Дифференциалдық теңдеулер

1. Дифференциалдық теңдеулер

Медициналық биофизика, информатика және
математикалық статистика кафедрасының доценті
Аймаханова Айзат Шалхаровна

2. Дәріс жоспары:

•Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық
теңдеулер. Жалпы және дербес шешімдер.
•Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті
қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Коши
есебі.
•Бір текті дифференциалдық теңдеу.
•Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық
теңдеулер. Лагранж әдісі. Бернулли әдісі.
•Медициналық – биологиялық есептерге
дифференциалдық теңдеулер құру.

3.

Дифференциалдық теңдеу деп x тәуелсіз
айнымалыны, y ізделінді функцияны және
оның
әртүрлі
ретті
туындыларын
байланыстыратын өрнекті айтады.
Дифференциалдық
теңдеудің
құрамына
кіретін туындылардың ең жоғары реті сол
теңдеудің реті деп аталады.
Егер y ізделінді функциясы бір айнымалыға
тәуелді болса, онда д.т. қарапайым
дифференциалдық теңдеу деп аталады.

4. n-ші ретті дифференциалдық теңдеулер :

F(x,y,y ,y ,...,у(n))=0
n- дифференциалдық теңдеудің реті
n 1
(n)
y
F x, y, y , , y
Жоғары туындыға қатысты шешілген д.т.

5.

Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп
сол теңдеуге қойғанда оны теңбе-теңдікке
айналдыратын
y=y(x)
функциясын
айтады.
Дифференциалдық теңдеудің шешімін
табу есебі берілген дифференциалдық
теңдеуді интегралдау есебі деп аталады.
Дифференциалдық теңдеудің шешімінің
графигі интегралдық
қисық
деп
аталады.

6. n-ші ретті д.т. жалпы және дербес шешімдері

y= (x,C1,..,Cn), - жалпы шешім,
мұндағы C1,..,Cn кез келген тұрақты
сандар.
C1,..,Cn нақты бір сандық мәндеріндегі
шешім дербес шешім деп аталады.

7. 1-ші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу:

F(x,y,y )=0
х – тәуелсіз айнымалы; у - ізделінді функция;
у - функция туындысы.
y =f (x,y)
туындыға қатысты шешілетін бірінші
ретті д.т.

8. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер

немесе
dy
f x g y
dx
M x N y dx P x Q y 0
мұндағы f (x), M(x),P(x) – х айнымалысының
қандай да бір функциясы;
g(y), N(y), Q(y) - у айнымалысының функциясы.

9. Шешу жолы:

dy
f x g y
dx
dy
f ( x)dx
g ( y)
dy
f ( x)dx
g ( y)
у ( х, С )
- жалпы шешім.

10. Коши есебі

y x x y0
0
бастапқы
шартын
қанағаттандыратын у' = f (x,у)
теңдеуінің дербес шешімін табу
есебі Коши есебі деп аталады.

11. Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеу

Анықтама. Егер х және у айнымалылары бойынша ноль өлшемді біртекті
функция болатын болса, онда бірінші ретті дифференциалдық теңдеу
dy
f ( x, y )
dx
біртекті теңдеу деп аталады.
Біртекті теңдеудің шешуі. Шарт бойынша
y
f ( x, y ) f (1, ).
x
Онда теңдеу төмендегі түрге ие болады:
dy
f (1, y / x).
dx

12. Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеу

y
u
x
y u x
немесе
алмастыруын жасаймыз.
Соңғы теңдікті дифференциалдап, табатынымыз:
dy
du
u x .
dx
dx
y
dy
және dx -тің мәндерін берілген теңдеуге қойып,
u x
du
f (1, u )
dx
теңдеуіне ие боламыз. Бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу:
du
dx
du
f (1, u ) u
x
x
f (1, u ) u немесе
dx
Интегралдап табамыз:
du
dx
lnC
f 1, u u
x
немесе
du
ln x ln C .
f (1, u ) u

13. Бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеу

у' + р(х) у = f (х),
(1)
мұндағы р(х) и f(х) — үздіксіз функциялар,
Егер f (х) = 0,
онда у'+р(х)у=0
біртекті сызықты д.т.
Егер f (х) 0, онда у'+р(х)у=f (х),
біртекті сызықты емес д.т.

14. Сызықты біртекті д.т. шешу әдісі

у'+р(х) у = 0
у'= - р(х) у
dy
y
dx
dy
y p( x)dx
ln y p( x)dx ln C1

15. Біртекті сызықты емес д.т. шешу әдістері

у' + р(х) у = f (х)
• Тұрақтыны вариациялау әдісі
( Лагранж әдісі)
•Бернулли әдісі

16. Тұрақтыны вариациялау әдісі

1. С.б.емес д.т. жалпы шешімін адымдап табу
әдісі.
2. Жалпы шешімнің формуласы:
y( x) C1e
p ( x ) dx
e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
dx
f ( x)e

17. Тұрақтыны вариациялау әдісі

Бұл әдіс үш этаптан тұрады.
А) dy 0 P х y 0
dx
0
сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз.
dy0
P( x)dx
y0
dy0
y0 P( x)dx
ln y0 P( x)dx ln C ,
y0 C e
P ( x ) dx
.

