Простейшие тригонометрические уравнения

1. Простейшие тригонометрические уравнения

2.

3. Вопросы для повторения:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Дайте определение функции y arcsin x.Назовите ее
область определения и область значения
Чему равен arrc sin( x) ?
Сформулируйте определение арккосинуса числа.
Чему равен arcc cos( x) ?
Дайте определение функции y arctgx. Назовите
область определения и область значения этой
функции.
Чему равен arctg ( x) ?
Дайте определение арккотангенса числа.
Чему равен
?
arcctg ( x)
Если не получается,смотри презентацию обратные тр.функции

4. Задание-1:

запишите в тетрадь,вычислите и проверьте себя на
следующем слайде:

5. Проверь:

6. 1. Основные определения:

Тригонометрическим уравнением называется
уравнение, в котором переменная величина
находится под знаком тригонометрической
функции.
Простейшими тригонометрическими
уравнениями называются уравнения вида:sin
x=m,|m|≤1 ;cos x=m,|m|≤1;
tg x=m, ctg x=m,m-не ограничено.

7. 2. Решение уравнений вида: sin x=m

x 1 arcsin m k , k Z
k
3
2) sin 3 x
2
2
1) sin x
2
2
x 1 arcsin
k
2
k
x 1
k
4
3
3 x 1 arcsin
k
2
k
k, k Z
3 x 1
k
x 1
k
3
9
k
k
3
,k Z

8. Частные случаи:

1) sin x 0
x 0 k
x k, k Z
2) sin x 1
x
2
2 k , k Z
y
y
x
x

9.

3) sin x 1
x
2
4) sin x m
2 k , k Z
x 1 arcsin( m) k
k
x 1 1 arcsin m k
k
x 1
y
x
k 1
arcsin m k , k Z

10. 3.Решение уравнения вида:cos x=m

x arccos m 2 k , k Z
2
1) cos x
2
2
x arccos
2 k
2
x
4
2 k , k Z
1
2) cos 3 x
2
1
3 x arccos 2 k
2
3x
3
2 k
2 k
x
,k Z
9
3

11. Частные случаи:

1) cos x 1
2) cos x 1
x 2 k , k Z
x 2 k , k Z
у
у
х
х

12.

3) cos x 0
x
2
k, k Z
Пример:
cos 3x 1
3x 2 k
у
х
2 k
x
,k Z
3

13. 4. Решение уравнений вида: tg x=m

x arc tgm k , k Z

14. Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1.cost = а , где |а| ≤ 1
или
Частные случаи
2.sint = а, где | а |≤ 1
или
3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ kЄZ
Частные случаи
1)cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
1)sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ
2)cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ
2)sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3)cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
3)sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
4. ctgt = а, аЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ

15.

Какие из данных уравнений не имеют корней?
а)sinx = -0,44
а)cosx = -0,33
б)cosx = 5
б)sinx = 4
в)ctgx = -8
в)tgx = -10
г)ctgx = 0
г)tgx = 0

16. Решите и проверьте себя

17. Решение простейших уравнений

1) tg2x = -1
2) cos(x+π/3) = ½
2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам
приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

18. 4

19.

3
sin 4x
0
2
Уравнение уже имеет простейший
вид
3
t 4x , однако можно
2
применить формулы приведения и
упростить его.
t
cos 4x 0
t
cos 4x 0
Это частный вид
уравнения cos t=a
a=0
4x k
2
Разделим обе части на 4.
Ответ:
k
x
8 2

20.

21.

2 cos 4x 1 0
Уравнение переносом слагаемого и
делением обеих частей легко сводится к
простейшему.
1
cos 4x
2
t
1
cos 4x
2
1
4x arccos
2 k
2
4x 2 k
4
Разделим обе части на 4.
k
x
16 2
Ответ:
k
x
16 2

22.

6

23.

cos 3x 0
3
Это частный вид
уравнения cos t=a
a=0
3x k
3
2
3x k
2 3
Уравнение уже имеет простейший
вид t 3x
3
3x k ( 3)
6
k
x
18 3
Ответ:
k
x
18 3

24.

7

25.

2
cos 2x
2
2
2
cos 2x
2
2
Уравнение уже имеет простейший
вид
можно использовать четность функции cos,
применить формулы приведения и
упростить его.
2
sin 2x
2
2
2x ( 1) arcsin
k
2
k
t 2x , однако,
2
2x ( 1) k
4
k
k
x ( 1)
8 2
2
k
Ответ:
k
x ( 1)
8 2
k

26.

2 cos 4x 1 0
1
cos 3x
3
2
2 cos x 0
x
3ctg 3
4
2
cos 2x
2
2
3
sin 4x
0
2
cos( x) 1
x
3tg 1
2