Криволинейные интегралы. Лекция 11

1. Лекция 5 11 Криволинейные интегралы

11.2 Криволинейный интеграл второго рода (по координатам)
11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
Примеры
Криволинейные интегралы
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
1

2. 11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода

Задача о работе силового поля
Предположим, что в области D задано плоское силовое поле, т. е.
на материальную точку в D действует сила F , определенная для
всякой точки: F F x, y . Считаем, что поле стационарное (не
зависит от времени t )
x, y D.
F P x, y i Q x , y j ,
Пусть материальная точка движется по линии K .
y
Bk
Bk 1 K
B0
O
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
Bn
x
Криволинейные интегралы второго рода
2

3. 11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение

Разобьем линию K на n частей точками B0 , B1 ,..., Bn .
Работа на отрезке
Bk 1Bk xk i yk j равна
Ak Fk Bk 1Bk cos k
или
Ak Fk Bk 1Bk .
Тогда
Ak P xk , yk xk Q xk , yk yk .
Просуммируем по всем отрезкам
n
An P xk , yk xk Q xk , yk yk .
k 1
Выражение в правой части называется интегральной суммой по
линии K . Пусть lk длина частичного участка разбиения кривой K .
Переходя к пределу при max lk 0 n , получим
n
величину работы
A
P xk , yk xk Q xk , yk yk .
max lk 0
lim
n
k 1
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
3

4. 11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение

Определение
Криволинейным интегралом второго рода по линии K
называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю
длины наибольшего частичного участка разбиения кривой K
n
P xk , yk xk Q xk , yk yk P x, y dx Q x, y dy.
max lk 0
lim
n
k 1
K
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
4

5. 11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение

В частности, если
Q x, y 0, то интеграл примет вид
P x, y dx
K
и называется криволинейным интегралом по координате x.
Если P x, y 0, то интеграл примет вид
Q x, y dy
K
и называется криволинейным интегралом по координате y.
Работа силового поля F по кривой K есть
P x, y dx Q x, y dy,
K
где P x, y , Q x, y - проекции силового поля на оси
координат Ox и Oy соответственно.
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
5

6. 11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода (сводится к вычислению определенных интегралов)

Например, вычислим криволинейный интеграл второго рода
P x, y dx
K
от точки B до точки C по линии K , заданной параметрически
x x t , y y t , где функции x t , y t непрерывны со
своими производными. Рассмотрим интегральную сумму
n
P k , k xk ,
k 1
Из формулы Лагранжа
k tk 1 , tk ,
k xk 1 , xk , k yk 1 , y k ,
xk xk xk 1 x tk x tk 1 .
xk x k tk ,
tk tk tk 1.
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
6

7. 11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение

В качестве промежуточной точки
k x k , k y k .
k , k выберем
n
P x k , y k x k tk
Преобразованная сумма
k 1
будет интегральной суммой для функции одной переменной
P x t , y t x t , а ее предел – определенным интегралом
tC
P x t , y t x t dt.
tC
tB
P x, y dx P x t , y t x t dt.
tC
K
tB
Аналогично,
Q x, y dy Q x t , y t y t dt.
Т. е.
K
tB
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
7

8. 11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение

Правило
Вычисление криволинейного интеграла второго рода от точки
до точки C по линии
K:
x x t , y y t
производится по формуле
B
P x, y dx Q x, y dy
K
tC
P x t , y t x t Q x t , y t y t dt .
tB
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
8

9. 11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение

Следовательно, криволинейный интеграл второго рода всегда
существует, если P x, y , Q x, y кусочно- непрерывны на K , с
конечным числом разрывов первого рода, а x t , y t
непрерывны со своими производными.
Если уравнение линии задано в явном виде y y x , то,
полагая x t , имеем
xC
P x, y dx Q x, y dy P x, y x Q x, y x y x dx.
K
xB
Если линия задана уравнениями разных видов, то линию нужно
разбить на отдельные участки интегрирования.
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
9

10. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры

1)
K : y y0 , x x1, x2 .
y
B
C
dy 0
x1
x2
x
x2
P x, y dx Q x, y dy P x, y0 dx.
K
x1
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
10

11. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

y
2)
y2
C
y1
B
K : x x0 , y y1, y2 .
dx 0
x
y2
P x, y dx Q x, y dy Q x0 , y dy.
K
y1
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
11

12. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

3) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I xydx x y dy
K
от точки O 0,0 до точки A 1,1 по линии K :
y
1
O
dy dx
A 1,1
x
1
x
4
2
I x 2 x dx x .
3
0 3
0
1
1
y x.
2
3
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
12

13. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

4) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I xydx x y dy
K
от точки O 0,0 до точки A 1,1 по линии K :
y
1
y x2.
dy 2 xdx
A 1,1
1
O
1
x
I x 2x x x
0
3
2
17
dx .
12
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
13

14. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

5) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I xydx x y dy
OBA
от точки O 0,0 до точки A 1,1 по пути OBA, где линия
OB задана уравнением y 0 dy 0 , а линия BA
задана уравнением x 1 dx 0 .
y
1
O
A 1,1
B 1,0
x
1 y
I 1 y dy
1
0
21
2
3
.
2
0
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
14

15. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

6) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I xydx от
2
точки A 1, 1 до точки B 1,1 по линии K : x y .
K
y
1
B 1,1
1
O
1
Рассмотрим два случая:
x
A 1, 1
1
А) Проинтегрируем по dy.
2
Тогда K : x y .
Дифференциал dx 2 ydy.
1
5
2y
I y y 2 ydy
5
1
2
4
.
5
1
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
15

16. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
y
Примеры
1
B 1,1
Продолжение
x
O
Б) Проинтегрируем по dx.
1
A 1, 1
1
На участке AO уравнение линии будет y x .
На участке OB уравнение линии будет y x .
Интеграл I можно представить в виде суммы интегралов
0
1
1
0
I xydx xydx x xdx x xdx
AO
OB
0
1
1
4
f ( x)dx f ( x)dx 2 x xdx .
5
1
0
0
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
16

17. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

7) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I ydx xdy
K
от точки O 0,0 до точки A 4 ,0 , где K одна арка циклоиды
x 2 t sin t ,
y 2 1 cos t .
Параметр t изменяется от 0 до 2 .
2
2
I 4 1 cos t 4 t sin t sin t dt
0
2
2
2
2
4 2 2cos t t sin t dt 4 2t 0 2sin t 0 t cos t sin t 0 24 .
0
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
17