Теорема Пифагора

1.

Теорема Пифагора
Учитель высшей категории
СПб ГБУЗ «Детский санаторий –РЦ
«Детские Дюны» Нечаева Е.Ю.
2011 год

2.

Навигатор по презентации
•Пифагоровы штаны
•Доказательство
теоремы
•Формулировка
теоремы
•Применение
теоремы
•Исторические
факты
•Учителю

3.

Пифагоровы штаны на
все стороны равны!

4. Простейшее доказательство теоремы для равнобедренного треугольника

а
а
с

5. Доказательство теоремы алгебраическое

S=(a +b) =a + 2ab + b •Вычислите
2
площадь фигуры
S=c +2ab
2
2
двумя способами
c =a +b 2
•Приравняйте
полученные
выражения
•Назовите
элементы
треугольника
•Сформулируйте
вывод
2
2
2

6. Доказательство теоремы индусское Смотри!

Доказательство теоремы
индусское
c
Смотри!
2
а
а
b
b
2
b
а
а
2
+ b
2
= c
2
2

7. Доказательство теоремы китайское

2
c
2
2
S= 4ab+(b-a) = a +2ab+b
сc 2
S = c 2 + 2ab
а
а
b
b
2
b
а
а
2
+ b
2
= c
2
2

8. Доказательство Евклида

H
F
I
C
G
A
E
P
Q
B
D

9. Формулировка теоремы

• В прямоугольном
треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
• Квадрат, построенный
на гипотенузе
прямоугольного
треугольника,
равновелик квадратам,
построенным на его
катетах.

10. Формулировка теоремы

Если дан нам
треугольник
И при том с прямым
углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат
возводим,
Сумму степеней
находим,
И таким простым путем
К результату мы
придем!

11. Применение теоремы

В
С
А
M
К
Запишите
теорему
Пифагора для
данных
2
2
2
треугольников
АВ + ВС = АС
2
L
2
KL + KM =LM
2

12. Применение теоремы: равнобедренный треугольник

В
В
2
3
a
a
А
С А
a
Найдите
ВС = сторону
2 2
равнобедренного
прямоугольного
ВС = a 2
треугольника
С
a
BD = 3 2
Найдите
диагональ
BD = a 2
квадрата
D

13. Применение теоремы египетский треугольник

a
b
c
3
4
5
6
8
9
12
3а
4a

14. Применение теоремы египетский треугольник

a
b
c
3
4
5
6
8
10
9
12
15
3а
4a
5a

15. Применение теоремы: построение прямого угла

Как с помощью веревки,
разделенной на 12 равных частей,
построить прямой угол?

16. Применение теоремы: высота равнобедренного треугольника

В
АВС - равнобедренный
ВD – высота, медиана
АD = АС/2 = b/2
АВD – прямоугольный
2
А
D
С
АВ = ВС = a
АС = b
BD = ?
2
2
АВ = ВD + АD – т.П.
2
ВD = AB – (AС/2)
2
2
2
h = а –(b/2) , ч.т.н.

17. Применение теоремы: высота равностороннего треугольника

В
АВС - равнобедренный
ВD – высота, медиана
АD = а/2
АВD – прямоугольный
2
А
С
D
АВ = a
ВС = а
АС = а
BD = ?
2
2
АВ = ВD + АD – т.П.
2
2
ВD = AB – (AC/2)
2
2
h = а –(а/2) = а 3 / 2 , ч.т.н.

18. Пропедевтика

Векторная алгебра
a=b–c
2
2
2
a=b+c–2bc
2
2
2
a = b + c – 2 bc cos A
т.к. cosA = 0, то
2
2
2
В
а=b+c
а
c
А
b
С

19. Пропедевтика

2
2
2
D=a+b+c
Теорема
косинусов:
2
2
a
b
D
c
2
2
c = a +b -2abcosC
При С=90 ,
соs C = 0
и получаем:
2
2
2
c = a +b

20. Сонет Шамиссо

Пребудет вечной
истина, как скоро
Ее познает слабый
человек!
И ныне теорема
Пифагора
Верна, как и в его
далекий век.
Обильно было
жертвоприношенье
Богам от Пифагора:
сто быков
Он отдал на
Спасибо
за
внимание!