Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. (Лекция 2-3)

1. Лекция 2-3. 10. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 10.1. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

z
Рассмотрим тело объемом V
переменной плотности
g = g ( x, y , z ) .
y
V
x
Разобьем тело произвольным образом на n частей
элементарными объемами DV1 , DV2 ,..., DVn .
Выберем в каждом из элементарных объемов
произвольную точку M k ( xk , yk , zk ) .
Масса элементарного объема приближенно равна
DM k » g ( xk , yk , zk ) DVk .

2. Просуммируем массу всех элементарных объемов

n
n
k =1
k =1
M = å DM k » å g ( xk , yk , zk ) DVk .
• Выражение в правой части называется
интегральной суммой. Устремим наибольший
диаметр элементарных объемов
к нулю и
n
рассмотрим предел
lim
g ( x , y , z ) DV .
max ÆDVk ®0
å
k =1
k
k
k
k
Если этот предел интегральной суммы существует,
то, очевидно, он равен массе тела и называется
тройным интегралом от функции g = g ( x, y, z ) по
объему V
M=
n
g ( xk , yk , zk ) DVk = òòò g ( x, y , z ) dV .
å
max ÆDVk ®0
lim
k =1
V

3. Вообще, тройным интегралом от функции по объему называется предел интегральной суммы

Вообще, тройным интегралом от функции f ( x, y , z )
по объему V называется предел интегральной
n
суммы
òòò f ( x, y, z ) dV = lim å f ( xk , yk , zk ) DVk .
n®¥
V
k =1
Свойства двойных интегралов переносятся на
тройные интегралы:
1) òòò ( f1 ( x, y, z ) ± ... ± f n ( x, y, z ) ) dV = òòò f1 ( x, y , z ) dV ± ... ± òòò f n ( x, y , z ) dV .
V
2)
V
òòò cf ( x, y, z ) dV = c òòò f ( x, y, z ) dV .
V
3)
V
V
V = V1 UV2 , V1 I V2 = Æ.
Тогда
òòò f ( x, y, z ) dV = òòò f ( x, y, z ) dV + òòò f ( x, y, z ) dV .
V
V1
V2

4.

4) Если (x,y,z) V f1 ( x, y , z ) ³ f 2 ( x, y , z ) ,
то
òòò f1 ( x, y, z ) dV ³ òòò f 2 ( x, y, z ) dV .
V
V
V
, M = fвнаиб
V
5) Если m = fвнаим
mV £ òòò f ( x, y, z ) dV £ MV ,
то
,
V
где
6)
V = òòò dV .
V
òòò f ( x, y, z ) dV = f ( x, h, V ) V , ( x, h, V ) V .
V
f ( x, h, V )
- среднее значение f в области V.

5. 10.2. Вычисление тройных интегралов. 1) Декартовы координаты.

Пусть дан тройной интеграл I = òòò f ( x, y, z ) dV .
V
Разобьем область интегрирования V на
элементарные объемы плоскостями,
параллельными координатным плоскостям.
Тогда элементарный объем равен dV = dxdydz.
Следовательно
I = òòò f ( x, y, z ) dxdydz.
V

6. Установим правило вычисления тройного интеграла

z = z 2 ( x, y )
z = z1 ( x, y )
b x
z
a
y = y1 ( x )
y
y = y2 ( x )
b
I = òòò f ( x, y, z ) dxdydz = ò dx
V
a
y 2( x)
ò
y 1( x )
z 2 ( x, y )
dy
ò
z 1( x , y )
f ( x, y , z ) dz.

