Лекция 5 11 Криволинейные интегралы
11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода
11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение
11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение
11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение
11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода (сводится к вычислению определенных интегралов)
11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение
11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение
11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение
668.00K
Category: mathematicsmathematics

Криволинейные интегралы. Лекция 11

1. Лекция 5 11 Криволинейные интегралы

11.2 Криволинейный интеграл второго рода (по координатам)
11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода
11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
Примеры
Криволинейные интегралы
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
1

2. 11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода

Задача о работе силового поля
Предположим, что в области D задано плоское силовое поле, т. е.
на материальную точку в D действует сила F , определенная для
всякой точки: F F x, y . Считаем, что поле стационарное (не
зависит от времени t )
x, y D.
F P x, y i Q x , y j ,
Пусть материальная точка движется по линии K .
y
Bk
Bk 1 K
B0
O
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
Bn
x
Криволинейные интегралы второго рода
2

3. 11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение

Разобьем линию K на n частей точками B0 , B1 ,..., Bn .
Работа на отрезке
Bk 1Bk xk i yk j равна
Ak Fk Bk 1Bk cos k
или
Ak Fk Bk 1Bk .
Тогда
Ak P xk , yk xk Q xk , yk yk .
Просуммируем по всем отрезкам
n
An P xk , yk xk Q xk , yk yk .
k 1
Выражение в правой части называется интегральной суммой по
линии K . Пусть lk длина частичного участка разбиения кривой K .
Переходя к пределу при max lk 0 n , получим
n
величину работы
A
P xk , yk xk Q xk , yk yk .
max lk 0
lim
n
k 1
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
3

4. 11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение

Определение
Криволинейным интегралом второго рода по линии K
называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю
длины наибольшего частичного участка разбиения кривой K
n
P xk , yk xk Q xk , yk yk P x, y dx Q x, y dy.
max lk 0
lim
n
k 1
K
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
4

5. 11.2 Криволинейный интеграл по координатам второго рода Продолжение

В частности, если
Q x, y 0, то интеграл примет вид
P x, y dx
K
и называется криволинейным интегралом по координате x.
Если P x, y 0, то интеграл примет вид
Q x, y dy
K
и называется криволинейным интегралом по координате y.
Работа силового поля F по кривой K есть
P x, y dx Q x, y dy,
K
где P x, y , Q x, y - проекции силового поля на оси
координат Ox и Oy соответственно.
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
5

6. 11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода (сводится к вычислению определенных интегралов)

Например, вычислим криволинейный интеграл второго рода
P x, y dx
K
от точки B до точки C по линии K , заданной параметрически
x x t , y y t , где функции x t , y t непрерывны со
своими производными. Рассмотрим интегральную сумму
n
P k , k xk ,
k 1
Из формулы Лагранжа
k tk 1 , tk ,
k xk 1 , xk , k yk 1 , y k ,
xk xk xk 1 x tk x tk 1 .
xk x k tk ,
tk tk tk 1.
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
6

7. 11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение

В качестве промежуточной точки
k x k , k y k .
k , k выберем
n
P x k , y k x k tk
Преобразованная сумма
k 1
будет интегральной суммой для функции одной переменной
P x t , y t x t , а ее предел – определенным интегралом
tC
P x t , y t x t dt.
tC
tB
P x, y dx P x t , y t x t dt.
tC
K
tB
Аналогично,
Q x, y dy Q x t , y t y t dt.
Т. е.
K
tB
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
7

8. 11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение

Правило
Вычисление криволинейного интеграла второго рода от точки
до точки C по линии
K:
x x t , y y t
производится по формуле
B
P x, y dx Q x, y dy
K
tC
P x t , y t x t Q x t , y t y t dt .
tB
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
8

9. 11.2.1 Вычисление криволинейного интеграла второго рода Продолжение

Следовательно, криволинейный интеграл второго рода всегда
существует, если P x, y , Q x, y кусочно- непрерывны на K , с
конечным числом разрывов первого рода, а x t , y t
непрерывны со своими производными.
Если уравнение линии задано в явном виде y y x , то,
полагая x t , имеем
xC
P x, y dx Q x, y dy P x, y x Q x, y x y x dx.
K
xB
Если линия задана уравнениями разных видов, то линию нужно
разбить на отдельные участки интегрирования.
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
9

10. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры

1)
K : y y0 , x x1, x2 .
y
B
C
dy 0
x1
x2
x
x2
P x, y dx Q x, y dy P x, y0 dx.
K
x1
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
10

11. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

y
2)
y2
C
y1
B
K : x x0 , y y1, y2 .
dx 0
x
y2
P x, y dx Q x, y dy Q x0 , y dy.
K
y1
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
11

12. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

3) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I xydx x y dy
K
от точки O 0,0 до точки A 1,1 по линии K :
y
1
O
dy dx
A 1,1
x
1
x
4
2
I x 2 x dx x .
3
0 3
0
1
1
y x.
2
3
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
12

13. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

4) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I xydx x y dy
K
от точки O 0,0 до точки A 1,1 по линии K :
y
1
y x2.
dy 2 xdx
A 1,1
1
O
1
x
I x 2x x x
0
3
2
17
dx .
12
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
13

14. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

5) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I xydx x y dy
OBA
от точки O 0,0 до точки A 1,1 по пути OBA, где линия
OB задана уравнением y 0 dy 0 , а линия BA
задана уравнением x 1 dx 0 .
y
1
O
A 1,1
B 1,0
x
1 y
I 1 y dy
1
0
21
2
3
.
2
0
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
14

15. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

6) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I xydx от
2
точки A 1, 1 до точки B 1,1 по линии K : x y .
K
y
1
B 1,1
1
O
1
Рассмотрим два случая:
x
A 1, 1
1
А) Проинтегрируем по dy.
2
Тогда K : x y .
Дифференциал dx 2 ydy.
1
5
2y
I y y 2 ydy
5
1
2
4
.
5
1
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
15

16. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
y
Примеры
1
B 1,1
Продолжение
x
O
Б) Проинтегрируем по dx.
1
A 1, 1
1
На участке AO уравнение линии будет y x .
На участке OB уравнение линии будет y x .
Интеграл I можно представить в виде суммы интегралов
0
1
1
0
I xydx xydx x xdx x xdx
AO
OB
0
1
1
4
f ( x)dx f ( x)dx 2 x xdx .
5
1
0
0
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
16

17. 11.2.2 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры Продолжение

7) Вычислить криволинейный интеграл второго рода
I ydx xdy
K
от точки O 0,0 до точки A 4 ,0 , где K одна арка циклоиды
x 2 t sin t ,
y 2 1 cos t .
Параметр t изменяется от 0 до 2 .
2
2
I 4 1 cos t 4 t sin t sin t dt
0
2
2
2
2
4 2 2cos t t sin t dt 4 2t 0 2sin t 0 t cos t sin t 0 24 .
0
Криволинейные интегралы второго рода
© В.И. Бутырин, Э.Б. Шварц, 2016
17
English     Русский Rules