Метод наименьших квадратов

1. Метод наименьших квадратов.

Выполнила
Студентка 2 курса, группа с-15-1б
Иняткина Анна

2.

Метод наименьших квадратовматематический метод, применяемый
для решения различных задач,
основанный на минимизации суммы
квадратов отклонений некоторых
функций от искомых переменных.

3.

МНК является одним из базовых
методов регрессионного анализа для
оценки неизвестных параметров
регрессионных моделей по
выборочным данным.
Применяется также для
приближённого представления
заданной функции другими (более
простыми) функциями и оказывается
полезным при обработке наблюдений.

4.

5. Плюсы и минусы данного метода.

+ он приводит к сравнительно простому
математическому способу определения
параметров а, b, с, … искомого
функционала;
+ он дает довольно веское теоретическое
обоснование с вероятностной точки
зрения.
- основным недостатком МНК является
чувствительность оценок к резким
выбросам, которые встречаются в исходных
данных.

6.

нам нужно подобрать функцию ,
график которой проходит как можно
ближе к точкам. Такую функцию
называют аппроксимирующей
(аппроксимация –
приближение) или теоретической
функцией.

7. Пусть некоторая функция приближает экспериментальные данные :

8.

9.

Иными словами, задача состоит в
нахождении таких коэффициентов a и b –
чтобы сумма квадратов отклонений
была наименьшей.

10. Вывод формул для нахождения коэффициентов.

11. Из необходимых условий экстремума следует:

12. Алгоритм МНК:

1)
2)
3)
4)
5)
Находим суммы
Составляем систему уравнений с
определённым кол-вом неизвестных.
Решаем систему. (метод Крамера)
В результате получаем стационарную
точку S (искомые коэффициенты a;b)
Вычисляем сумму квадратов отклонений
между эмпирическими и теоретическими
значениями.

13. Пример:

Методом наименьших квадратов
найти линейную функцию, которая
наилучшим образом приближает
эмпирические (опытные) данные.

14.

Коэффициенты a, b оптимальной
функции y=ax+b найдём как решение
системы:

15.

.
Таким образом, получаем следующую систему:

16. Проверка:

Таким образом, искомая аппроксимирующая функция:
Для построения графика аппроксимирующей функции
найдём два её значения:
и выполним чертёж: