Геометрические характеристики плоских составных сечений

1.

ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова»
Инженерно-технический институт
Кафедра прикладной механики
Решение задач
по дисциплине «Техническая механика»
270800 - Строительство

2. Геометрические характеристики плоских составных сечений

3.

№10
№20
100 63 6
Для заданного сечения требуется:
• Определить положение центра
тяжести составной фигуры;
• Вычислить
осевые
и
центробежные моменты инерции
сечения относительно выбранных
центральных осей x0, y0;
• Определить положение главных
осей инерции;
• Вычислить значение главных
осевых моментов инерции и сравнить
их с экстремальными значениями
осевых моментов инерции.
Сечение состоит из листа размерами В×t=20×2
см2, двутавра №20, неравнополочного уголка
В×b=10×6,3×6 и швеллера №10.

4.

Решение
Необходимые геометрические характеристики сечений
двутаврового, швеллерного профилей и неравнополочного
уголка берем из таблицы сортаментов:
y
y
x
h=200 мм,
В=100 мм,
x
А=26,8 см2,
x
Ix=1840 см4,
B
b
Iy=115 см4.
В=100 мм,
y0
h
B
0
z0
y
h
x
B
h=100 мм,
В=46 мм,
А=10,9см2,
Ix=174 см4,
Iy=20,4см4,
z0=1,44 см.
b=63 мм,
А=9,58 см2,
Ix=98,3 см4,
Iy=30,6 см4,
Ixy =31,5 cм4,
x0=1,42 см,
y0=3,23 см.

5.

y0
xc
y1
v
y
Произвольные оси x1, y1 принимаем
проходящими через центр тяжести
сечения листа - прямоугольника
y
y
yc
x
=-29,58 0
x1
x
x0
Положения центров тяжести отдельных
фигур определяем их координатами
относительно осей x1 и y1:
x1 0, y1 0,
x
u
I
B
B
I
5 см;
x1
2
2
hI t
y 11 см;
2
2
[
B
h
[
B
x1
5 см;
L
L
x
x
2
1
0 8,58 см;
2
2
t
[
[
y1 z 0 2,44 см;
t
L
L
y1 y 0 4,23 см;
2
2
I
1

6.

Определяем положение центра тяжести всего сечения
относительно осей x1, y1:
xC
S
A
AI x1I A[ x1[ AL x1L
I
[
L
A A A A
S
A
AI y1I A[ y1[ AL y1L
I
[
L
A A A A
y1i
i
26,8 5 10,9 5 9,58 8,58
0,03см
40 26,8 10,9 9,58
yC
x1i
i
26,8 11 10,9 2,44 9,58 4,23
3,54 см
40 26,8 10,9 9,58

7.

Положение центров тяжести фигур относительно
центральных осей x0, y0:
x0 xC 0,03 см, y 0 y C 3,54 см;
x0I 5 0,03 4,97 см, y 0I 11 3,54 7,46 см;
x0[ 5 0,03 5,03 см, y 0[ 2,44 3,54 5,98 см;
x0L 8,58 0,03 8,61см, y 0L 4,23 3,54 0,69 см.

8.

Осевые моменты инерции сечения относительно
центральных осей инерции x0 и y0:
I x0
2
I
I 2
I [
[ 2
I x y0 A I x y0 A I y y0 A[
20,4 5,98 10,9 98,3 0,69 9,58 3859,915см .
I xL y
L 2
0
2
2
I y0
4
2
I
I 2
I [
[ 2
I y x0 A I y x0 A I x x0 A[
I yL x
L 2
0
3
20
2
2
L
2
A
3,54 40 1840 7,46 26,8
12
3
2
20
2
L
2
A
0,03 40 115 4,97 26,8
12
174 5,032 10,9 30,6 8,612 9,58 3300,3 см4 .

9.

Центробежный момент инерции относительно
центральных осей x0 и y0:
I
[
I x0 y0 I xy
y0 x0 A I xy
y0I x0I AI I xy
y0[ x0[ A[
L
I xy
y0L x0L AL 0 3,54 0,03 40 0 7,46 4,97 26,8
0 5,98 5,03 10,9 31,5 0,69 8,61 9,58 937,1см4 .
Положение главных осей инерции относительно осей x0, y0:
tg 2 0
2 I x0 y 0
I x0 I y 0
2 0 59,155 0
2 937,1
1,6745
3859,915 3300,3
0 29,578 0.

10.

Определяем значение главных осевых моментов инерции:
I гл1 I x0 cos2 0 I y0 sin 2 0 I x0 y0 sin 2 0
3859,915 cos2 29,5780 3300,3 sin 2 29,5780
937,1 sin 59,1550 4558,12 cм 4 .
I гл2 I x0 sin 2 0 I y0 cos2 0 I x0 y0 sin 2 0
3859,915 sin 2 29,5780 3300,3 cos2 29,5780
937,1 sin 59,1550 2602,10 cм 4 .

11.

По результатам вычисления получили Iгл1 Iгл2, следовательно,
поворот оси x0 на угол 0 совпадает с главной осью u, а ось y0
с осью v, т.е. Iгл1=Iu, Iгл2=Iv.
Определяем экстремальные значения осевых моментов
инерции:
I max I u / v
min
I x0 I y0
2
1
2
3859,915 3300,3 1
2
2
3580,1075 977,982,
I
x0
I y0
4I
2
2
x0 y0
3859,915 3300,3 2 4 937,12
I max I u 4558,1 см 4 , I min I v 2602,1 см 4 .

12.

Максимальные и минимальные значения осевых
моментов инерции являются главными осевыми моментами
инерции.
Сумма осевых моментов инерции относительно любых двух
ортогональных осей есть величина постоянная и равная
полярному моменту инерции сечения:
I I x0 I y 0 I u I v ;
I 3859,915 3300,3 7160,2 4558,12 2602,1 7160,22 см 4 .