Решение тригонометрических уравнений. Повторим значения синуса и косинуса

1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2. Повторим значения синуса и косинуса

у π/2 90°
1
120° 2π/3
π/3 60°
π/4 45°
135° 3π/4
150° 5π/6
180° π
x
-1
0
1 0
½
-1/2
(cost)
210° 7π/6
[-π/6]
225°
π/6 30°
1/2
2π 360
11π/6 330°
-1/2
5π/4
240° 4π/3
0°
7π/4 315° [-π/4]
5π/3 300° [-π/3]
-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

3. Арккосинус

Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
у
arccos(-а)
π/2
arccos а = t
π
0
-1
-а
а
1
х
arccos(- а) = π- arccos а
Примеры: 1)arccos(-1)
2)arccos(
=π
)

4.

5. Арксинус

у
π/2
1
а
arcsin а =t
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.
х
-а
-1
-π/2
Примеры:
arcsin(- а)
arcsin(- а)= - arcsin а

6.

7. Арктангенс

а
у
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
π/2
arctgа = t
0
х
arctg(-а )
arctg(-а) = - arctg а
-π/2
-а
1) arctg√3/3 = π/6
Примеры:
2) arctg(-1) =
-π/4

8.

9. Арккотангенс

у
-а
arcctg(- а)
π
а
arcctg а = t
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .
0 х
arcctg(- а) = π – arcctg а
Примеры:
1) arcctg(-1) = 3π/4
2) arcctg√3 = π/6

10. При каких значениях х имеет смысл выражение:

1.arcsin(2x+1)
1) -1≤ 2х+1 ≤1
-2≤ 2х ≤0
-1≤ х ≤0
Ответ: [-1;0]
3.arccos(x²-1)
-1≤ х²-1 ≤ 1
0 ≤ х² ≤2
Ответ:
2.arccos(5-2x)
2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]
4.arcsin(4x²-3x)
-1≤4х²-3х≤1
4х²-3х ≥ -1
4х²-3х ≤ 1
4х²-3х-1 ≤ 0
Ответ:

11. Повторение

1 вариант
sin (-π/3)
cos 2π/3
tg π/6
ctg π/4
cos (-π/6)
sin 3π/4
arcsin √2/2
arccos 1
arcsin (- 1/2 )
arccos (- √3/2)
arctg √3
2 вариант
cos (-π/4 )
sin π/3
ctg π/6
tg π/4
sin (-π/6)
cos 5π/6
arccos √2/2
arcsin 1
arccos (- 1/2)
arcsin (- √3/2)
arctg √3/3

12. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

1.cost = а , где |а| ≤ 1
или
Частные случаи
2)
cost=1
t = 2πk‚ kЄZ
1) cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
3)
cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ

13.

Решить уравнения:
2
cos x
2
3
cos x
2
1
cos x
2
3
cos x
4
cos x 0.3
3
cos x
3

14. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

2. sint = а, где | а |≤ 1
или
Частные случаи
2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
1) sint=0
t = πk‚ kЄZ
3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ

15.

Решить уравнения:
2
sin x
2
3
sin x
2
1
sin x
2
5
sin x
3
2
sin x
7
1
sin x
4

16. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ k ЄZ
4. ctgt = а, а ЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ

17.

Решить уравнения:
tgx 3
tgx 1
tgx 3
tgx 4
1
tgx
3
tgx 5

18.

Примеры:
1) cost= -
1
2
;
t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
t= ±
2) sint = 0;
Частный случай:
t = πk, kЄZ
2
+ 2πk, kЄZ
3
4) ctgt = -
3) tgt = 1;
t = arctg1+πk, kЄZ
t=
4
+ πk, kЄZ.
t = arcctg(
) + πk, kЄZ
5
t=
+ πk, kЄZ.
6

19. Решение простейших уравнений

1) tg2x = -1
2) cos(x+π/3) = ½
2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам
приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

20.

Решить уравнения:
cos 4 x 1
sin 3 x 1
cos 2 x 1
sin 2 x 1
x
2 cos 1
4
x
2 sin 1
3

21.

Решить уравнения:
x
2 cos 3
3
cos( x ) 0
3
cos( 2 x ) 0
4
x
tg3x 0
2 sin 3
2
x
3
1
tg
0
sin( x ) 0
3
4
sin( 2 x
2
) 0
x
3 tg 0
6