Обратные тригонометрические функции

1.

Обратные
тригонометрические
функции
Работу выполнила
Учитель МАОУ «Лицей №10»
Зололтухина Л.В

2.

Содержание:
1. Обратные тригонометрические функции, свойства,
графики
2. Историческая справка
3. Преобразование выражений, содержащих обратные
тригонометрические функции
4. Решение уравнений
5. Задания различного уровня сложности

3.

Из истории тригонометрических функций
•Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения
сторон в прямоугольном треугольнике.
•Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Возможно он первый составил
таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.
•Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс.
•Первая половина XV в. Аль-Каши произвел уникальные расчеты, которые
были нужны для составления таблицы синусов с шагом 1’.
•I-II вв. индийские математики вводят понятие синуса.
•1423-1461- австрийский математик и астроном Георг фон Пойербах
был одним из первых европейских ученых, которрый применил
понятие синуса.
•1602-1675 французский математик, астроном и физик Жиль Роберваль
построил синусоиду.
•XV в. Региомонтан ввел термин тангенс.
•1739 г. И. Бернулли ввел современные обозначения синуса и косинуса.
•1770 г. Георг Симон Клюгель вводит новый термин тригонометрические
функции.
•1772 г. Ж. Лагранж вводит первую из шести обратных тригонометрических
функций.
•Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных
тригонометрических функций.

4.

Arcsin х
Арксинусом числа m называется
такой угол x, для которого sinx=m,
-π/2≤X≤π/2,|m|≤1
Функция y = sinx непрерывна и
ограничена на всей своей числовой
прямой. Функция
y = arcsinx
является строго возрастающей.
График обратной функции симметричен с
графиком основной функции
относительно биссектрисы I - III
координатных углов.

5.

Свойства функции y = arcsin x
1)Область определения: отрезок
[-1; 1];
2)Область изменения: отрезок
[-π/2,π/2];
3)Функция y = arcsin x нечетная:
arcsin (-x) =
- arcsin x;
4)Функция y = arcsin x монотонно
возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в
начале координат.

6.

Arccos х
Арккосинусом числа m называется такой угол
x, для которого:
cos x = m
0≤x≤π
|m|≤1

7.

Свойства функции y = arccos x .
Функция y= arccosx
является строго
убывающей
cos(arccosx) = x при
-1 ≤ x ≤ 1
arccos(cosy) = y при
0≤y≤π
D(arccosx)= [ −1;1]]
E(arccosx)= [0;π]]

8.

Arctgх
Арктангенсом числа m
называется такой угол x,
для которого tgx=m,
-π/2<X<π/2.
График функции y=arctgx
Получается из графика
Функции y=tgx, симметрией
Относительно прямой y=x.

9.

y=arctgх
1)Область определения: R
2)Область значения: отрезок
[-π/2,π/2];
3)Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) =
arctg x;
4)Функция y = arctg x монотонно возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в начале
координат.
y
2
2
yx

10.

Arcctgх
Арккотангенсом числа m
называется такой угол x, для
которого ctgx=a, 0<x<π
2

11.

Arcctgх
• Функция y=arcctgx непрерывна и
ограничена на всей своей числовой
прямой.
• Функция y=arcctgx является строго
убывающей.
• ctg(arcctgx)=x при xєR
• arcctg(ctgy)=y при 0 < y < π
• D(arcctgx)=(-∞;∞)
• E(arcctgx)=(0; π)

12.

Преобразование выражений
Вычислить :
3tg arcsin 0,5 ;
1) 24
2) 4
2 cos arcctg1 ;
3
7 ctg
arcsin
.
4
Решение :
3) 12
1) 24
3tg
2) 4
2 cos
6
24
3
1
4
2
2
4.
2
3
24.
4
3
3) sin - , cos 1 sin
4
ctg
12
2
1
7
,
3
3
7 ctg
arcsin
12
4
12
9
7
,
16
4
7 (
7
) 28.
3
3
7 ctg
arcsin
4

13.

