Решение заданий С3 по материалам ЕГЭ. Логарифмические неравенства

1. Решение заданий С3 по материалам ЕГЭ 2012-2013 гг

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
Решение заданий С3
по материалам
ЕГЭ 2012-2013 гг
Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова

2. Логарифмические неравенства

Неравенства вида loga f(x) > logа g(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими неравенствами
loga f(x) > logа g(х)
а>1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
или
loga x f x loga x g x
0<а<1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
a x 1 f x g x 0,
f x 0,
g x 0,
a x 0.

3.

1. Решите неравенство
Решение. ОДЗ:
x 2 8 x 9 0,
x 1 3
0;
x 9
3log11 x 8х 9 4 log11
log11
2
3log11 x 8х 9 4 log11
2
х 1 3
11 х 9 11
х 9
х 9
x 8х 9 log11
4
3
х 1
3
3
х 9 х 1 х 9
log11
4
3
х 1
log11 х 9 log11 11
4
х 9 4 114
х 9 11
4
х 9
x ; 9 1; .
20 х 2
3
2
х 1 3
2
х
1 2
х
-20
C учетом ОДЗ:
-20
-9
x 20; 9 ; 1; 2

4.

2.
1)
4x 129 2x 7 ,
Решите систему
2
x 1
неравенств
7 x
log
1
log
.
x 8
x 8
х 7
x 1
Решение.
ОДЗ: x 8 0,
x 1
0,
x 7
x 8 1;
x 8; 7 7; 1 7; .
2) 4x 129 2x 7
Вернемся к исходной переменной
0 2x 129
4x 128 2x 129 0
Пусть 2x t , t 0, тогда
2x 2log 2 129
t 2 128 t 129 0
x log2 129
t 1 t 129 0
log2 129 7 log2 128
1 t 129
C учетом ОДЗ , имеем
Учитывая, что t 0, имеем
x 8; 7 7; 1 7; log2 129 .
0 t 129

5.

4x 129 2x 7 ,
2. Решите систему
2
x 1
неравенств
7 x
log
1
log
.
x 8
x 8
х 7
3) (продолжение)
x 1
2
x 1
7 x
log x 8
1 log x 8
х 7
x 1
2
a b 2 b a 2
x 1
х 7
log x 8
log x 8 х 8
log x 8
х 7
x 1
x 2 8x 15
0
x 7
х 1
x 2 8x 15
0
x 7
х 1
x 7 x 3 x 5 0
х 1
х 7 2 x 1
log x 8 х 8
log x 8
x 1 х 7
x 7
log x 8
log x 8 х 8
х 1
− + − +
+
х
-7 -5 -3 -1
x 7
x 8 1
х 8 0
х 1
x ; 7 5; 3 1;
x 7 x 2 9x 8
C учетом ОДЗ , имеем
0
x 7
х 1
x 8; 7 5; 3 7; .

6.

2.
4)
и
4x 129 2x 7 ,
Решите систему
2
x 1
неравенств
7 x
log
1
log
.
x 8
x 8
х 7
x 1
(продолжение)
Общее решение:
x 8; 7 7; 1 7; log2 129
x 8; 7 5; 3 7;
х
-8
-7
-5
-3
-1
7 log2129
x 8; 7 5; 3 7; log2 129
Ответ : 8; 7 5; 3 7; log2 129 .

7.

3. Решите неравенство log 0,25 19 9x log 3 x 0,5 1
19 9x 0,
19
x
;
2
Решение. ОДЗ: 3 x 0,
. 2;
9
3 x 1;
log0,25 19 9x log3 x 0,5 1
loga b logc d logc b loga d
log3 x 19 9x log0,25 0,5 1
log3 x 19 9x 2
2
log3 x 19 9x log3 x 3 x
3 x 1 19 9x 3 x 2 0
2 x 10 3x x
0
x 2 x 3x 10 0
2
−
-5
+
2
+
х
C учетом ОДЗ:
2
-5
19
9
2
19
x
5
;
2
;
2;
2
9
x 2 x 5 0
19
Ответ : 5; 2 ; 2;
9
х

8.

4. Решите систему
неравенств
1)
Решение.
ОДЗ: 4 x 0,
2
16 x 0,
x 5 0;
2) 2x 2 10x 6
2x 2 10x 6
x,
x 5
1 log 4 x log 16 x 2 .
6
6
x 4; 4 .
x
x 5
2x 2 10x 6
х 0
x 5
2x 2 10x 6 x 2 5x
0
x 5
x 2 5x 6
0
x 5
x 2 x 3 0
x 5
−
2
+
3
−
+
5
x ; 2 3; 5
C учетом ОДЗ , имеем
x 4; 2 3; 4
х

9.

4. Решите систему
неравенств
(продолжение)
3) 1 log6 4 x log6 16 x 2
log6 6 log6 4 x log6 16 x 2
log 6 24 6x log 6 16 x 2
т.к . а 6 1, то
24 6x 16 x
2x 2 10x 6
x,
x 5
1 log 4 x log 16 x 2 .
6
6
4) Общее решение:
x 4; 2 3; 4
и
2 x 4
-4
2
2
3
4
x 2 3; 4
x 2 6x 8 0
x 2 x 4 0
2 x 4
C учетом ОДЗ , имеем
2 x 4
Ответ : 2 3; 4 .
х

10.