7. Пример. Вычислить тройной интеграл

I = òòò ( x + y + z ) dxdydz
V
по области, ограниченной плоскостями: x = 0, y = 0, z = 0
z
и x + y + z = 1.
z = 1- x - y
1
Построим область интегрирования:
x
1
1
y
y = 1- x
1
I = ò dx
1
0
1- x
1- x - y
1- x
1
1- x
ò dy ò ( x + y + z ) dz = ò dx ò
0
0
0
1
0
1- x - y
æ
z ö
dy ç xz + yz + ÷
2 ø
è
0
2
=
1- x
æ x
æ x
y
1ö
y
y
1 ö
= ò dx ò ç - - xy + ÷ dy = ò dx ç - y - x
+ y÷
=
2
2 2ø
2
6 2 ø
è 2
0
0 è
0
0
1
1
æ 1 x x3 ö
æ1
x2 x4 ö
1 1 1 1
= ò ç - + ÷ dx = ç x - + ÷ = - +
= .
3 2 6 ø
4 24 ø0 3 4 24 8
è3
0è
2
2
2
2
3

8. 2) Цилиндрические координаты.

x = r cos j, y = r sin j, z = z , ( 0 £ r < +¥, 0 £ j < 2p, - ¥ < z < +¥ ) .
Замена переменных в тройном интеграле
производится на тех же принципах, что и в
двойном интеграле.
¶x
¶r
¶y
J=
¶r
¶z
¶r
¶x
¶j
¶y
¶j
¶z
¶j
¶x
¶z
¶y cos j - r sin j 0
= sin j r cos j 0 = r cos 2 j + r sin 2 j = r.
¶z
0
0
1
¶z
¶z
Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет
вид
òòò f ( x, y, z ) dxdydz = òòò f ( r cos j, r sin j, z ) rd jdrdz.
V
V*

9. Пример. Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной поверхностями

Пример. Вычислить тройной интеграл
òòò zdv
по области,
V
ì z = x2 + y2 ,
ограниченной поверхностями V : í x 2 + y 2 + z 2 = 6.
î
z
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x = r cos j, y = r sin j, z = z , J = r.
x
Уравнение параболоида примет вид:
z = x 2 + y 2 = r 2 cos 2 j + r 2 sin 2 j = r 2 ® z = r 2 .
y
Уравнение сферы примет вид:
r2 + z2 = 6 ® z = 6 - r2 .
Линией пересечения поверхностей является окружность
2
4
r
+
r
=6 .
радиуса r = 2
Переменные изменяются в следующих пределах:
(
0 £ j £ 2p,
)
0 £ r £ 2,
r2 £ z £ 6 - r2 .
Интеграл запишется в виде:
I = òòò zdv =
V
2p
ò
0
2
d j ò rdr
0
6- r 2
ò
r2
2p
zdz =
2
ò dj ò
0
0
6- r 2
z2
rdr
2 r2
2
(
)
= p ò 6 - r 2 - r 4 rdr =
0
11
p.
3

10. 3) Сферические координаты.

3) Сферические
x = r sin q cos j, координаты.
y = r sin q sin j, z = r cos q,
( 0 £ r < +¥, 0 £ j < 2p, 0 £ q £ p ) .
z
z
q
M
r
j
y
y
x
M¢
x
Тройной интеграл в
сферических
координатах примет вид
òòò
V
Якобиан преобразования
вычисляется по формуле
¶x ¶x ¶x
¶r ¶j ¶q
¶y ¶y ¶y
J=
= r 2 sin q.
¶r ¶j ¶q
¶z ¶z ¶z
¶r ¶j ¶q
f ( x, y, z ) dxdydz = òòò f ( r sin q cos j, r sin q sin j, r cos q ) r 2 sin qd jdrd q.
V*

11. Пример. Вычислить тройной интеграл где область - верхняя половина шара

Пример. Вычислить тройной интеграл òòò ( x
2
)
+ y 2 dv,
V
2
2
2
2
где область V - верхняя половина шара x + y + z £ R .
z
R
Перейдем к сферическим
координатам:
x
R
y
x = r sin q cos j, y = r sin q sin j,
z = r cos q, J = r 2 sin q.
Для данной области интегрирования, переменные
p
изменяются в пределах: 0 £ r £ R, 0 £ j £ 2p, 0 £ q £ .
2
Интеграл запишется в виде:
(
)
I = òòò x 2 + y 2 dv =
5 p/2
R
= 2p
5
ò(
0
V
)
2p
ò
0
R
p/2
0
0
d j ò r 4 dr
5
ò
sin 3 qd q =
p/ 2
R æ1 3
ö
cos q - 1 d ( cos q ) = 2p ç cos q - cos q ÷
5 è3
ø0
2
4
= pR 5 .
15