Второй признак подобия треугольников

1. Второй признак подобия треугольников

2.

Повторение
Определение: треугольники называются подобными, если
-----------------------------------------В1
В
С1
С
А
А1
А1=
А1В1
АВ
А,
В1 =
В1С1
ВС
В,
С1 =
А1С1
АС
С
A1B1C1
~
ABC
K – коэффициент подобия
k
Сходственными сторонами в подобных треугольниках
называются стороны, -------------------------------------------Первый признак подобия треугольников: -------------------------------

3.

Теорема. Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого треугольника
и углы, заключённые между этими сторонами, равны,
то такие треугольники подобны.
B
Дано: АВС и
МРК,
P
А=
М,
АВ
АС
МР
МК
A
1
2
C M
K
Доказательство:
Рассмотрим
тогда
В1
Следовательно, АВ1 = АВ.
Доказать:
АВС
АВ1С, у которого
АВ1С и
~
1=
МРК.
М,
2=
К,
МРК по двум углам подобны.
АВ1
АС
АВ
АС
, а по условию
МК
МК
МР
МР
АВС = АВ1С по двум сторонам и углу между ними.
Значит,
Значит, АСВ = 2, а т. к. 2 = К, то и АСВ = К.
А по условию и А = М, значит, по двум углам
АВС и
МРК подобны.

4.

Реши задачу
1.
Являются ли треугольники подобными ?
А
6
В
12
К
8
М
4
С
Е

5.

Реши задачу
2.
Являются ли треугольники подобными ?
F
Дано:
FL = 4 LC
FR = 4 RN
L
C
R
N

6.

Реши задачу
3.
C
Дано:
O
A
АО
ВО
ОС
ОК
B
Доказать:
С=
К.
K
Приложение: равенство в условии можно записать ещё тремя равенствами:
ВО
АО
ОК
ОС
АО
ОС
ВО
ОК
ОС
АО
ОК
ВО

7.

Реши задачу
4.
C
3,3
O
3
A
B
4,5
2,2
K
Доказать:
АС ВК.

8.

Реши задачу
5.
C
Дано:
O
A
B
АО
ОС
= 1,5,
ВО
ОК
ВК = 8 см.
Найти: АС.
K

9.

Решение задачи
В
С
Дано: ОС = 5см, ОВ = 6 см,
ОА = 15 см, ОК = 18 см.
О
А
Доказать: АВСК – трапеция.
Найти: SАОК : SСОВ.
К
Решение:
Рассмотрим
АОК и СОВ, АОК = ВОС по свойству вертикальных углов.
18
15
ОК 3. Значит, АОК и СОВ подобны
3, значит, ОА
5
6
ОС
ОВ
по второму признаку подобия, коэффициент подобия k = 3.
По теореме об отношении площадей подобных треугольников SАОК : SСОВ = k2
Следовательно, SАОК : SСОВ = 32 = 9.
Из подобия треугольников следует, что ОАК = ОСВ, а они – накрест
лежащие при прямых АК и ВС (секущая АС), значит, АК ВС,
следовательно, АВСК – трапеция.
Ответ: 9

10.

Михайлова Л. П.
ГОУ ЦО № 173.