Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы

1. Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы учитель

математики МБОУ СОШ № 143
Князькина Т. В
.

2.

Среди всего многообразия логарифмических неравенств
отдельно изучают неравенства с переменным
основанием. Они решаются по специальной формуле,
которую почему-то редко рассказывают в школе:
log k(x) f (x) ∨ log k(x) g(x) ⇒ (f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) ∨ 0
Вместо галки «∨» можно поставить любой знак
неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы
в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.
Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу
к рациональному неравенству. Последнее решается
намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут
возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно
найти область допустимых значений. Не забывайте ОДЗ
логарифма!
Все, что связано с областью допустимых значений, надо
выписать и решить отдельно:
f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Эти четыре неравенства составляют систему и должны
выполняться одновременно. Когда область допустимых
значений найдена, остается пересечь ее с решением
рационального неравенства — и ответ готов.

3.

Решите неравенство:
Решение
Для начала выпишем ОДЗ логарифма
Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее
придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда
и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:
2
x + 1 ≠ 1;
2
x ≠ 0;
x ≠ 0.
Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля:
x ∈ (−∞0)∪(0;+∞). Теперь решаем основное неравенство:
Выполняем переход от логарифмического неравенства
к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше»,
значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком
«меньше».

4.

Имеем:
2
2
(10 − (x + 1)) · (x + 1 − 1) < 0;
2
2
(9 − x ) · x < 0;
2
(3 − x) · (3 + x) · x < 0.
Нули этого выражения: x = 3; x = −3;
x = 0. Причем x = 0 — корень второй
кратности, значит при переходе через него
знак функции не меняется. Имеем:
Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное
множество полностью содержится
в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.
Ответ: x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞)

5.

Преобразование логарифмических
неравенств
Часто исходное неравенство отличается от приведенного
выше. Это легко исправить по стандартным правилам
работы с логарифмами. А именно:
Любое число представимо в виде логарифма с заданным
основанием;
Сумму и разность логарифмов с одинаковыми
основаниями можно заменить одним логарифмом.
Отдельно хочу напомнить про область допустимых
значений. Поскольку в исходном неравенстве
может быть несколько логарифмов, требуется найти
ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема
решения логарифмических неравенств следующая:
Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего
в неравенство;
Свести неравенство к стандартному по формулам
сложения и вычитания логарифмов;
Решить полученное неравенство по схеме, приведенной
выше.

6.

Решите неравенство:
Решение
Найдем область определения (ОДЗ) первого
логарифма:
Решаем методом интервалов. Находим нули
числителя:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Затем — нули знаменателя:
x − 1 = 0;
x = 1.
Отмечаем нули и знаки на координатной
прямой:

7.

Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите — можете
проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:
Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два
логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:
2
log 2 (x − 1) < 2;
2
2
log 2 (x − 1) < log 2 2 .
Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов
по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное
рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:

8.

(f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) < 0;
((x − 1)2 − 22)(2 − 1) < 0;
x2 − 2x + 1 − 4 < 0;
x2 − 2x − 3 < 0;
(x − 3)(x + 1) < 0;
x ∈ (−1; 3).
Получили два множества:
ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3).
Осталось пересечь эти множества —
получим настоящий ответ:

9.

Нас интересует пересечение множеств,
поэтому выбираем интервалы, закрашенные
на обоих стрелах. Получаем:
x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) —все точки выколоты.
Ответ:
x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

10. Решение заданий ЕГЭ-2014 типа С3

11.

Решите систему
неравенств
1)
Решение.
ОДЗ:
x 8 0,
x 1
0,
x 7
x 8 1;
2) 4x 129 2x 7
4x 129 2x 7 ,
2
x 1
7 x
log
1
log
.
x 8
x 8
х 7
x 1
x 8; 7 7; 1 7; .
Вернемся к исходной переменной
0 2x 129
4x 128 2x 129 0
Пусть 2x t , t 0, тогда
2x 2log 2 129
t 2 128 t 129 0
x log2 129
t 1 t 129 0
log2 129 7 log2 128
1 t 129
C учетом ОДЗ , имеем
Учитывая, что t 0, имеем
x 8; 7 7; 1 7; log2 129 .
0 t 129

12.

