Тригонометрические функции. Числовая окружность

1. Числовая окружность

10 класс. Мордкович А.Г.
Тригонометрические функции.
Числовая окружность
Валиева Ю.Ф.

2. Цель урока

• ввести понятие числовой окружности;
• формирование умения записывать
множество чисел, соответствующих на
числовой окружности точке;
• формирование умения находить на
числовой окружности точку,
соответствующую данному числу.

3. Числовая прямая

Прямая, на которой заданы точка отсчета,
единичный отрезок и положительное
направление, называется числовой прямой.
Определение?
Любому действительному числу можно
сопоставить точку на числовой прямой , и
наоборот.
Свойство?
Нанесите на числовую прямую числа π, 2π, -π, -2π.
Нанесите на числовую прямую промежутки (π; 2π), [-2π; π/2].
-2π
-π
-6
-3
-1 0
1
π
2π
3
6

4. Числовая прямая

Запишите координаты точек :
А
B
C
D
5
10
6
3
Запишите промежутки и соответствующие неравенства:
-2π
-π
1
проверка
[DA)
2
проверка
[BC]
D
B
5
6
0
6
5
t
6
2
5
t
6
4
A
2
π
C
5
3
2π
t

5. Числовая окружность

Определение.
+
R=1
А(0)
-
Единичную окружность называют числовой окружностью, если между
действительными числами и точками окружности установлено
соответствие:
Числу t = 0 сопоставлена точка А – правый конец горизонтального
диаметра: А(0).
Если t > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой
стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по
окружности путь АМ длиной t, тогда М – искомая М(t).
Если t < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке
(отрицательное направление обхода окружности), опишем по
окружности путь АМ длиной |t|, тогда М – искомая М(t).

6. Числовая окружность

π
2
2π
3
π
3
3π
4
π
6
+
R
π
0
2π
О
11π
6
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
5π
3
5π
4
π
4
5π
6
3π
2
4π
3
7π
4
11π
6
7π
6
R
π
2π
О
0
π
6
5π
6
3π
4
2π
3
π
2
π
3
π
4

7. Задание 1.

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая
4 4 5
соответствует данному числу:
; ;
;
; ;5 ; 3
8 8 3
3 2
5π
2
4π
Проверка (7)
3
π
8
5π
R=1
- 3π
О
0
π
8
4π
3
5
1
2 2
2
2
2
5 2 2
3 2
2. Какое взаимное
расположение на
числовой окружности
точек, соответствующих
4
4
и
;
и
.
числам 8
8 3
3

8. Задание 2 (№ 20 - №23).

Какой четверти числовой окружности принадлежит точка,
соответствующая числу: 2; 5; -5; -9; -17; 31; -95.
π/2 ≈ 3,14/2 = 1,57
2
π
-17 2
3π/2 ≈ 3*3,14/2 = 4,71
-5
Проверка (7)
9
II
π
I
R=1
95
0
5 = 4,71+0,29
9 = 6,28+2,72
17 = 2*6,28+4,44
-9
III
IV
17 3π
5
2
31
-95
31 = 4*6,28 + 5,88
95 = 15*6,28 +0,8

9. Задание 3 (№17).

-4π
Задание 3 (№17).
Как расположены на координатной прямой и на числовой
окружности точки, соответствующие числам:
π
2
t+2πk
a) t и –t;
t
б) t и t+2πk, k Z;
π
в) t и t+π;
0
О
г) t+π и t-π;
t-π
-t
-2π
t+π
3π
2
-π
-t
t-π
t
0
π
2π
t+π
4π
t

10. Задание 4.

Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности,
все точки которой удовлетворяют неравенству.
π
2
2π
π
3
3
5
3π
4
π
4
t
5π
π
4
4
6
6
R
π
0
2π
О
7π
6
-3π
5π
44
11π
π
6
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
7
t
6
6
3
3
t
4
4

11. Задание 5.

Найдите все числа t, которым на числовой окружности
k Z
соответствуют точки, принадлежащие открытой дуге
3
2 k t
2 k
AB
π
4
4
2
2π
π
3
5
7
3
2 k t
2 k
DC
4
3π
4
4
4
π
5π
А
В
π
2
k
t
2 k
PR
6
6
6
R 6
R=1
π
0
О
P
7π
6
5π
4
С
D
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6

12. Итог урока

• Каким вопросам был
посвящен урок?
• Чему научились на уроке?

13. Домашнее задание

§4.
№4.54.11(в,г)

14. Источники

• А.Г. Мордкович, «Алгебра и начала анализа», 10 - 11 классы,
часть 1, учебник.
• А.Г. Мордкович, «Алгебра и начала анализа», 10 - 11 классы,
часть 2, задачник.