Матрицы и действия на ними

1. 2. Матрицы и действия на ними

2.1. Матрицы.
МАТРИЦА — ЭТО ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТАБЛИЦА,
ЗАПОЛНЕННАЯ ЭЛЕМЕНТАМИ.
Второй столбец
a11
a21
A
...
a
n1
a12
a22
...
...
a1m
Вторая строка
a2m
... ... ...
an2 ... anm
ai i -я строка
a j j -й столбец
A m n матрица
aij элемент матрицы

2.

Виды матриц :
m n квадратная;
m n прямоуголь ная
m 1 вектор - столбец;
n 1 вектор - строка
побочная диагональ
Главная диагональ
a11
a21
A
...
a
n1
1
0
10
a
0
A
A ...
A
...
e
0
00
k
a
02
01
...
...
30
00
a12
a22
...
...
...
...
a1n
a2n
Виды квадратных матриц :
...
an2 ... ann
aij 0, при 1 i,j n нулевая матрица
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
aij 0, при 1 i,j n, i j
единичная матрица
e k
a ii 1, при 1 i n
030 0
aij a ji , при 1 i,j n симметричная
0
0
... ...
...
...
g f
001f 1
aij 0, при i j треугольн ая

3.

2.2. Действия с матрицами .
a11
a21
A
...
a
n1
a12
a22
...
...
a1m
a2m
a
ij i 1,n
... ... ...
j 1,m
an2 ... anm
a) умножение матрицы на число :
б) сложение матриц :
Матрицы разного размера
складывать нельзя
Вычитание — это тоже сложение
A a
ij i 1,n
j 1,m
A a
, B b
ij i 1,n
ij i 1,n
j 1,m
j 1,m
C A B a b
ij i 1,n
ij
j 1,m

4.

Лирическое отступление…
скалярное произведение векторов
a1, a2 ,..., an b1,b2 ,...,bn a1b1 a2b2 ..anbn
в) умножение матриц :
A a
, B b
ij i 1,n
ij i 1,m
j 1,m
j 1,k
i-я строка А
j j-й столбец В
C AB a b
i
i 1,n
j 1,m
A n m
AB n k
B m k
C c
ij i 1,n
j 1,k
г) транспонир ование матриц :
A a
,
ij i 1,n
j 1,m
AT a
ji j 1,m
i 1,n

5.

Примеры
3 1 2 15 5 10
a ) 5 4 2 0 20 10 0
5 6 1 25 30 5
3 1 2 8 5 5 3 8 1 5 2 5 11 6 7
б)
4
2
0
7
3
14
11
5
14
4
7
2
3
0
14
3 1 2 8 3 8 1 7 2 2 21
в ) 4 2 0 7 4 8 2 7 0 2 46
5 6 1 2 5 8 6 7 1 2 4
3 3
3 1
3 1
7
11 11
T
2 5 3 0 2 7 5 0 3 4 2 11 6 7
6
5
г)
4
11 5 14 7 14
1 3
3 1
1 1
скалярное произведение векторов " по - матричному"

6.

2.3. Свойства операций над матрицами .
линейная комбинация :
A B
A a
, B b
, 0 0 i 1,n
ij
ij
i 1,n
i 1,n
j 1,m
j 1,m
j 1,m
свойства линейных операций :
1) коммутативноcть сложения :
2) ассоциатив ноcть сложения :
3) существование нуля :
A B B A
A B C A B C
A 0 0 A A
Доказать самостоятельно, используя определения действий (операций)

7.

свойства умножения :
1
0
E
...
0
0 ... 0
1 ... 0
единичная матрица
... ... ...
0 ... 1
4) НЕкоммутат ивноcть умножения :
5) существование единицы :
AB BA
AE EA A
E выбираем подходящего размера
6) ассоциатив ность :
A BC AB C ABC
А, В, С подходящего размера
7) дистрибут ивность :
A B C AC BC справа
A B C AB AC слева

8.

свойства транспонир ования :
8) инволютивность :
A
T T
A
Обратная самой себе операция называется инволютивной
9) линейность :
AB
T
10)
11)
A B A B
T
T
A A
T
T
T
B A
T
T
A A A симметричная
T

9.

Докажем что-нибудь…
5) существование единицы :
A n m E n n
AE EA A
A n m E m m
Докажем, что ij-й элемент AE такой же, как и ij-й элемент A
a11
a21
AE
...
a
n1
a12
a22
a1m 1
a2m 0
*
...... * *
0 ... 0 aa
11
11 a12
...
1 ... 0 * *
*
...... * *
... ... ... ... ... ... ... ...... ... ...... ......
an2 ... anm 0 0 ... 1 * * * ...... * *
...
(a11a12 ....a1m ) (10 0... 0) a11 1 a12 0 .... a1m 0 a11
(a11a12 ....a1m ) (010 0... 0) a11 0 a12 1 .... a1m 0 a12
j
ai e j ai1 ai 2 ....aim (0...010....0)T aij AE aij
m
Аналогично доказывается, что EA =A
i 1,n
j 1,m
A

10.

2.4. Обратная матрица .
Обратная (по умножению) матрица — это матрица, произведение с которой равно
единичной:
1
1
A A A A E
Бывает еще обратная по сложению (противоположная):
A A A A 0
свойства обратимост и :
1) Обратная бывает у квадратных, и то не у всех.
2) Обратная к обратной равна исходной.
3) Обратная к транспонированной
равна транспонированной обратной.
1
A, A n n
A A
A A
1 1
T
1
1 T
4) Обратная произведения равна произведению обратных
1
в обратном порядке.
AB
5) Обратная к умноженной на число равна
обратной, разделенной на это число
1
B A
1
1
A
A
1
1

11.

Перемножим-ка мы пару матриц….
3 1 2 8 1 3 8 1 7 2 2 3 1 1 2 2 3 21 5
4 2 0 7 2 4 8 2 7 0 2
4
1
2
2
0
3
46
8
5 6 1 2 3 5 8 6 7 1 2 5 1 6 2 1 3 4 4
1 x 1 z 1
Найдем-ка мы обратную….
1 y 1 t 0
1
1 1 x y 1 0
1 1
2 3 ? 2 3 z t 0 1
2 x 3 z 0
2 y 3 t 1
x z 1
1,5 z z 1 z 0,4
y t
y t
0,2
1 0,6
A
x
1,5
z
x 1,5 z
0,4
0,2
2 ( t ) 3 t 1 t 0,2
2 y 3 t 1
А сделаем-ка мы проверочку….
1 1 0,6 0,2 0,6 0,4 0,2 0,2
2 3 0,4 0,2 1,2 1,2 0,4 0,6 E