Вычисление тройных интегралов. Цилиндрические координаты. (Семинар 32)

1. Презентация по Математическому Анализу Семинар 32

2.

Вычисление тройных интегралов.
Цилиндрические координаты
Отнесем область Т к системе цилиндрических координат ( r , , z ) , в которой
положение точки М в пространстве определяется полярными координатами ( r , ) ее
проекции Р на плоскости ОХУ и ее аппликатой z.
Выберем взаимное расположение осей координат как указано на следующем рисунке
dz
M
N
r
y
R
x
P
dr

3.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами точки следующая:
x r cos , y r sin , z z
Преобразование интеграла
f ( x , y , z ) dV
(*)
к цилиндрическим координатам
T
производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным
координатам.
Для этого нужно в f(x, y, z) переменные x, y, z заменить по формулам (*).
Элемент объема положить равным
*
dV rdrd dz и вычислить интеграл по Т
области, построенной во вспомогательной системе координат
O1 r z .
Получаем:
f ( x, y, z )dV f ( r cos , r sin , z )rdrd dz
T*
T
Если рассмотреть в качестве области интегрирования внутреннюю часть прямого
цилиндра
r R,0 z h
I
, то все пределы интегрирования постоянны
2
R
h
0
0
0
d rdr f ( r cos , r sin , z )dz

4.

Сферические координаты
Отнесем область интегрирования Т к сферическим координатам ( r , , ) .
В этой системе координат положение точки М пространства определяется ее
расстоянием r от начала координат (длина радиус-вектора точки), углом
радиус-вектором точки и осью OZ и углом
z
M
r
y
P
x
между
между проекцией радиус-вектора точки
на плоскость ОХУ и осью ОХ.

5.

Установим связь между декартовыми и сферическими координатами.
Из рисунка имеем:
z MP r sin(
) r cos ; OP r cos( ) r sin ; x OP cos ; y OP sin
2
2
Окончательно:
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
Для элемента объема получаем выражение dV r sin dz d d
2
(**)
Заменив в тройном интеграле x, y, z по формулам (*) и взяв элемент объема равным
(**), получаем
f ( x, y, z)dV f (r sin cos , r sin sin , r cos )r
T
2
sin dr d d

6.

Примеры с решениями:
1. Вычислить
I
x
2
2
2
2
2
dxdydz, если T – шар x y z R
T
Перейдем к сферическим координатам. В области T координаты , ,
Решение.
изменяются так:
0 R,0 2 ,0
Следовательно,
2
R
0
0
0
I x 2 dxdydz 4 sin 3 cos 2 d d d sin 3 d cos 2 d 4 d
T
T
2
R5
1
R 5
4 R 5
3
2
sin d sin 2
(cos 1)d (cos )
5 2 0
2
5
15
0
0

7.

2. Вычислить I z x 2 y 2 dxdydz , если область T ограничена цилиндром
T
x 2 y 2 2x
Решение.
и плоскостями y=0, z=0, z=a.
Перейдем к цилиндрическим координатам.
Уравнение цилиндра в этих координатах примет вид:
2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 cos
В области T координаты
, , изменяются так:
0 2 cos ,0 / 2,0 z a
Следовательно,
I z x y dxdydz d d dz
2
2
2
T
/2
/2
0
/2
2 cos
a
1
d d z zdz a 2
2
0
0
2
/2
4 2
4
4
1
a cos 3 d a 2 (1 sin 2 )d (sin ) a 2 sin sin 3
3 0
3 0
3
3
0
8
a2
9
/2
2 cos
0
0
d
2
d

8.

3. Вычислить I ( x 2 y 2 )dxdydz , если T – верхняя половина шара
T
x2 y2 z 2 R2
Решение. Перейдем к сферическим координатам. В области T координаты , ,
изменяются так:
0 R,0 2 ,0 / 2
Следовательно,
I ( x y )dxdydz sin d d d
2
2
T
2 R 5
5
4
T
3
/2
0
2 R 5 1 3
(cos
1
)
d
(cos
)
cos
cos
0
15 3
0
2
R
0
0
4
sin
d
d
d
/2
/2
2
3
4 5
R
15

9.

Примеры для самостоятельного решения:
1. Вычислить
I
x y zdxdydz, если область T ограничена сферой
T
x2 y2 z 2 1
2. Вычислить
и плоскостями x=0, y=0, z=0.
2
2
(
x
y
z
)dxdydz, если область T ограничена цилиндром
I
T
x2 z2 1
3. Вычислить
и плоскостями y=0, y=1.
I
dxdydz , если T – шар
x2 y2 z 2 R2
T
4. Вычислить
I
1 ( x 2 y 2 z 2 ) 3 / 2 dxdydz , если T – шар x y z 1
2
2
2
T
5. Вычислить
I
( x
T
z ( x 2 y 2 ) / 2, z 2
2
y 2 )dxdydz , где область T ограничена поверхностями