Численные методы решения ДУ ДТ сандық әдістерімен шешу
Численные методы решения ДУ
ДТ сандық әдістерімен шешу
Численные методы решения ДУ
ДТ сандық әдістерімен шешу
Численные методы решения ДУ ДТ сандық әдістерімен шешу
Численные методы решения ДУ ДТ сандық әдістерімен шешу
248.00K
Category: mathematicsmathematics

Дифференциальные уравнения

1.

Дифференциальные уравнени
Дифференциалдық теңдеулер
G(t , y, y ,..., y ( n ) ) 0
y
( n)
F (t , y, y ,..., y
y y (t )
( n 1)
)

2.

Дифференциальные уравнения
Дифференциалдық теңдеулер
dy
f (t , y, u ),
dt
y (t ) âåêòîð yi (t ), i 1,2,..., m âûõîäíûå ïåðåìåííûå
(ïåðåìåííûå
u u j (t ) âõîäíûå ïåðåìåííûå
ñîñòîÿíèÿ
);
;
f ( x, t , u ) âåêòîð ôóíêöèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ .
dy
f (t , y , u )
dt
y (t 0 ) y 0

3. Численные методы решения ДУ ДТ сандық әдістерімен шешу

(tm , ym )
y f (tm , ym )
'
m
t m 1 t m h

4. Численные методы решения ДУ

Уравнение касательной
y ym y (t t m )
'
m
Из заданного уравнения имеем можем вычислить tg угла
наклона касательной
y m' f (t m , ym )
Следующей точкой решения считаем ту, где касательная
пересечет ординату точки
tm 1 t m h
Тогда
ym 1 ym h f (tm , ym )
ìåòîä
Ýéëåðà
(1)

5. ДТ сандық әдістерімен шешу

Жанама теңдеуі
y ym y (t t m )
'
m
Берілген теңдеуден жанаманың иілу бұрышының tg есептей
аламыз
y f (t m , ym )
'
m
Шешімнің келесі нүктесі деп жанама келесі нұктенің
ординатасымен қиылысу нүктесін аламыз
tm 1 t m h
Сонда
ym 1 ym h f (tm , ym )
- Эйлер әдісі
(1)

6. Численные методы решения ДУ

Методы Рунге-Кутта:
1. Одноступенчатые;
p
2. Порядок точности - порядок метода h .
3. Не требуется вычислений производных функции.
Метод Эйлера – метод Рунге-Кутта первого порядка точности.

7. ДТ сандық әдістерімен шешу

Рунге_Кутт әдістері:
1. Бірқадамды;
2. Дәлдік реті – әдіс реті h p .
3. Функциялардың туындыларын есептеу қажет емес.
Эйлер әдісі – дәлдігі бірінші Рунге-Кутт әдісі.

8. Численные методы решения ДУ ДТ сандық әдістерімен шешу

t m , ym
t m h, ym h y
'
m
1
F1 (t m , y m , h) [ f ( xm , y m ) f ( xm h, y m h y m' ), a y m' f ( xm , y m )
2
y ym h F1 (tm , ym , h)
ym 1 ym h F1 (tm , ym , h)
-исправленный метод Эйлера
- түзетілген Эйлер әдісі
(2)

9. Численные методы решения ДУ ДТ сандық әдістерімен шешу

h
h '
'
F2 (t m , y m , h) f ( xm , y m y m ), a y m f ( xm , y m )
2
2
ym 1 ym h F2 (tm , ym , h)
- модифицированный метод Эйлера
(3)

10.

Численные методы решения ДУ
ДТ сандық әдістерімен шешу
Төртінші ретті дәлдігі бар Рунге-Кутт әдісі
y m 1
h
y m ( k1 2 k 2 2 k 3 k 4 )
6
где
k1 f ( x m , y m )
h k1
h
k 2 f ( xm , y m
)
2
2
h k2
h
k 3 f ( xm , y m
)
2
2
k 4 f ( x m h, y m h k 3 )

11.

Численные методы решения ДУ
ДТ сандық әдістерімен шешу
y y,
'
y ( 0) 1

12.

Численные методы решения ДУ
ДТ сандық әдістерімен шешу
t
exp(t)
0,0
1,00
0,5
1,65
1,0
2,72
1,5
4,48
2,0
7,39
Метод
Эйлера
Рунге-Кутта

13.

Численные методы решения ДУ
ДТ сандық әдістерімен шешу
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
1
2
3
4
5

14.

Численные методы решения ДУ
ДТ сандық әдістерімен шешу
k1 y m
h
k 2 ym ym
2
h
h
k 3 y m ( y m y m )
2
2
h
h
k 4 y m h [ y m ( y m y m )]
2
2
h2 h3 h4
y m 1 y m (1 h )
2 6 24
English     Русский Rules