Первый признак подобия треугольников

1. Первый признак подобия треугольников

2.

Вспомним подобные треугольники:
Определение: треугольники называются подобными, если углы
одного треугольника равны углам другого треугольника
и стороны одного треугольника пропорциональны
сходственным сторонам другого.
В1
В
С1
С
А
А1
А1=
А1В1
АВ
А,
В1 =
В1С1
ВС
В,
С1 =
А1С1
АС
С,
k.
A1B1C1
~
ABC,
K – коэффициент подобия.
Сходственными сторонами в подобных треугольниках
называются стороны, лежащие против равных углов.

3.

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно
равны двум углам другого треугольника,
(по двум углам)
то такие треугольники подобны.
B
Дано:
Р
C
A
Т. к. по условию
М
К
Доказательство:
А=
Ми
В=
Р, то
АВС и
МРК,
А=
М,
В=
Р.
Доказать:
АВС
~
С=
МРК.
К.
По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол,
получаем:
S АВС
АВ ∙ АС ; S АВС
ВА ∙ ВС ; S АВС
СА ∙ СВ
МР ∙ МК
РМ ∙ РК
КМ ∙ КР
SМРК
SМРК
SМРК
Из этих равенств следует: АВ
ВС
АС
МР
РК
МК
Итак, углы одного треугольника равны углам другого треугольника,
а их сходственные стороны пропорциональны, значит,
по определению треугольники АВС и МРК подобны.

4.

Реши задачу
1.
Являются ли треугольники подобными ?
R
T
N
S
D
F

5.

Реши задачу
2.
Являются ли треугольники подобными ?
В
Р
М
С
680
А
220
К

6.

Реши задачу
3.
Являются ли треугольники подобными ?
А
В
М
С
Е

7.

Реши задачу
4.
Назови подобные треугольники и сходственные стороны в них:
FN
RS
N
F
A
R
S

8.

Реши задачу
5.
Назови подобные треугольники и сходственные стороны в них:
D
HZ
H
C
Z
K
CK

9.

Реши задачу
6.
Назови подобные треугольники и сходственные стороны в них:
L
N
V
Q
F
FLNQ – трапеция.

10.

Реши задачу
7.
Е
6
В
К
С
3
?
А
5

11.

Реши задачу
8.
x
7
5
14

12.

Реши задачу
9.
Х
М
12
?
О
12
4
Н
Р

13.

Реши задачу
10.
В
АО
СО
3
2
С
9
О
А
?
У

14.

Реши задачу
11.
В
АВ
СУ
?
С
2,5
1,4
О
10
А
У

15.

Решение задачи
Диагонали трапеции АВСК пересекаются в точке О. Площади
треугольников ВОС и АОК относятся как 1: 9. Сумма оснований
ВС и АК равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.
В
С
О
А
Дано: АВСК – трапеция, ВС + АК = 4,8 см,
SСОВ : SАОК = 1 : 9.
Найти: ВС, АК.
К Решение:
АВСК – трапеция, значит, ВС АК, следовательно,
как накрест лежащие (секущая – АС), аналогично
САК =
АКВ =
АСВ,
СВК.
Значит, по двум углам треугольники СОВ и АОК подобны, следовательно,
SСОВ : SАОК = k2, а по условию SСОВ : SАОК = 1 : 9, т. е. k2 = 1/9; k = 1/3.
По доказанному треугольники СОВ и АОК подобны, следовательно,
ВС : АК = k, т. е. ВС : АК = 1/3, значит, ВС = 1/3 АК или АК = 3 ВС.
А по условию ВС + АК = 4,8 см, значит, ВС + 3 ВС = 4,8; 4 ВС = 4,8.
Получаем: ВС = 1,2 см, АК = 4,8 – 1,2 = 3,6(см).
Ответ: ВС = 1,2 см, АК = 3,6 см.

16.

Нужный вывод
Дано:
С
О, АВ СК.
Доказать:
3
А
1
М
ОА
ОВ
АС
ВК
Доказательство:
2
Проведём АМ
О
Значит,
В
АОВ и
К
ОК, значит,
Т. к. по условию АВ
СК, то
1=
О.
2=
3.
САМ подобны по двум углам, следовательно,
ОА
АС
сходственные стороны пропорциональны:
ОВ
АМ
ОА
АС
ВАМК – параллелограмм, значит, АМ = ВК
ОВ
ВК
Вывод: если стороны угла пересечены параллельными прямыми,
то отрезки, образованные последовательно на одной стороне угла,
пропорциональны отрезкам, образованным последовательно
на другой стороне угла.

17.

Реши задачу
С
5
А
6
О
3
Дано: АВ СМ.
В
М
?

18.

Реши задачу
М
6
?
В
О
6
А
8
С
Дано: АВ СМ.

19.

Михайлова Л. П.
ГОУ ЦО № 173.