18. Тұрақтыны вариациялау әдісі

В) теңдеудің дербес шешімін табу үшін С х айнымалының функциясы
болсын да, бұл жерде белгісіз функция. Яғни, С=С(х).
С х е P ( x ) dx P( x) С х е P ( x ) dx Q( x)
P ( x ) dx
P ( x ) dx
С х е P ( x ) dx Q( x)
C x е
P( x) С х е
P
(
x
)
P ( x ) dx
C x е
Q( x)
P ( x ) dx
dC
Q ( x )e
dx
P ( x ) dx
dC Q( x)e
dx
P ( x ) dx
C Q( x)e
dx C1

19.

С) С (x ) функциясының табылған мәнін
қойып, табамыз:
y0 C e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y Q( x)e
dx C1 e
P ( x ) dx
теңдікке
(*)
(*) - бірінші ретті сызықтық бір текті емес теңдеудің жалпы шешімі.

20. Бернулли әдісі

С.б. емес д.т. шешімі
ізделінеді
y u
мұндағы u u x
белгісіз функциялар.
және
мына
түрде
x
-

21. Бернулли теңдеуі

dy
P( x) y Q( x) y n
dx
дифференциалдық теңдеуін қарастырайық.
Егер n 0 немесе n 1 болатын болса, онда сызықтық дифференциалдық
теңдеуге ие боламыз. Сондықтан n 0 және n 1
жағдайда қарастырамыз.
Бұл теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады және
алмастыруы
z y1 n
арқылы сызықтық
дифференциалдық теңдеуге келтіріледі. Ол үшін теңдеудің екі
n
жағын да y бөліп:
(1) теңдеуін аламыз.
n dy
1 n
z y1 n
y
dx
P( x) y
Q( x),
(2)
алмастыруын жасаймыз.
(2) теңдікті дифференциалдап, табамыз:
dz
dy
(1 n) y n .
dx
dx
(3)
z және
-тің мәндерін (1) теңдеуге қойып, төмендегі сызықтық
дифференциалдық теңдеуге ие боламыз: dz
dz
dx
dx
(1 n) P( x) z (1 n)Q( x).
Бұл теңдеудің жалпы интегралын тауып және z-ті
Бернулли теңдеуінің жалпы интегралын табамыз.
y1 n
(4)
арқылы алмастырып,

22. Кейбір жаратылыстану есептеріне д.т. құру:

23. Бактериялардың көбею жылдамдығы жөніндегі есеп

Бактериялардың
көбею
жылдамдығы
олардың санына пропорционал. Бастапқы
мезетте 100 бактерия болды, ал 3 сағ. Ішінде
олардың саны екі есе артты. Бактериялар
санының уақытқа тәуелділігін табу керек.
9сағ. ішінде бактериялар саны неше есе
артады?
dx
kx
dt

24. Химиялық реакцияларды сипаттайтын д.т.:

dx
k (a x)
dt
- бірінші текті х.р.
dx
k (a x)(b x) - екінші текті х.р.
dt

25. Радиоактивті ыдырау жөніндегі есеп

Радийдің ыдырау жылдамдығы уақыттың әрбір
мезетінде оның бар массасына пропорционал.
Бастапқы мезетте m0 г радийдің болғаны және
радийдің жартылай ыдырау кезеңі (радийдің
жарты массасының ыдырайтын уақыт кезеңі)
1590 жыл екендігі белгілі болса, онда радийдің
ыдырау заңын табу керек.
d (m0 x)
dx
.
dt
dt

26. Дененің тоңазуы жөніндегі есеп

Дененің ауада тоңазу жылдамдығы дене
температурасы мен ауа температурасының
айырмасына пропорционал. Ауа температурасы
200 С тең. 20 мин. ішінде дененің 100 ден 600 С.
дейін
тоңазитыны белгілі болса, дене
температурасының t уақытқа тәуелді өзгеру
заңын табу керек.
d
k ( 20),
dt

27. Әдебиет:

ҚАЗАҚ ТІЛІНДЕ
•Изтлеуов М.К., Беккужина А.И., Жалимбетова Н.К., Ахметова А.Б. Математика:
Жоғары медицина оқу орындарына арналған оқулық. Полиграфия, 2005г.
•Қасымов К., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. Оқу қуралы.-Алматы: Санат,
1997.
ОРЫС ТІЛІНДЕ
•И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики.
(учебник для медицинских и фармацевтических вузов)., М., 2003 г.
•В.С. Шипачев. Курс высшей математики. М., Проспект. 2004 г.
•И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. М., ВЛАДОС.2002г.
•Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.

28. Назарларыңызға рахмет