Решите систему
неравенств
3)
(продолжение)
2
x 1
7 x
log x 8
1 log x 8
х 7
x 1
2
4x 129 2x 7 ,
2
x 1
7 x
log
1
log
.
x 8
x 8
х 7
x 1
a b 2 b a 2
x 1
х 7
log x 8
log x 8 х 8
log x 8
х 7
x 1
x 2 8x 15
0
x 7
х 1
x 2 8x 15
0
x 7
х 1
x 7 x 3 x 5 0
х 1
х 7 2 x 1
log x 8 х 8
log x 8
x 1 х 7
x 7
log x 8
log x 8 х 8
х 1
− + − +
+
х
-7 -5 -3 -1
x 7
x 8 1
х 8 0
х 1
x ; 7 5; 3 1;
x 7 x 2 9x 8
C учетом ОДЗ , имеем
0
x 7
х 1
x 8; 7 5; 3 7; .

13.

4x 129 2x 7 ,
2
x 1
7 x
log
1
log
.
x 8
x 8
х 7
x 1
Решите систему
неравенств
(продолжение)
4)
и
Общее решение:
x 8; 7 7; 1 7; log2 129
x 8; 7 5; 3 7;
х
-8
-7
-5
-3
-1
7 log2129
x 8; 7 5; 3 7; log2 129
Ответ : 8; 7 5; 3 7; log2 129 .

14.

log 25 x 2
Решите неравенство
16
Решение.
ОДЗ:
25 x 2 0,
2
24 2х x 0,
25 x 2 16;
log 25 x 2
16
log 25 x 2
16
24 2x x 2
1
14
x 4; 3 3; 3 3; 5 .
24 2x x 2
1
14
24 2x x 2
25 x 2
log 25 x 2
14
16
16
25 x 2
24 2x x 2 25 x 2
0
1
14
16
16
9 x 8 24 2x x 7 25 x 0
9 x 17 16x x 0
2
2
2
2
2

15.

log 25 x 2
Решите неравенство
16
(продолжение)
x
2
24 2x x 2
1
14
9 x 2 16x 17 0
x 3 х 3 x 1 x 17 0
+
+
−
-3
-1
−
3
+
17
х
x ; 3 1; 3 17; .
C учетом ОДЗ , имеем
-4 -3
-1
3
17
x 4; 3 1; 3 .
Ответ : 4; 3 1; 3 .
х

16.

Решите неравенство
logx2 2 x 18 32 16logx 2 36 16x x 2 .
2
Решение.
ОДЗ:
x 2 0,
x 2; 1 1; 18 .
x 2 1,
36 16x x 2 0;
logx2 2 x 18 32 16logx 2 36 16x x 2
2
4logx2 2 x 18 32 16logx 2 x 2 18 x
C учетом ОДЗ , имеем
4log x2 2 18 x 32 16 log x 2 x 2 log x 2 18 x
4log x2 2 18 x 16log x 2 18 x 16 0
log x2 2 18 x 4log x 2 18 x 4 0
logx 2 18 x 2 2 0
log x 2 18 x 2

17.

Решите неравенство
logx2 2 x 18 32 16logx 2 36 16x x 2 .
2
(продолжение)
logx 2 18 x logx 2 x 2
2
18 x x 2
2
x 2 5x 14 0
x 7, не удовлетворяет ОДЗ
х 2.
Ответ : 2.

18.

log2 x x 2 log x 3 3 x 0
Решите неравенство
Решение.
ОДЗ:
2 x 0,
2 x 1,
x 2 0,
x 3 0,
x 3 1,
3 x 0;
x 2; 1 1; 2 .
x 1 x 2 0
x 1 x 2
log2 x x 2 log x 3 3 x 0
log2 x 2 log2 3 x
0
log2 2 x log2 x 3
x 2 1 3 x 1 0
2 x 1 x 3 1
x 1 2 x 0
1 x x 2
+
+
−
-2
-1
+
−
1
2
х
C учетом ОДЗ , имеем
-2
-1
1
2
x 2; 1 1; 2 .
Ответ : 2; 1 1; 2 .
х