Числовая окружность. Формулы

1.

Учитель Дидарова Марина Борисовна

2.

Окружность
P
М
N
A
О
А
C
D

3.

Деление на части
1)на 2 части
2)на 4 части
С
3)на 8 частей
С
R
В
А
В
А
K
В
A
AА
M
D
4)на 12 частей
С
O
D
5)на 6 частей
Z
P
O
Z
F
B
A
G
B
A
T
E
H
D
N
E
H
Указать длины дуг: 2)AD
3)AR, KM, ND, AM, NA
4)AO, AG, CB, CE, AT, AE, PE
5)AZ, ZB, AB, ZH, OZ

4.

Отметить на числовой окружности точки М( t) такие,
что:
1 рад≈57°
π≈3,14
π(рад)=180°
1)t = 1; 4; - 3
2)t = π; π/3; -π/6; 7π
3)t = - 0,5π; 2,5π; - 0,75π
4)t = 2π/3; - 5π/6; 7π/4;
5)t = - 11π/3; 25π/6; 19π/4
1
π
0

5.

Числовая окружность в системе координат.
2 ч (-;+)
у
π/2
уМ
π
1 ч (+;+)
1
α
хМ
М(t)=M(x;y)
ум
0 х
2π
3π/2
3 ч (-;-)
4 ч (+;-)
х = cosα = cost
y = sinα = sint
у/х = tgt
x/y = ctgt
м
M

6.

Координаты
у π/2 90°
120° 2π/3
135° 3π/4
1
150° 5π/6
180° π -1
-
-
1/2
π/6 30°
0
1 0 0°
½
-1/2
210° 7π/6
225° 5π/4
240° 4π/3
π/3 60°
π/4 45°
-1/2
-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)
2π 360
x
(cost)
11π/6 330° [-π/6]
7π/4 315° [-π/4]
5π/3 300° [-π/3]

7.

Тангенс и котангенс
Линия тангенсов
tg t ЄR , но t ‡
+ π k, kЄZ
у π/2
2π/3
π/3
5π/6
1
π/4
ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
π/6
0
х
Линия котангенсов
у
4π/3
-π/2
π
0
х

8.

Знаки и значения
1.sint > 0 в 1ч и 2ч;
2.cost > 0 в 1ч и 4ч;
sint < 0 в 3ч и 4ч;
cost < 0 в 2ч и 3ч;
sint Є [-1;1]
cost Є [-1;1]
1)sin²t + cos²t=1
2) y ² + x² = 1
3. tgt > 0 в 1ч и 3ч;
4.сtgt > 0 в 1ч и 3ч;
tgt < 0 в 2ч и 4ч;
сtgt < 0 в 2ч и 4ч;
tgt Є R
ctgt Є R
3)tgt = sint/cost ; ctgt = cost/sint
4)tgt = y/x
; ctgt = x/y
5)tgt·ctgt = 1

9.

Самостоятельная работа № 1
1 вариант
2 вариант
13π/6; - 1; 10π
A
F
3 вариант
1.На числовой окружности отметить числа:
9π/4; 2; -8π
-5π/3; 3; 6π
2.Единичная окружность разбита на части:
K
E
A
M
D
K
C
S
G
D
C
R
H
B
E
P
D
O
T
C
N
R
H
B
Найдите длины следующих дуг:
CA, CS, CG, BD
1) cos 95°
2) sin 7π/3
3) tg (-π/6)
CE, CR, CH, HR
3.Определить знак числа:
1) cos 280°
2) sin 11π/6
3) tg (-π/4)
CT, CP, CN, RD
1) cos 190°
2) sin 13π/4
3) tg (-π/3)

10.

Работа с формулами
№1.Дано: cost=0,4; 90°<t<180°
Найти: sint .
Решение:
1 способ.
1)sin²t + cos²t=1,
sin²t=1 - cos²t,
sin²t=1 - 0,16,
sin²t=0,84,
Т.К. tЄ2ч, то sint>0
sint=+
sint =
Ответ:
.
2 способ.
А
5
2
С
cos = 2/5 ;
СВ=
Т.К. tЄ2ч, то sin t>0 . Значит, sin t=
В Ответ:
.

11.

Основные тригонометрические тождества
1.

12.

Формулы приведения
y
π/2+t
π/2
π/2-t
1). Определить четверть
π–t
2π+t
π
0 x
π+t
2π-t
3π/2-t
3π/2
3π/2+t
2).Определить знак функции в четверти
3).От ОХ – не меняем на ко функцию;
От ОУ – меняем на ко функцию.

13.

Формулы сложения
1.sin(x + y)= sinx·cosy + siny·cosx
2.cos(x + y)= cosx·cosy - sinx·siny
3.sin(x – y)= sinx·cosy - siny·cosx
4.cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny
5.
6.

14.

Формулы двойного и половинного аргумента
1.sin2x = 2 sinx·cosx;
2.cos2x = cos²x - sin²x;
3.cos2x = 1 – 2sin²x;
6.
4.cos2x = 2cos²x-1;
7.
5.
;

15.

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
1.
2.
3.
4.
5.
- вспомогательный угол