Гиперболалық теңдеуге қойылған бастапқы-шеттік есепті Галеркин әдісімен шешу

1. Гиперболалық теңдеуге қойылған бастапқы-шеттік есепті Галеркин әдісімен шешу

Орындаған:
Асқар.Д.И
1

2.

Мақсат
Гиперболалық теңдеуге қойылған
бастапқы-шеттік есепті Галеркин
әдісін пайдаланып сандық әдіс
арқылы жуық шешімін табу;
2

3. Есептің қойылымы

D ( x, t ) R 2 : a x b, t 0
2u
u
u
u
L[u ( x, t )] 2 ( x, t ) K1 ( x, t ) K 2 ( x, t ) ( x, t )u g ( x, t ),
t
x
x
t
(1)
Шеттік шарттары
u ( a, t )
a
u
(
a
,
t
)
a
a 2 (t ),
1
0
x
b u (b, t ) b u (b, t ) b (t ),
0
1
2
x
(2)
Бастапқы шарттары
2/6/2019
u ( x,0) f ( x),
(3)
u ( x,0)
( x),
t
(4)
Thema/ Student
3

4.

және
( x, t ), K1 ( x, t ), (K1 0), K 2 ( x, t ), ( x, t ), g ( x, t ) D
облысындағы
үзіліссіз функциялар;
a2 (t ), b2 (t ) [0, )
a0 , a1 , b0 , b1
аралығында дифференциалданатын функциялар;
берілген нақты сандар, және
a02 a12 0, b02 b12 0
'
f (x) берілген функция, f ( x) мен бірге [a, b] да үзіліссіз және
Мына шарттарды қанағаттандырады
a 0 f (a) a1 f ' (a) a 2 (0),
b0 f (b) b1 f ' (b) b2 (0);
2/6/2019
Thema/ Student
4

5.

(x) берілген функция,
[ a, b]
да үзіліссіз және
мына шарттарды қанағаттандырады
da 2 (0)
'
a 0 (a) a1 (a) dt ,
b (b) b ' (b) db2 (0) .
1
0
dt
2/6/2019
Thema/ Student
5

6.

D облысында қандай да бір жүйеде екі рет дифференциалданатын
u0 ( x, t ), u1 ( x),..., un ( x)
u0 ( x, t ) (2) шеттік шарттарды қанағаттандыратындай
u i ( x)
(i 1)
сынақ функциялары [ a , b ] -де
сызықты тәуелсіз және біртекті шеттік
a0 u (a) a1u ' (a) 0,
b0 u (b) b1u ' (b) 0.
шарттарды қанағаттандыратындай аламыз.
2/6/2019
Thema/ Student
6

7.

n
u n ( x, t ) u 0 ( x, t ) k (t )u k ( x)
(5)
k 1
un ( x, t ) ті ( 1)-ші теңдеудегі u ( x, t ) нің орнына қойыпR1
2 k
R1 ( 1 (t ), 2 (t ),..., n (t ), x, t ) 2 ( x, t ) k
t
k 1 t
n
сәйкессіздігін алам
2u0
u
u k ( x) 2 ( x, t ) 0
t
t
n
n
n
2u0
u 0
"
'
K1 ( x, t ) 2 k u k K 2 ( x, t )
k u k ( x, t ) u 0 k u k g ( x, t )
k 1
k 1
x k 1
x
немесе
n
n
2 k
k
"
'
R1 ( 1 (t ), 2 (t ),..., n (t ), x, t ) u k
u
K
u
K
u
u k k
k
1
k
2
k
2
t
t
k 1
k 1
k 1
n
2u0
u 0
2u0
u 0
.
K1
K2
u 0 g 2
2
x
t
x
t
7

8.

un (x,0) ді (3) бастапқы шартқа қойып
n
R2 ( 1 (0),..., n (0), x) u 0 ( x,0) k (0)u k ( x) f ( x).
(6)
k 1
un (x,0) ді (4) бастапқы шартқа қойып
u 0 ( x,0) n
R3 ( 1 (0),..., n (0), x)
k (0)u k ( x) ( x). (7)
t
k 1
R2 , R3 cәйкессіздіктерін аламыз
8

9.

k (t )
Функциясы
және
k (0), k (0),
бастапқы мәндерінде
Сәйкессіздік аз болатындай етіп қосымша шарттар
береміз
Жалпылама Галеркин әдісінде бұл шарттар
R1 1 (t ),..., n (t ), x, t , wk ( x) 0,
k 1, n ;
(8)
R2 1 (0),..., n (0), x , wk ( x) 0,
R3 1 (0),..., n (0), x , wk ( x) 0,
k 1, n ;
(9)
k 1, n ;
(10)
Теңдеулер жүйесімен анықталынады
9

