Векторные функции скалярного аргумента

1. Математика Часть 2

УГТУ-УПИ
2007 г.

2.

Лекция 2
Векторные функции
скалярного аргумента
1. Векторная функция скалярного аргумента.
2. Предел и непрерывность вектор-функции.
3. Производная вектор-функции.

3.

1. Векторная функция скалярного аргумента.
Если
чисел)
Если каждому
каждому значению
значению t D (множество
(множество
чисел)
3
поставлен
в
соответствие
вектор
r
(
t
)
R
, то
поставлен в соответствие вектор
то говорят,
говорят,
r
(
t
).
что
на
множестве
D
задана
векторная
функция
что на множестве D задана векторная функция
r ( t ) можно
можно понимать
понимать свободные
свободные векторы
векторы или
или
Под
Под
радиус-векторы
радиус-векторы сс закрепленным
закрепленнымконцом.
концом.

4.

Задание векторной функции равносильно заданию трёх
скалярных функций x ( t ), y( t ), z ( t ) - координат
вектора r ( t ).
Обозначения.
(1)
( 2)
(3)
r ( t ) x ( t ), y( t ), z ( t ) ;
r ( t ) x ( t ) i y( t ) j z ( t ) k;
x x ( t )
y y( t )
z z( t )
(1), (2) - векторная
форма записи r ( t ).
(3) - координатная
форма записи

5.

При изменении параметра t ,конец вектора r ( t )
описывает линию, называемую годографом векторной
функции r ( t ).
Годограф векторной функции r ( t ) - геометрическое
место точек М конца вектора r (t ), т.е. траектория
движения точки М.
Пример.
r ( t ) a cos t i a sin t j.
x a cos t
L:
y a sin t
Годограф - окружность

6.

Рассмотрим координатную форму r ( t ) :
(3)
x x ( t )
y y( t )
z z( t )
Уравнения (3) являются параметрическими
уравнениями некоторой линии в пространстве.
Таким образом, любую линию в пространстве,
заданную параметрическими уравнениями (3), можно
рассматривать как годограф векторной функции .

7.

Примеры.
1. Окружность - годограф векторной функции
r (t ) a cos t , a sin t .
x a cos t параметрические уравнения
годографа.
y a sin t
x y a
2
2
2
- уравнение годографа
в декартовых координатах.

8.

2. Винтовая линия - годограф радиус-вектора точки,
движущейся по окружности в плоскости,
параллельной ОХУ, и с постоянной скоростью в
направлении оси OZ.
x
2
y
x a cos t
y a sin t
z bt
0
-2
15
z
10
5
0
-2
0
2

9.

3. Циклоида - траектория точки окружности, которая без
скольжения катится вдоль оси ОХ.
x a(t sin t )
y a (1 cos t )
2a
2a

10.

2. Предел и непрерывность вектор-функции.
Пусть r ( t ) определена в некоторой окрестности точки t 0
за исключением быть может самой точки t 0
Вектор a называется
приt t 0 , если
пределом вектор-функции r (t )
0, ( ) :
r
r
t t0 ( ) r ( t ) a
,

11.

Обозначение.
lim r (t ) a
t t 0
Геометрический смысл
a
O
r (t )
r (t ) a

12.

lim r (t ) a
t t 0
lim r (t ) a 0
t t 0
(см. чертеж)

13.

r
lim r (t ) lim x(t ), lim y(t ), lim z (t )
t t0
t t0
t t0
t t0
lim r (t ) a
t t 0
lim x(t ) a x , lim y (t ) a y , lim z (t ) a z
t t 0
t t 0
t t 0

14.

Свойства пределов вектор-функции.
1. lim r1 (t ) r2 (t ) lim r1 (t ) lim r2 (t );
t t 0
t t 0
t t 0
2. lim f (t ) r (t ) lim f (t ) lim r (t );
t t 0
3.
4.
t t 0
t t 0
lim r1 (t ), r2 (t ) lim r1 (t ), lim r2 (t ) ;
t t 0
t t 0
t t 0
lim r1 (t ) r2 (t ) lim r1 (t ) lim r2 (t ) ;
t t0
t t 0
t t 0

15.

r (t ),
Вектор-функция
определенная
Вектор-функция
определенная вв некоторой
некоторой
окрестности
окрестности точки
точки t0 , называется
называется непрерывной
непрерывной вв
точке
точке t0 , если:
если:
r
r
1) r (t0 ), 2) lim r (t ), 3) lim r (t ) r (t0 ).
t t0
t t0

16.

3. Производная вектор-функции.
Производной
Производной вектор-функции
вектор-функции
называется
называется
r
r (t ) ввточке
точке
r
r
r (t0 t ) r (t 0 )
lim
.
t 0
t
t0

17.

Обозначение:
r (t 0 ) r (t 0 )
Таким образом
r (t0 t ) r (t 0 )
r (t0 ) lim
t 0
t
r (t0 ) x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )

18.

Рассмотрим
r
r
r ( t 0 t ) r ( t 0 )
r
r ( t 0 ) lim
t 0
t
r
r
r ( t 0 t ) r ( t 0 ) r
r
r
r ( tгде
б м /
0) ,
t
r
r
r
r ( t 0 ) r ( t 0 )
t
t
r
r
r
r ( t 0 ) d r ( t 0 )
t

19.

r
Дифференциалом
Дифференциалом вектор-функци
вектор-функци r (t )
вв точке
точке
t0
называется
называется главная
главная (линейная)
(линейная) часть
часть её
её приращения
приращения
r
r
dr ( t 0 ) r ( t 0 )
t

20.

Геометрический и механический смысл
производной вектор-функции.
r
r (t ) x(t ), y(t ) .
Рассмотрим
Пусть Г - годограф r (t ).
M
t t M M0
r (t0 )
0
Г
r (t0 )
r (t0 )
(t )
M r (t )
r
r (t0 )
0
0
t
t
r (t0 t )
0

21.

r
(t0 ) направлен по касательной к годографу
Вектор r
вектор-функции в точке М0 в сторону возрастания
параметра t.
r (t0 )
Если t - время, то
- вектор скорости точки,
двигающейся по годографу в момент t0.

22.

Пример.
Найти скорость тела, движущегося по закону
x v0 t
2
v
gt
2
S (t )
v0 t ,
gt
2
y
2
r
r
v (t ) S
t v0 , gt
Вектор скорости имеет две составляющие:
горизонтальную v0 и вертикальную gt .

23.

Траектория движения тела - годограф
S (t ).
После исключения параметра
x
t v
g
2
0
y
x
2
2
2
v
gt
0
y
2
x v0t
2
gt
y
2
x
y

24.

Свойства операции дифференцирования
вектор-функции.
1. a (t ) b (t ) a (t ) b (t );
2.
a (t ) a (t );
3. a (t ) 0; a (t ) const;
4.
(t ) a (t ) (t ) a (t ) (t ) a (t );

25.

5. a (t ), b (t ) a (t ), b (t ) a (t ), b (t ) ;
6. a (t ) b (t ) a (t ) b (t ) a (t ) b (t ) ;
7. a (t ) a (t );