Объем тела, ограниченного поверхностями. (Лекция 2.2)

1. Лекция 2-2.

7)
z
1
1
z = 1 - x - y,
3
4
D : ( -1 £ x £ 1; - 2 £ y £ 2 ) .
1
x
1
y 2
1 ö
æ 1
I = ò dx ò ç1 - x - y ÷ dy =
3
4 ø
-1 -2 è
1
=
ò
-1
1
=
2
2
1
1 2ö
æ
dx ç y - xy - y ÷ =
3
8 ø -2
è
1
4 ö
2 2ö
æ
æ
4
x
dx
=
4
x
ò çè 3 ÷ø çè 3 x ÷ø = 8.
-1
-1

2. 8) Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

2
x
z = 4 - y 2 , y = , z = 0.
2
z
2
x
z = 4 - y 2 , z = 0, y = 2, y = .
2
y
2
x
-2
y
2
V = 2 ò dx
0
2æ
2
ò
x2 / 2
(
4 - y2
)
2
2
x
2
æ
y ö
dy = 2 ò dx çç 4 y - ÷÷ 2 =
3 øx
0 è
3
2
2
æ 16
8
2 3 x ö
256
2 x ö
= 2 ò ç 8 - - 2 x + ÷ dx = 2 ç x - x +
.
÷÷ =
ç
÷
ç
3
24 ø
3
168 ø
21
è
è 3
0
6
7
0

3. 9) Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

z = 1 - 4 x 2 - y 2 , z = 0.
z
4 x 2 + y 2 = 1.
y
1
x
1/ 2
y
1
2
2
= 4× ò
3
0
1
2
1
1
2
V = 4 ò dx
(
0
3
1 - 4 x 2 2 dx
)
1-4 x 2
ò
0
(
x
)
1 - 4 x 2 - y 2 dy =
p
2
8 1
4 3p p
4
= 2 x = sin t = × ò cos tdt = ×
= .
3 2
3 16 4
0

4. 9.4 Замена переменных в двойном интеграле.

При переходе от переменных x, y к переменным u , v
двойной интеграл примет вид
x = x ( u, v ) , y = y ( u, v )
òò z ( x, y ) dxdy = òò z éë x ( u, v ) , y ( u, v ) ùû J dudv
D
D*
где J - функциональный определитель Якоби (якобиан).
J=
¶ ( x, y )
¶ ( u, v )
=
¶x ¶x
¶u ¶v
¶y ¶y
¶u ¶v
=
¶x ¶y ¶x ¶y
.
¶u ¶v ¶v ¶u

5.

Итак,
*
• 1) область D заменяем на D ;
• 2) d s = J dudv - элемент площади в координатах u , v.
Предполагается, что функции x = x ( u , v ) , y = y ( u , v )
непрерывны со своими частными производными
*
в D и D .

6. 9.5 Двойной интеграл в полярных координатах.

M ( r ,j )
r
j
O-полюс
.
u
Полярная
ось
uuuu
r
r ( M ) = OM
- полярный радиус.
j( M )
- полярный угол, принимает бесконечное множество
значений отличающихся друг от друга на 2kp.
Значение j : 0 £ j < 2p - называют главным значением
(иногда: -p < j £ p ).
Положение любой точки определяется заданием
r, j
( 0 £ r < ¥, 0 £ j < 2 p ) .

7. Связь декартовых и полярных координат:

ì x = r cos j,
í
î y = r sin j.
ìr = x + y ,
ï
í
y
y
tg
j
=
Þ
j
=
arctg
.
ï
x
x
î
¶x ¶y ¶x ¶y
J=
= r cos 2 j + r sin 2 j = r.
¶r ¶j ¶j ¶r
2
Вычислим якобиан:
Двойной интеграл от функции
координатах примет вид:
2
f ( x, y ) по области D
òò f ( x, y ) dxdy = òò f ( r cos j, r sin j ) rd jdr.
D
D*
в полярных

8. Элемент площади в полярных координатах вычисляется по формуле

Dj
Dr
O
u
1 2
1
1 2
2
Ds = ( r + Dr ) Dj - r Dj = r Dr Dj + Dr Dj » r Dr Dj
2
2
2
т. е.
d s = rdrd j

9. 9.6 Примеры:

1) Полюс не содержится внутри области D .
r = r2 ( j)
r = r1 ( j )
O
I=
j2
j2
r 2 ( j)
j1
r1( j )
ò dj ò
j1
u
f ( r cos j, r sin j ) rdr

10. 2) Полюс содержится внутри области .

2) Полюс содержится внутри области D .
r = r ( j)
O
.
I=
2p
r( j)
0
0
u
ò d j ò f ( r cos j, r sin j ) rdr

11. 3)

2
2
D
:
x
+
y
£ ax
3)
y
a
x
x = r cos j, y = r sin j, J = r
Введем полярные координаты
.
2
Уравнение границы примет вид r = ar cos j
или
r = a cos j
Тогда
a cos j
p/2
I = ò d j ò f ( r cos j, r sin j ) rdr
-p / 2
0

12. 4) Найти объем общей части шара радиуса с центром в начале координат и цилиндра радиуса уравнение оси которого .

4) Найти объем общей части шара радиуса r1 = a
r2
с центром в начале координат и цилиндра радиуса
уравнение оси которого
.
x = a/2
z
На этом рисунке изображена
верхняя половина объема.
x
y
Область интегрирования имеет вид
y
a
x
Так как областью интегрирования является окружность,
то удобно перейти к полярным координатам (см.
пример 3).
=
a
2

13. Из уравнения шара для верхней полусферы имеем .

Из уравнения шараx 2 + y 2 + z 2 = a 2 для верхней полусферы
имеем
. 2
2
2
2
2
z = a -x - y = a -r
a cos j
p/ 2
V =4
ò
dj
0
p/2
= -4
ò
0
ò
a 2 - r 2 rdr = -2
0
(
dj
a cos j
p/2
ò
dj
0
a2 - r 2
)
3/ 2 a cos j
=-4
3
3
0
ò
(
0
p/2
ò(
0
4 3æ p 2ö
= a ç - ÷
3 è 2 3ø
)
a2 - r 2 d a2 - r 2 =
)
a 3 sin 3 j - a3 d j =

14. 9.7 Приложения двойных интегралов.

1) Масса плоской пластинки.
Поверхностная плотность m ( x, y )
y
Элемент массы равен dM = m ( x, y ) d s .
Масса всей пластинки равна
M = òò m ( x, y ) d s.
D
D
x

15. 2) Статические моменты инерции и центр тяжести пластинки.

( n)
Mx
n
= å yk m ( xk , yk ) Dsk ,
k =1
( n)
My
M x = òò ym ( x, y ) d s,
xц.т. =
My
M
=
D
òò m ( x, y ) d s
D
= å xk m ( xk , yk ) Dsk .
k =1
M y = òò xm ( x, y ) d s.
D
òò xm ( x, y ) d s
n
D
, yц.т. =
Mx
=
M
òò ym ( x, y ) d s
D
òò m ( x, y ) d s
D
.

16. 3) Моменты инерции пластинки.

I y = òò x 2 d s.
I x = òò y 2 d s,
D
D
Центробежный момент инерции
I xy = òò xyd s.
D
Полярный момент инерции относительно оси Oz
(
)
I 0 = òò x 2 + y 2 d s = I x + I y .
D