Обратные тригонометрические функции

1.

2.

,
При каких значениях t верно равенство?
sint = 0,5
sint = 0,3
t=?

3.

Функция у = sinx
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —
ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

4.

Функция у = cosx
Область определения функции — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —
ограниченная.
Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

5.

2
Определение
0
arcsin t = a
1)
2
2
2) sin t
3) 1 t 1
2
arcsin(-x) = - arcsinx

6.

Обратные тригонометрические
функции Определение arcsin
arcsin ( 1
П П
называется угол (число) из промежутка 2 ; 2
Арксинусом числа
синус которого равен
arcsin
Примеры:
П П
;
2 2
sin
1 П
П
arcsin , arcsin( 1)
2 6
2
arcsin
3
П
П
, arcsin( 1)
2
3
2
Функция y = arcsinx - нечетная, т.к. arcsin(-x) = - arcsinx

7.

у = arcsinx
;
х
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область значений: отрезок
3)Функция у = arcsin x нечетная:
arcsin (-x) = - arcsin x;
4)Функция у = arcsin x монотонно возрастающая;

8.

Определение
2
0
arccos t = a
1) 0 а
2) cos a t
3) 1 t 1
2
arccos(-x) = - arccosx

9.

Обратные тригонометрические функции
Определение arccos a
arccos a( a 1
Аркосинусом числа
называется угол (число) из
промежутка
косинус которого равен
arccos a
Примеры
0; П
0; П
cos a
1 Ï
arccos , arccos( 1) Ï
2 3
arccos
3 П
П
; arccos 0
2
6
2
Функция y = arccosx - общего вида, т.к. arccos(-x) = π - arccosx

10.

у=arccos x
1
0
-1
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область значений: отрезок
3)Функция у = arcсos x четная:
arcscos (-x) =
4)Функция у = arcсosx монотонно убывающая;

11.

α
0
1
2
arcsinα
0
π/6
π/4
π/3
π/2
arccosα
π/2
π/3
π/4
π/6
0
2
2
3
2
1

12.

2
Определение
arctg t = a
1)
а
2
2) tgа t
2
0
2

13.

Обратные тригонометрические
функции
Определение arctg
Арктангенсом числа
называется угол (число) из
промежутка
тангенс
которого равен
arctg
arctg1
Примеры:
П П
;
2 2
tg
П
П
, arctg ( 3)
4
3
3
П
arctg
, arctg 0 0
3
6
Функция y = arctgx - нечетная, т.к. arctg(-x) = - arctgx
П П
;
2 2

14.

Функция у = arctg x
y
0
x
o
o
o
o
o
D (f) = (- ∞; +∞).
E (f) = (
).
Функция нечётная:
Функция возрастает.
Функция непрерывна.

15.

Определение
2
0
arcctg t = a
1) 0 а
2) ctgа t
2

16.

Обратные тригонометрические
функции Определение arcctg
Арккосинусом числа
котангенс которого равен
arcctg
Примеры:
называется угол (число) из промежутка
3
П
П
arcctg
, arcctg 0
3
3
2
П
3П
arcctg 3
, arcctg ( 1)
6
4
Функция y = arctgx - нечетная, т.к. arctg(-x) = - arctgx
0; П

17.

Функция у = arсctg x
y
0
x
o D (f) = (- ∞; +∞).
o E (f) = (0; π).
o Функция не является ни чётной, ни нечётной.
o Функция убывает.
o Функция непрерывна.

18.

Функция y = arctgx
Функция y = arcctgx
α
0
1
3
arctgα
0
π/6
π/4
π/3
arcctgα
π/2
π/3
π/4
π/6
1
3

19.

Работаем устно
arcsin 1
arcsin 0
arccos 1
arccos 0
2
arcsin
2
1
arcsin
2
1
arccos
2
1
arccos
3
arcsin(-x) = - arcsinx
1
arcsin( )
2
1
arccos( )
2
3
2
arcsin( )
arccos(
)
2
2
arccos(-x) = - arccosx

20.

Работаем устно
Имеет ли смысл выражение?
arcsin 2 arccos 3
arctg100
Может ли arcsint и arccost принимать
значение равное
5
5, , , 10,
9
3
,?
7

21.

Упражнение 3
o Имеет ли смысл выражение:
arcsin(-1/2)
да
arccos 5
нет
arcsin(3 - 20 )
нет
arcsin1,5
нет
arccos(- 3 +1 )
да
arccos
5
да

22.

Работаем устно
Найдите значения выражений:
arccos(cos )
3
5
arcsin(sin
)
2
7
ctg (arcctg ( ))
8
tg (arctg15)
5
sin(arcsin
)
13
3
cos(arcsin
)
2

23.

Работаем устно
3
arctg1
arctg 3
arctg (
)
3
3
arcctg1 arcctg 3
arcctg (
)
3
arctg(-x) = - arctgx
arcctg(-x) = - arcctgx

24.

Упражнение
а)
3
а)
б)
6
в)
4
б) 2
3
в)
б) 5
3
6
а) б) 3
4
4
а) 2 б)
3
3
а) 5 б) 3
6
4
в)
4
в)
4
в)
6
в) 2
3
а)
3
3
г)
г)
2
6
г)
2
г)
2
г)
6
г)
6

25.

Свойства аркфункций
cos(arccos x) x,
arccos(cos x) x, x 1;1
sin(arcsin x) x,
arcsin(sin x) x, x 1;1
tg (arctgx) x
arctg (tgx) x,
ctg (arcctgx) x
arcctg (ctgx) x.

26.

Тригонометрические операции над обратными
тригонометрическими функциями
, |x| ≤ 1
, |x| ≤ 1
, |x| ≤ 1
, |x| ≤ 1
, |x| < 1
,|x| ≤ 1, x ≠ 0
, |x| ≤ 1, x ≠ 0
, |x| < 1
, x≠0
, x≠0

27.

• Решите уравнение
arcsin x x
Графический метод
решения уравнений
1) Строим график
2) Строим график
y arcsin x
y x
в той же системе координат. 2
1
3) Находим абсциссы точек
пересечения графиков
(значения берутся приближенно).
4)Записываем ответ.
Ответ.1.
2
1

28.

Функционально-графический
метод решения уравнений
Пример: решите равнение
arccos x
Решение.
2
x
1) у =arccosx убывает на области определения
2 g x
x, возрастает на D,
2
3) Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного
корня.
4) Подбором находим, что x=0.
Ответ. 0.

29.

Обратные
тригонометрические
функции

30.

y x
?
D = [0;+∞)
E = [0;+∞)
D = [0;+∞)
E = [0;+∞)
y
y x2
y x
x
y x

31.

Функция y = arcsin x
у
y = arcsin x
2
y = sin x
0
-1
2
1
х

32.

Функция у = arccos x
у
y = arccos x
2
-2
0
-1
1
2
2
y = cos x
х