Тройные интегралы. Вычисление тройных интегралов. Декартовы прямоугольные координаты. (Семинар 31)

1. Презентация по Математическому Анализу Семинар 31

2.

Тройные интегралы. Вычисление тройных интегралов.
Декартовы прямоугольные координаты.
Рассматривая задачу отыскания массы неоднородного тела, получим определение
тройного интеграла.
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область Т, и предположим, что
плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат
точек тела
( x, y , z )
Разобьем тело произвольным образом на n частей. Объемы этих частей обозначим
V1 , V2 ,..., Vn Выберем затем в каждой части по произвольной точке
Pi ( xi , yi , zi ) .
Полагая, что в каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в
точке Pi ( xi , yi , zi )получим приближенное выражение для массы всего тела в виде
суммы
n
M n ( xi , y i , z i ) Vi
i 1
(*)

3.

Предел этой суммы при условии, что
n и каждое частичное тело стягивается в
точку, то есть ее диаметр стремится к 0 и даст массу М тела:
n
M n lim n ( xi , yi , zi ) Vi ( x, y , z )dV
i 1
T
Сумма (*) называется интегральной суммой, а ее предел – тройным интегралом от
функции
( x, y , z )
по пространственной области Т.
К вычислению тройного интеграла приводят и другие задачи, поэтому в
дальнейшем будем рассматривать тройной интеграл:
n
lim n f ( xi , yi , zi ) Vi f ( x, y, z )dV
i 1
T
где f(x, y, z) – любая функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области Т,
имеющей объем V. Обычно эта область ограничена одной или несколькими
замкнутыми поверхностями.

4.

Вычисление тройных интегралов
Вычисление тройного интеграла, также как и двойного может быть выполнено
посредством ряда последовательных интегрирований.
Декартовы прямоугольные координаты
Пусть дан тройной интеграл от функции f(x, y, z)
f ( x, y, z )dV
. Область Т
T
отнесена к системе декартовых координат OXYZ.
Разобьем
область
интегрирования
Т
плоскостями
параллельными
координатным плоскостям. Тогда частичные области будут параллелепипеды с
гранями параллельными OXY,OXZ,OYZ. Элемент объема будет равен произведению
дифференциалов переменных интегрирования
dV=dxdydz, тогда:
f ( x, y, z )dV f ( x, y, z )dxdydz
T
T

5.

Пусть область интегрирования Т определяется неравенствами:
x1 x x2 ; y1 ( x) y y2 ( x); z1 ( x, y) z z 2 ( x, y)
, где
y1 ( x), y2 ( x), z1 ( x, y), z 2 ( x, y)
- непрерывные функции. Тогда тройной
интеграл от функции f(x, y, z), распространенный на область Т, вычисляется по формуле
b
I
y2 ( x )
z2 ( x , y )
dx dy f ( x, y, z )dz
a
y1 ( x )
(*)
z1 ( x , y )
Если областью интегрирования служит внутренняя часть параллелепипеда с
гранями параллельными координатным плоскостям, то пределы интегрирования
постоянные во всех трех интегралах.
b
d
f
f ( x, y, z )dxdydz dx dy f ( x, y, z )dz
D
a
c
(**)
e
В этом случае интегрирование можно проводить в любом порядке, пределы
интегрирования при этом будут сохраняться.

6.

Примеры с решениями:
1. Вычислить I ( x y z )dxdydz, где Т – область, ограниченная координатными
T
плоскостями x=0, y=0, z=0 и плоскостью x+y+z=1
z=1-x-y
1
y=1-x
Решение:
Интегрирование по z совершается от z=0 до z=1-x-y.
Обозначая за D - проекцию области Т на плоскость ОХУ, получим:
1 x y
z 2 1 x y
(1 x y ) 2
2
D dxdy 0 ( x y x)dz D [( x y) z 2 ] |0 dxdy D [( x y) ( x y) 2 ]dxdy

7.

Расставим пределы интегрирования по области – треугольнику, стороны которого: x=0, y=0,
x+y=1
1 x
(1 x y ) 2
( x y ) 2 ( x y ) 3 (1 x y ) 3 1 x
I dx dy[( x y ) ( x y )
] dx[
] |0
2
2
3
6
0
0
0
1
1
2
1 x 2 1 x 3 (1 x ) 3
1
[
]
dx
0 2 2 3 3
6
8
1
2. Вычислить
zdxdydz, где область Т определяется неравенствами
T
0 x 1 / 2; x y 2 x;0 z
1 x2 y2
Имеем:
1/ 2
I
dx dy
0
1
2
1/ 2
0
2x
1 x 2 y 2
1
zdz
0
2
x
2x
1 3
1
2
y yx 3 y dx 2
x
1/ 2
1 1 2 5 4
x x
2 2
6 0
1/ 2
2x
dx z
0
1/ 2
0
1 x 2 y 2
2
0
x
1
dy
2
1/ 2
2x
dx (1 x
0
y 2 ) dy
x
8 3
1 3
1
3
3
2 x 2 x x x x x dx
3
3
2
1 1 5 1
7
2 8 6 16 192
2
1/ 2
x
0
10 3
x dx
3

8.

Примеры для самостоятельного решения:
1. Вычислить
( x 2 y 2 z 2 )dxdydz , если Т
T
– прямоугольный параллелепипед, определенный неравенствами