Тройной интеграл

1.

{ тройной интеграл – вычисление - пример – замена переменной в тройном интеграле – якобиан преобразования
– вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат – примеры }

2.

Определение и вычисление тройного интеграла
z
F ( x , y , z )dv
D
lim
n
Интегральная сумма Римана
F ( x
max vk 0
k 1
n
*
k
, y *k , z *k ) v k
z = f2 (x,y)
F ( x* k , y* k , z* k )
vk xk yk zk
D
a
x
b
z = f1 (x,y)
0
S
y
Тройной интеграл
F ( x , y , z )dxdydz
D
Вычисление
b y g2 ( x ) z f2 ( x , y )
F ( x , y , z )dxdydz
D
a y g1 ( x ) z f1 ( x , y )
F ( x , y , z )dxdydz

3.

Тройной интеграл
Масса фигуры ограниченного объема с заданной функцией плотности
( x , y , z )dv
D
Объем ограниченной трехмерной фигуры
dv
D
Свойства
aF ( x , y , z ) bG ( x , y , z ) dv
D
a F ( x , y , z )dv b G ( x , y , z )dv
D
D
F ( x , y , z )dv F ( x , y , z )dv F ( x , y , z )dv
D
D D1 D2
D1
D2

4.

Пример
@
Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями: 1 : z x
2
3 y 2 2 : z 8 x 2 y 2
Решение
2
2
8 x2 y2 x2 3y2 x 2 y 4
z
z 8 x2 y2
(-2,0,4)
(-2,0,0)
S
y (4 x2 ) / 2
y
dxdydz
D
2
2
( 4 x 2 ) / 2 8 x 2 y 2
( 4 x 2 ) / 2
z
( 4 x 2 ) / 2
8 x 2 y 2
x 2 3 y 2
dxdy
( 8 2 x 2 4 y 2 )dxdy
2 ( 4 x 2 ) / 2
2
4
( 8 2 x 2 ) y y 3
3
2
dxdydz
2 ( 4 x 2 ) / 2 x 2 3 y 2
2 ( 4 x 2 ) / 2
z x2 3y2
1
y (4 x2 ) / 2
x
2
D
(2,0,4)
(2,0,0)
VD
2
2
16
3 2
3
2
4 x2
dx
3
( 4 x 2 ) / 2
( 4 x 2 ) / 2
8 2
dx

5.

Замена переменных в тройном интеграле
Замена переменных в тройном интеграле определяется отражением T
области R в плоскости uvw в область D плоскости xyz.
Якобиан преобразования:
R
w
(u,v,w)
(x,y,z)
z
0
u
v
x
D
0
y
J
( x , y , z )
( u ,v ,w )
( x , y , z )
( u ,v ,w )
( u ,v ,w )
( x , y , z )
F ( x , y , z )dxdydz F ( x ( u ,v ,w ), y( u ,v ,w ), z( u ,v , w )
D
R
x
u
y
J
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w
1
( x , y , z )
dudvdw
( u ,v ,w )

6.

Тройной интеграл в цилиндрической системе координат
z
Преобразование T : отражение области D : ,j,z на C : x,y,z.
M(x,y,z)
M( ,j,z)
0
x
j
y
x cos j
T : y sin j
z z
Якобиан преобразования:
cos j sin j 0
( x , y , z )
J
sin j cos j 0
( , j , z )
0
0
J
1
F ( x , y , z )dxdydz F ( cos j , sin j , z ) d d jdz
C
D
g2 ( j ) f2 ( ,j )
F ( , j , z ) d d j dz F ( , j , z )dz d d j
D
g1 ( j ) f1 ( ,j )

7.

Пример
@
Найти пределы интегрирования в тройном интеграле для фигуры, ограниченной поверхностями:
2
2
2
2
плоскостью z 0 , цилиндрической поверхностьюx ( y 1 ) 1 и параболоидом z x y .
Решение
В декартовой системе координат уравнение цилиндра: x 2 ( y 1 ) 2 1 2
z
x 2 y 2 2 y 0 2 2 sin j 2 sin j
В цилиндрической системе координат: 2 sin j
В декартовой системе координат уравнение параболоида: z x 2 y 2
0
x
j
D
В цилиндрической системе координат: z 2
y
2 sin j 2
F ( , j , z ) d d jdz F ( , j , z )dz d d j
D
0
0
0

8.

Пример
@
Найти объем фигуры ограниченной полусферой z
z
a 2 x 2 y 2 и конусом z x 2 y 2
Решение
2
a
2
2
2
2
2
z a
x
y
z a x y x y
2
2
a
2
2
a
2
2
D
VD d dzd j dz d d j
z
D
0 0
y
0
3
2
2a
2
2
2
2
3
2
a
a
2
2
2
2
a
d
d
j
2
0 0
3
3
S
y
0
3
3
3
a
a
a
2 2
2
2
2
2
3
2
a
3
x
3
2
2
2
2
0
2
a
2

9.

Тройной интеграл в сферической системе координат
Преобразование T : отражение области D : ,y,j на C : x,y,z.
z
M( , ,j)
M(x,y,z)
r
y
0
j
x
x r cos cos j
T : y r cos sin j
z r sin
z
x
J r 2 cos
r 2 z 2
r x2 y2 z2
J
sin
Якобиан преобразования:
M( , ,j)
y
j
( x , y , z )
( r , , j )
r sin cos j
r sin sin j
cos j
sin j
cos cos j
r sin cos j
r cos sin j
cos sin j
sin
r sin sin j
r cos
r cos cos j
0
r cos sin j
cos cos j
r cos
r cos cos j
cos sin j
sin j
r 2 sin 2 cos r 2 cos 3
cos j
r cos sin j
r cos cos j
r 2 cos

10.

Тройной интеграл в сферической системе координат
Преобразование T : отражение области D : ,y,j на C : x,y,z.
z
M( , ,j)
M(x,y,z)
r
0
x
j
y
x r cos cos j
T : y r cos sin j
z r sin
0 j 2
2
J r 2 cos
F ( x , y , z )dxdydz
C
Якобиан преобразования:
2
r 0
2
F
(
r
,
,
j
)
r
cos drd d j
D
max f2 ( j , )
2
2
F ( r , , j ) r cos drd d j F ( r , , j ) r dr cos d d j
D
min f1 ( j , )

11.

Пример
@
a 2 x 2 y 2 и конусом z x 2 y 2
Найти объем фигуры ограниченной полусферой z
z
Решение
z a2 x 2 y 2
D
0
3 2
a
3
0
x
VD
r
2
cos drd d j
D
2
2 a3
d j cos d
sin
3
4
2
a
2
2
x2 y2 x y
2
2
a
4
2
2
0
2
4
2 a3
3
2 a
2
r
dr
cos
d
d j
0
4
2 2
2
3
1
a
3
2