Интегралы Эйлера первого и второго рода

1. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА Первого и второго рода

ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
ПОДГОТОВИЛ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО
РОДА
СТУДЕНТ 3
БМКН
АСАФОВ Л.

2. Что такое интеграл Эйлера

ЧТО ТАКОЕ ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА
Интегралом Эйлера первого рода называют
интеграл вида:
1
B a,b = x a 1 1 x b 1dx
0
где a, b > 0. Он определяет функцию двух
параметров a и b: B ("Бета") функцию.

3.

Интегралом Эйлера второго рода называют
интеграл вида:
Γ a = x a 1e x dx
0
который сходится при любом a > 0.

4. Свойства непрерывности гамма-функции Эйлера

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ ГАММАФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА
• Функция Г(a) при всех значениях a > 0
непрерывна и имеет непрерывные
производные всех порядков. Достаточно
доказать лишь существование производных.
Продифференцируем интеграл и получим:
Γ' a = x lnx e dx
0
a 1
x

5.

Так как оба интеграла
1
a 1
x
x
ln
x
e
dx
0
и
a 1
x
x
ln
x
e
dx
1
сходятся равномерно относительно a
тем самым оправдано правило Лейбница

6. Формула Раабе

ФОРМУЛА РААБЕ
a+1
R a = ln Γ a da = a lna 1 + ln 2π
a

7. Формула Лежандра

ФОРМУЛА ЛЕЖАНДРА
1
π
Γ a Γ a + = 2 a 1 Γ 2a
2 2

8. Примеры

ПРИМЕРЫ
Определить площадь P фигуры, ограниченной
m
m
одним витком кривой r = a cos
, иmΘ
длину S этого
витка.
π
π
1 1
2
2
2
Γ
+
Γ
2 2
2
2
a 2 2m
a
a
π
πa
m
2
=
m
m mΘΘd =
m d=
P= 2
cos
cos
2 0
m 0
m 2
1
m 4 1
Γ + 1
Γ
m
m
По формуле длины дуги в полярных
координатах
π
π
1 1
1 1
1 1 Γ 1
2m
2
2
a
2 m 2m
m
m
s = 2a cos
mΘΘd =
cos
d= 2
m 0
m
1
0
Γ
m
2

9.

sin
Вычислить интеграл
0 1 + ksin
π
a 1
dπ
1 + kcos
a > 0,0 < k < 1
Θ
1 k
tg
Воспользуемся подстановкой tg =
2
1+ k 2
и получим
a
Γ
a 1
2
2
a Γ a
1 k 2 2
2

10. Список литературы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
• Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический
анализ. Начальный курс. Под. ред. А. Н. Тихонова. [Текст] – М.:
Изд-во МГУ, 1987. – 662 с.
• Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический
анализ. Продолжение курса. Под. ред. А. Н. Тихонова. [Текст]
– М.: Изд-во МГУ, 1987. – 358 с.
• Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 1.
9-е изд., стер. [Текст] – СПб.: Издательство "Лань", 2008. – 912
с.
• Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2.
9-е изд., стер. [Текст] – СПб.: Издательство "Лань", 2008. – 464
с.
• Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное
пособие по высшей математике в 5 томах. Том
III.Математический анализ: кратные и криволинейные
интегралы. [Текст] – М.: Едиториал УРСС, 2001 – 224 с.

11. Список литературы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. В 3 т. Т. I / Пред. и прим. А.А. Флоринского. – 8-е изд.
[Текст] – М.ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 680 с.
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. В 3 т. Т. II / Пред. и прим. А.А. Флоринского. – 8-е изд.
[Текст] – М.ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 864 с.
• Кузнецов Д.С. Специальные функции. [Текст] – М.: Высшая
школа, 1962 – 249 с.
• Литвинов В. В. Различные методы вычисления несобственных
интегралов, зависящих от параметра / В. В. Литвинов; Яросл. гос.
ун-т им. П. Г. Демидова [Текст] – Ярославль: ЯрГУ, 2014. – 30 с.
• Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по
математическому анализу. Учебник для университетов и пед.
вузов / Под ред. В. А. Садовничего [Текст] – М.: Высш. шк. 2004. –
640 с.

12.

Спасибо за внимание