Преобразование выражений
1. Вычислить без калькулято ра
1
1
arctg
5
239
Решение :
4arctg
1
1
1
1
, ттогд tg , tg
5
239
5
239
Надо вычислить В 4
arctg , arctg
Возьмем ттанген от обеих частей этого равенства :
tgB tg (4 )
tg 4 tg
1 tg 4 tg
1
5
2
2tg
5 5 , tg 4
12 120
tg 2
1
25
12
119
1 tg 2
1
1
25
144
120
1
239 120 119
tgB 119 239
1. Так как tgB 1, т B .
120 1
119 239 120
4
1
119 239
2

14.

Упражнения для самостоятельного решения
Вычислить :
4
1. cos(2arcco s );
5
1
3
2..sin( arccos 2arctg(-2)) ;
2
5
1
3
3.tg( arccos 2arctg(-2)) .
2
5

15.

Уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
1.Решить уравнение arccos(2x 1)
3
.
4
3
0; , тт по определению арккосинус а
4
числа данное уравнение равносильно уравнению
Так как
3
2
2 2
, откуда 2x 1 ,x
.
4
2
4
2.Решить уравнение 2(arcsinx) 2 5 arcsin x 2 0.
2x 1 cos
Пусть arcsinx t, причем t - ; , тогда
2 2
2t 2 5t 2 0.
1
, но 2 - ; ,
2
2 2
1
1
arcsinx , x sin .
2
2
t 1 2, t 2

16.

Упражнения для самостоятельного решения
Решить уравнения :
1.arccos(2 x 3)
1- x
2.arctg
,
4
3
3
;
x
3.arcsinx - arcsin
.
2
3

17.

Задания различного уровня сложности
Найти значение выражения
5
3
arccos(- )).
6
2
Решение : Применим формулу приведения :
6 11cos(
5
5
3
arccos(- )) 6 11sin(arccos (- )).
6
6
2
Поскольку sin 2 t 1 cos 2 t , тт
6 11cos(
5
5
)) 1 cos 2 (arccos( ))
6
6
11
5
.
1 ( ) 2
36
6
Функция f(x) sinx на промежутке 0; принимаеет
sin 2 (arccos(
ттольк неотрицательные значения, поэтому
11
5
,
)
6
6
Значение данного выражения равно - 11.
sin(arccos (

18.

Задания различного уровня сложности
Решить уравнение
2arcsin2x arccos7x.
Решение : найдем ОДЗ уравнения :
1
1
x
- 1 2x 1
2
2
или
- 1 7x 1
1 x 1
7
7
1
1
то есть - x .
7
7
На этом промежутке уравнение равносильно следующему :
cos(2arcsi n2x) cos(arccos 7x)
Так как cos(farcco s7x) 7x,
cos(2arcsi n2x) 1 - 2sin 2 (arcsin2x) 1 - 2(2x) 2 1 8 x 2
1
1 8 x 2 7 x или 8x 2 7 x 1 0, x 1, x .
8
1
С учетом ОДЗ получаем окончательно x .
8

19.

Задания различного уровня сложности
Решить задачу :
Боковая грань правильной четырехуго льной пирамиды
образует с плоскостью основания угол, равный 60 0.
Найдите угол между боковыми гранями.
Решение :
Воспользуе мся соотношением между данным и искомым
2
2
3
6
sin . Получим, что cos
.
2
2
2
2
2
4
6
1
Найдем cos 2cos 2 - 1 2 - 1 - .
2
16
4
1
Получим, что - arccos .
4
углами. cos

20.

Таблицы значений обратных
тригонометрических функций
В следующей таблице приведены значения
функций арксинуса и арккосинуса для некоторых значений углов:

21.

В следующей таблице приведены значения функций
арктангенса и арккотангенса
для некоторых значений углов:

22.

Литература:
1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А.
Алимов, Просвещение, 2009.-384 с.
2. Тесты по математике для абитуриентов.-М.:Айрис-пресс,2003.-352 с.
3. За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е
изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.