
понятий

19. Определение:

Двугранным углом называется
фигура, образованная двумя
полуплоскостями с общей
граничной прямой.

20.

Определение двугранного угла
.
Полуплоскости, образующие двугранный угол,
называются его гранями.
Общая граница этих полуплоскостей – ребром
двугранного угла.
ребро
а
грани

21. Обозначение двугранного угла.

С
D
В
А
Угол CBDA

22.

В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют

23.

• Укажите все двугранные углы

24. Примеры двугранных углов:

25.

Аналогично тому , как и на плоскости , в пространстве
определяются смежные и вертикальные двугранные
углы.
β
β
а
β1
1
γ
а

26. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

AF ⊥ CD
BF ⊥ CD
AFB-линейный угол двугранного
угла ACDВ

27. все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Рассмотрим два линейных
угла АОВ и А1ОВ1. Лучи ОА и
ОА1 лежат в одной грани и
перпендикулярны ОО1,
поэтому они сонаправлены.
Лучи ОВ и ОВ1 также
сонаправлены.
Следовательно,
∠АОВ=∠А1ОВ1 (как углы с
сонаправленными сторонами).

28.

Способ нахождения (построения) линейного угла.
1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного угла
2. В гранях найти направления ( прямые)
перпендикулярные ребру
3. (при необходимости) заменить выбранные
направления параллельными им лучами с общим
началом на ребре двугранного угла
При изображении сохраняется параллельность и
отношение длин параллельных отрезков

29.

Величина линейного угла не зависит от выбора его
вершины на ребре двугранного угла.
B1
A1
A
O1
O
B

30. Угол между плоскостями

Углом между
двумя
пересекающимися
плоскостями
называется
наименьший из
двугранных углов,
образованных
этими плоскостями.

31. Сделайте чертежи к задачам

32. Задача 1:

В кубе A…D1
найдите угол
между
плоскостями
ABC и CDD1.

33. Задача 2:

В кубе A…D1
найдите угол
между
плоскостями
ABC и CDA1.
Ответ

34. Задача 3:

В кубе A…D1
найдите угол
между
плоскостями
ABC и BDD1.
Ответ

35. Задача 4:

В кубе A…D1
найдите угол
между
плоскостями
ACC1 и BDD1.
Ответ