5.
3log 2 x
2log 2 x 1
Решите неравенство
2 log 2 x
Решение.
ОДЗ: x 0,
x 0,25;
x 0; 0,25 0,25; .
3log 2 x
2log 2 x 1
2 log 2 x
Пусть log2 x t , t 2, тогда
2 t 1 t 1
3t
0
2t 1
2 t
2 t
t 1 t 1 0
3t
2t 1 0
t 2
2 t
−
+
+
−
3t 4t 2t 2 2 t
t
0
-2
-1
1
2 t
t 2; 1 1;
2t 2 2
0
2 t

11.

5.
3log 2 x
2log 2 x 1
Решите неравенство
2 log 2 x
Решение. (продолжение)
Вернемся к исходной перменной
2 log 2 x 1,
log 2 x 1;
log2 0,25 log2 x log2 0,5,
log2 x log2 2;
т.к . а 2 1, то
0,25 x 0,5,
x 2;
C учетом ОДЗ , имеем
0 0,25 0,5
2
х 0,25; 0,5 2;
Ответ : 0,25; 0,5 2; .
х

12.

6. Решите систему
неравенств
Решение.
ОДЗ: x 3 0
x 2 6x 4 44 log5 x 3 ,
4x 6x 44 log5 x 3 .
x 3; .
Перепишем систему в виде:
x 2 6x 4 44 log5 x 3 4x 6x
Откуда получим неравенство:
x 2 6x 4 4x 6x
x 2 4х 4 0
x 2 2 0
− удовлетворяет ОДЗ
Выполним проверку системы:
х 2
22 62 4 44 log5 2 3 ,
4 2 62 44 log5 2 3 .
Ответ : 2.
− верно

13.

7. Решите неравенство
log 25 x 2
16
Решение.
ОДЗ: 25 x 2 0,
2
24 2х x 0,
25 x 2 16;
log 25 x 2
16
log 25 x 2
16
24 2x x 2
1
14
x 4; 3 3; 3 3; 5 .
24 2x x 2
1
14
24 2x x 2
25 x 2
log 25 x 2
14
16
16
25 x 2
24 2x x 2 25 x 2
0
1
14
16
16
9 x 8 24 2x x 7 25 x 0
9 x 17 16x x 0
2
2
2
2
2

14.

7. Решите неравенство
log 25 x 2
16
(продолжение)
x
2
24 2x x 2
1
14
9 x 2 16x 17 0
x 3 х 3 x 1 x 17 0
+
-3
−
-1
+
3
−
17
+
х
x ; 3 1; 3 17; .
C учетом ОДЗ , имеем
-4 -3
-1
3
17
x 4; 3 1; 3 .
Ответ : 4; 3 1; 3 .
х

15.

8.
1)
x 1
x
4
17
2
4 0,
Решите систему неравенств 2 2
log x x log2 x 2 8.
Решение.
ОДЗ: x 0,
x 1,
x 1;
2) log 2x x 2 log2 x 2 8
2log x
2
x
2log2 x 8
4 2log2 x 8
2log2 x 4
log2 x 2
log2 x log2 4
т.к . а 2 1, то
x 4
4 x 4
x ; 1 1; 0 0; 1 1; .
C учетом ОДЗ , имеем
x 4; 1 1; 0 0; 1 1; 4 .

16.

8.
x 1
x
4
17
2
4 0,
Решите систему неравенств 2 2
log x x log2 x 2 8.
3) (продолжение)
4) Общее решение:
4x 1 17 2x 4 0
4 2
2x
17 2 4 0
x
и
Пусть 2x t , t 0, тогда
x 4; 1 1; 0 0; 1 1; 4 .
2 x 2
-4
-2 -1
0
1
2
4 х
4 t 17 t 4 0
1
x 2; 1 1; 0 0; 1 1; 2 .
4 t 4 t 0
4
1
t 4 удовлетворяет условию t 0
4
Вернемся к исходной переменной
1
2x 4
4
2 2 2x 22
2
т.к . а 2 1, то
2 x 2
Ответ : 2; 1 1; 0 0; 1 1; 2 .

17.

9. Решите неравенство
logx2 2 x 18 32 16logx 2 36 16x x 2 .
2
Решение.
ОДЗ: x 2 0,
x 2; 1 1; 18 .
x 2 1,
36 16x x 2 0;
logx2 2 x 18 32 16logx 2 36 16x x 2
2
4logx2 2 x 18 32 16logx 2 x 2 18 x
C учетом ОДЗ , имеем
4log x2 2 18 x 32 16 log x 2 x 2 log x 2 18 x
4log x2 2 18 x 16log x 2 18 x 16 0
log x2 2 18 x 4log x 2 18 x 4 0
logx 2 18 x 2 2 0
log x 2 18 x 2

18.

9. Решите неравенство
logx2 2 x 18 32 16logx 2 36 16x x 2 .
2
(продолжение)
logx 2 18 x logx 2 x 2
2
18 x x 2
2
x 2 5x 14 0
x 7, не удовлетворяет ОДЗ
х 2.
Ответ : 2.

19.

10. Решите неравенство
log2 x x 2 log x 3 3 x 0
Решение.
ОДЗ: 2 x 0,
2 x 1,
x 2 0,
x 3 0,
x 3 1,
3 x 0;
x 2; 1 1; 2 .
x 1 x 2 0
x 1 x 2
log2 x x 2 log x 3 3 x 0
log2 x 2 log2 3 x
0
log2 2 x log2 x 3
x 2 1 3 x 1 0
2 x 1 x 3 1
x 1 2 x 0
1 x x 2
+
-2
−
-1
+
1
−
+
2
х
C учетом ОДЗ , имеем
-2
-1
1
2
x 2; 1 1; 2 .
Ответ : 2; 1 1; 2 .
х