Теорема Пифагора

1. Теорема Пифагора

2. Теорема Пифагора (алгебраическая формулировка)

В прямоугольном
треугольнике
квадрат длины
гипотенузы равен
сумме квадратов
длин катетов.
b
с
a
с 2 a 2 b2

3. Теорема Пифагора (геометрическая формулировка)

В прямоугольном
треугольнике
площадь квадрата,
построенного на
гипотенузе, равна
сумме площадей
квадратов,
построенных на
катетах.

4. Обратная теорема Пифагора

Для всякой тройки
положительных чисел
a, b и c, такой, что,
a b c
2
2
существует
прямоугольный
треугольник с
катетами a, b и
гипотенузой c .
2
В математике
пифагоровой
тройкой называется
кортеж из трёх
натуральных чисел
x, y, z,
удовлетворяющих
следующему
однородному
квадратному
уравнению:
x y z
2
2
2

5. Примеры пифагоровых троек

(3, 4, 5),
(6, 8, 10),
(5, 12, 13),
(9, 12, 15),
(8, 15, 17),
(12, 16, 20),
(15, 20, 25),
(7, 24, 25),
(10, 24, 26),
(20, 21, 29),
(18, 24, 30),
(16, 30, 34),
(21, 28, 35),
(12, 35, 37),
(15, 36, 39),
(24, 32, 40),
(9, 40, 41)…
При умножении на одно и то же
натуральное число получится другая
пифагорова тройка. Пифагорова тройка
называется примитивной, если она не
может быть получена таким способом из
какой-то другой пифагоровой тройки, то
есть числа x, y, z являются взаимно
простыми числами. Любую тройку можно
получить из примитивной умножением
каждого её члена на натуральное число.
Например, очевидно, что тройка (14, 48,
50) получена умножением на 2
примитивной тройки (7, 24, 25). Все
треугольники, полученные таким образом
из примитивной тройки, являются
подобными, так как углы между
гипотенузой и катетами остаются
неизменными - используется принцип
подобия по трем сторонам.

6. Метод построения прямоугольного треугольника

В эпоху Пифагора люди строили прямые
углы при помощи прямоугольных
треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Очень легко можно воспроизвести их
способ построения. Возьмём верёвку
длиною в 12 м и привяжем к ней по
цветной полоске на расстоянии 3 м от
одного конца и 4 метра от другого.
Прямой угол окажется заключённым
между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

7. Доказательства теоремы Пифагора

На данный момент в научной литературе
зафиксировано 367 доказательств теоремы
Пифагора.
Теорема Пифагора является единственной
теоремой со столь внушительным числом
доказательств. Такое многообразие можно
объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.
Самые известные из доказательства:
методом площадей, аксиоматические и
экзотические доказательства (например, с
помощью дифференциальных уравнений).

8. Доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость

b N
2
1
a
2
a
с
1
2
b
P
1
M2
b
a
с
1
a
2
K
b
1
( a b) 4 ab c 2
2
a 2 2ab b 2 2ab c 2
2
a 2 b2 c2
Достроим прямоугольный
треугольник до квадрата.
Обозначим площадь
квадрата S.
Квадрат состоит из
четырехугольника MNPK и
четырех равных
треугольников.
Треугольники равны по двум
катетам.
Четырехугольник MNPK квадрат, так как гипотенузы
треугольников равны и
сумма острых углов
прямоугольного
треугольника равна 900.
его площадь равна с2.
Площадь каждого
1
ab
треугольника равна
2

9. Алгебраическое доказательство

Дано: ABC-прямоугольный
треугольник
Доказать: AB2=AC2+BC2
Доказательство:
1) Проведем высоту CD из вершины
прямого угла С.
2) По определению косинуса угла
соs А= AD/AC = AC/AB, отсюда
следует AB*AD = AC2.
3) соs В = BD/BC = BC/AB, значит
AB*BD=BC2.
4) Сложив полученные равенства
почленно, получим:
AC2+BC2=АВ*(AD + DB)
AB2=AC2+BC2.
Что и требовалось доказать.

10. Пифагор Самосский (570 - 490 гг. до н. э.)

В современном мире Пифагор
считается великим математиком ,
философом и мистиком.
Летописцы древности писали, что
Пифагор в 18-летнем возрасте
покинул родной остров и, объехав
мудрецов в разных краях света,
добрался до Египта, где пробыл 22
года, пока его не увёл в Вавилон в
числе пленников персидский царь,
завоевавший Египет.
По словам античных авторов,
Пифагор встретился чуть ли не со
всеми известными мудрецами той
эпохи, греками, персами, халдеями,
египтянами, впитал в себя всё
накопленное человечеством знание.
В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12
лет, общаясь с магами, пока
наконец не смог вернуться на
Самос в 56-летнем возрасте, где
соотечественники признали его
мудрым человеком.
Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)

11. Значение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора- это одна из самых важных
теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из
неё или с её помощью можно вывести большинство
теорем геометрии.
Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних
веков считали очень трудным и называли его Dons
asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих»,
так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие
серьезной математической подготовки, бежали от
геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы
наизусть, без понимания, и прозванные поэтому
«ослами», были не в состоянии преодолеть теорему
Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого
моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему
Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной
мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы
штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.