Similar presentations:
Вычисление криволинейных интегралов 1 рода
1.
Предположим, что на кривой L положение точки Мопределяется длиной дуги АМ=S, отсчитываемой от
начальной точки А.
Тогда кривая L параметрически выразится уравнениями
вида
x x( s )
y y( s)
2.
При этом функция f(x,y) сведется к сложной функцииf(x(s),y(s)).
Пусть si – длины дуг, соответствующие выбранному
делению дуги АВ точками Ai. Тогда
i si 1 si si
Пусть
si
- значение s, определенное точкой Мi.
si si si 1
3.
Тогда интегральная сумма для криволинейногоинтеграла
станет
интегральной
суммой
определенного интеграла:
n
n
f ( , ) f ( x(s ), y(s )) s
i 1
i
i
i
i 1
i
Тогда криволинейный интеграл 1 рода
определенному интегралу по формуле:
i
i
сводится к
4.
Ls
f ( x , y )dS
0
1
f ( x ( s ), y( s ))ds
5.
Пусть теперь кривая L задана параметрически:x (t )
y (t )
где
и функции
t
(t ) и (t )
непрерывны вместе со своими производными.
6.
Если возрастанию дугивозрастание параметра t, то
S=AM=S(t)
отвечает
dS S (t )dt
S (t )
dS
(t ) (t )
2
2
(t ) (t )
2
2
dt
Заменяя в (1) переменную в интеграле, получаем:
7.
f ( x, y)dS f ( (t ), (t )) (t ) (t ) dt2
L
2
2
8.
Таким образом, для вычисления криволинейногоинтеграла 1 рода надо заменить в
подынтегральном выражении переменные х и у
через параметр, а дифференциал дуги dS
выразить как функцию параметра.
9.
y y (x )Если кривая L задана явным уравнением:
где
a x b
тогда
S ( x) 1 y ( x)
2
dS 1 y ( x) dx
2
и выражение (2) преобразуется к виду:
10.
bf ( x, y)dS f ( x, y( x))
L
a
3
1 y ( x) dx
2
11.
1Вычислить криволинейный интеграл
1
L x y dS
где L- отрезок прямой y=1/2x-2, заключенный
между точками А(0,-2) и В(4,0).
12.
dS 1 y ( x)2
L
2
5
1
dx 1 dx
dx
2
2
4
1
1
5
dS
dx
1
x y
2
0 x
x 2
2
13.
52
4
0
1
4
1
dx 5
dx 5 ln x 4
x
x 4
0
2
2
8
5 ln 8 ln 4 5 ln 5 ln 2
4
4
0
14.
2Вычислить криволинейный интеграл
(x
2
y )dS
2
L
где L- окружность
x a cos t
y a sin t
0 t 2
15.
22
2
2
2
2
dS (t ) (t ) dt a sin t a cos t dt
a sin 2 t cos2 t dt a dt
2
2
2
2
2
2
2
(
x
y
)
dS
(
a
cos
t
a
sin
t ) a dt
L
0
2
a
3
(cos t sin t ) dt a
2
0
2
2
3
2
3
dt
a
t
2
a
0
3
0