Признак перпендикулярности прямой и плоскости

1.

2.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то
она перпендикулярна к этой плоскости.
a
p
a p,
p
q
a q,
a

3.

Чтобы установить перпендикулярность
прямой и плоскости достаточно проверить
перпендикулярность лишь к двум прямым,
лежащим в плоскости.

4.

5.

Рассмотрим случай, когда прямая
a проходит через точку О.
a
А
P
l q
p m
О
Q
L
В

6.

aa1
q
О
p
Случай, когда прямая
a не проходит через точку О

7.

Докажите, что АО
A
0
35
420
С
480
550
O
В

8.

ABCD и ВMNС – два прямоугольника.
Доказать: ВС (СDN)
В
M
А
Доказать: ВС DN
С
D
N

9.

ABCD – прямоугольник.
В треугольнике ВСМ сторона ВС = 6, СМ = 8, ВМ = 10.
Доказать: ВС (СDN)
В
А
6
10
С
D
8
M

10.

ABCD – ромб. Плоскость
проходит через диагональ АС.
Можно ли утверждать, что диагональ ВD будет
перпендикулярна
D
плоскости
?
А
О
F
С
Треугольник DOF
прямоугольный ( О=900)
ВD ?
В

11.

Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС
треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD, где
D – произвольная точка прямой АС.
Дома №126.
М
А
В
D
С

12.

Через точку О пресечения диагоналей параллелограмма
АВСD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = МD.
Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости
параллелограмма.
М
Дома №128.
В
С
O
А
D

13.

В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900. Прямая
ВD перпендикулярна к плоскости АВС.
Докажите, что СD АС.
№127.
D
C
B
A

14.

Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD,
диагонали которого пересекаются в точке О.
Докажите: а) ВD АМО, б) МО ВD.
№129.
M
B
C
О
A
D

15.

Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ.
Известно, что МВА = МВС = 900; МВ = m, АВ = n.
Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата;
б) прямых ВD и АС.
№130.
М
m
А
D
n
n
O
В
n
С

16.

№131.
D
B
В тетраэдре DABC точка М –
середина BС, АB = АС, DВ = DC.
Докажите, что плоскость
треугольника АDМ
перпендикулярна к прямой ВС.
A
M
С

17.

АВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен
плоскости АВС.
ВЕ = 15, ЕС = 24, ЕD = 20. Докажите, что
треугольник ЕDС прямоугольный и найдите АЕ.
Е
СD AD,
СD AED
20
24
D
C
СD АЕ
15
А
В

18.

Точка А принадлежит окружности, АК – перпендикуляр к ее
плоскости, АК = 1 см, АВ – диаметр, ВС – хорда окружности,
составляющая с АВ угол 450. Радиус окружности равен 2 см.
Докажите, что треугольник КСВ прямоугольный, и найдите КС.
К
СВ AС, СВ АК
СВ AКС
1
С
А
450
В
2

19.

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 900.
Е ВС, ЕМ АВС. Докажите, что АС МВ.
М
Е
B
C
A

20.

АВСD – параллелограмм. АD = 4, DС = 6,
МС перпендикулярно плоскости АВС, МD АD.
Найдите площадь параллелограмма.
М
АD МD, АD МС
АD МСD
С
В
6
А
4
D

21.

АВС – равнобедренный треугольник, АВ = АС, точка D –
середина ВС, ЕD (ABC).
Доказать: 1) ВС (АDЕ), 2) ВС АЕ.
Е
В
А
D
С

22.

АВСD – ромб, МD (ABC).
Доказать: 1) AС (BMD), 2) AС MB.
M
D
С
А
B

23.

АВСD – квадрат, ЕА ВС, К
Доказать: ВС АК.
Е
ВЕ.
K
В
А
С
D