Операционное исчисление

1. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

I. Преобразование Лапласа
2018

2. ОРИГИНАЛ

комплекснозначная функция
действительного переменного
f (t ) f1(t ) if 2 (t )

3.

ТЕОРЕМА 1
S
t
0
f (t ) e
S0 - Показатель роста

4.

5.

6. Единичная функция Хевисайда

1
L(1) L(η(t ))
p

7.

8. Пример1

Найти изображение по определению
e
2t

9. Пример 1

10. Основные свойства

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19. Примеры

20.

21.

22.

23.

24.

25. II. Отыскание оригинала по изображению

1. Теорема запаздывания
2. Теорема о свертке
3. Изображение – правильная дробь, вида
Qm ( p )
Rn ( p )
1. Разложить в сумму простейших дробей изображение
2. Перейти к оригиналам от полученных дробей

26. Оригиналы простейших дробей

27. Оригиналы простейших дробей

28. Пример

3
p 4
2
( p 1)3
4
( p 2) 6

29.

p 1
2
p 4p 5

30.

p 1
p2 4 p 5

31. Применение операционного исчисления

1. Вычисление несобственных интегралов
2. Решение линейных дифференциальных
уравнений с постоянными
коэффициентами
3. Решение систем линейных
дифференциальных уравнений

32. Пример

sin t
t dt
0
Пример

33. ЛДУ

Найти решение ДУ операторным методом при заданных
начальных условиях
a0 y a1 y a2 y f (t ),
y (0) y0 , y (0) y0

34. 2. Алгоритм решения ЛДУ

1. Применить преобразование Лапласа к правой
части по таблице изображений
2. Найти изображение левой части, используя
дифференцирование оригинала (свойство 5)
3. Получаем операторное уравнение относительно
Y(p) – изображение решения ДУ
4. Выразить Y(p)
5. Восстановить оригинал y(t) по полученному
изображению

35. Пример

t
y 2 y y e , y(0) 1, y (0) 0

36. Пример

37. Пример

38.

39. 3. Алгоритм решения систем ДУ

1. Применить преобразование Лапласа к
обеим частям каждого уравнения
2. Решить полученную систему, как СЛАУ
относительно
изображений
искомых
решений (метод Крамера)
3. Восстановить оригиналы – решения
системы ДУ по полученным изображениям