10.

b
V ( x), W ( x) V ( x)W ( x)dx
a
(8) шартты ашып жазсақ
n
n
n
2 j
j
"
'
u j ( x)
u
K
u
K
u
u j j
j
1
j
2
j
2
j 1
t
t
j 1
j 1
2u0
u 0
2u0
u 0
, wk ( x) 0,
K 1
K2
u 0 g ( x, t )
2
2
x
t
x
t
10

11.

n
n
n
2 j
j
"
'
(u j , wk )
(
u
,
w
)
K
u
K
u
j
k
1 j
2 j u j , wk j
2
j 1
t
t
j 1
j 1
2u0
u 0
2u0
u 0
0,
K 1
K
u
g
(
x
,
t
)
,
w
(
x
)
2
0
k
2
2
x
t
x
t
немесе
d 2 j
n
a
j 1
2/6/2019
kj
dt
2
n
d j
j 1
dt
hkj
Thema/ Student
n
ckj j bk ,
k 1, n ; (11)
j 1
11

12.

b
akj (u j , wk ) u j ( x)wk ( x)dx,
b
(12)
a
hkj (t ) ( x, t )u j ( x)wk ( x)dx
b
a
ckj (t ) K1u "j K 2 u 'j u j wk dx,
a
2u0
u 0
2u0
u 0
wk ( x)dx ,
bk (t ) K1
K2
u 0 g ( x, t ) 2
2
x
t
x
t
a
b
k 1, n ,
j 1, n.
12

13.

A (a kj ) n ,
H (hkj ) n ,
C (c kj ) n ,
B (bk ) n,1 ,
V ( j ) n,1 ,
2
d V
dV
A 2 H
CV B.
dt
dt
d V
dV
1
A H
CV B .
2
dt
dt
2
2/6/2019
Thema/ Student
(13)
13

14.

(9)-шы шартты ашып жазатын болсақ
n
u 0 ( x,0) j (0)u j ( x) f ( x), wk ( x)
j 1
u j ( x), wk ( x) j (0) u 0 ( x,0) f ( x), wk ( x) 0
n
j 1
немесе
u
n
j 1
j
( x), wk ( x) j (0) f ( x) u 0 ( x,0), wk ( x) , k 1, n ;
n
a
j 1
2/6/2019
kj
j
(0) d k ,
Thema/ Student
k 1, n ;
(14)
14

15.

b
d k ( f ( x) u 0 ( x,0), wk ( x)) ( f ( x) u 0 ( x,0)) wk ( x)dx
a
D (d k ) n ,1
(9)-шы формуладан
V (0) A 1 D
2/6/2019
Thema/ Student
(13)
15

16.

Енді (10)-шы формуланы ашып жазсақ
u 0 ( x,0) n d j (0)
u j ( x) ( x), wk ( x)
t
dt
j 1
d j (0) u 0 ( x,0)
u j ( x), wk ( x)
( x), wk ( x) 0
dt
t
j 1
n
немесе
d j (0)
n
a
j 1
2/6/2019
kj
dt
Thema/ Student
rk ,
k 1, n ;
(14)
16

17.

b
u
(
x
,
0
)
u 0 ( x,0)
0
rk ( x)
, wk ( x) ( x)
wk ( x)dx
t
t
a
R (rk ) n ,1
Матрицасын енгізіп
dV (0)
A 1 R.
dt
2/6/2019
Thema/ Student
(15)
17

18.

Осылайша (5)-тің сынақ шешімін анықтайтын k (t ),
k 1, n ;
функциясын табу үшін (13) және (15) бастапқы
шарттары бар 2-ші ретті сызықты жай
дифференциалдық теңдеудің канондық жүйесіне
Коши есебін аламыз. Берілген Коши есебін шешіп
және осы шешіммен анықталынатын (t )
функцияларын (5)-ке қойып, u n ( x, t )
k
сынақ шешімнің құрылуын аяқтаймыз.
2/6/2019
Thema/ Student
18

19.

2/6/2019
Thema/ Student
19

20.

2/6/2019
Thema/ Student
20

21.

Дәл шешім
Жуық шешім
2/6/2019
Thema/ Student
21

22.

2/6/2019
Thema/ Student
22

23.

Пайдаланылған әдебиеттер
1. А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов-Алгоритмы методов
взвешенных невязок в системе MATHCAD
2. С.Ю Игнатович-Метод Галеркина решения линейных
граничных задач для дифференциальных уравнений
3. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения. — Л.:
изд-во Ленингр. ун-та, 1965
23