Перпендикулярность прямой и плоскости

1.

2.

Перпендикулярность прямой и плоскости
Опр. Две прямые в пространстве называются
перпендикулярными, если угол между
ними равен 90º.
aˆ; b 900
a b
Лемма Если одна из 2-х параллельных прямых,
перпендикулярна третьей прямой, то и
другая прямая перпендикулярна к этой
прямой.
а
b
а b
а с
М
b c
с
a b O
a b
С
Доказательство
1.М , М а, М b, M c
2.MA a, MC c
a c AMC 900
3.a MA
А

3.

Задача №1
Дано: АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед,
ДАВ=900, АА1В1=900 , А1Д1Д=900
Доказать:1)
2)
3)
4)
АА1 ВС ;
АВ ВС ;
СД А1 Д1;
ВС ДД1 .

4.

Прямая перпендикулярная плоскости
Опр. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна
к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
а
у
р
х
Утверждение: Если прямая перпендикулярна плоскости, то она её пересекает.

5.

Теоремы о связи между параллельностью прямых и их
перпендикулярностью плоскости.
Th 14Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая
прямая, перпендикулярна этой плоскости.
l1
l1 l2
l2
Th 15Если две прямые перпендикулярны
плоскости, то они параллельны.
l1 2
l1
l2
l2
l1 l2
l1
l1 l2
l2 b l2
l2
M
b
Доказательство
l1 b
l1
B1
Доказательство
1.M l2
2.MB1 l1 MB1
3.MB1 BB1
MB BB1
(следует из определения)
B

6.

Задача №2
P
PQ
Q
PP1
QQ1
PQ P1Q1
P1
Q1

7.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Th 13 Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в
плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
b
Доказательство
c
a
a b
А
a c
1.m произвольн о, m
2.a O, b1 b, c1 c, O b1 , O c1
m1 m, O m1 (b1 b, b a b1 a)
3.ОА ОВ, t , t b1 P, t c1 L, t m1 Q
4. АР РВ, AL LB
b c X1
5. APL BPL APL BPL
6. APQ BPQ AQ BQ
7. AQB равнобедренный
a
b
c1
m1b O
1
m
c
В
Р
Q
L
QO медиана QO высота
m1 a
8.m1 m
o
m a
a
m1 a

8.

Построения
I. Через любую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой
и притом только одну.
Построение
а, М
a
! , М ,
а
b
М
K
c
I .M a
1. : M , a
b a, M b, b a K
2. : a ,
c a, K c
3. : b , c , b c K
4.а (по _ признаку )
Единственность
b
М
с
II .M a
5. , а , М ,
b1
а
(т.к. М –их общая точка)
b1 a(a , b1 )
6.в _ плоскости _ _ через _
точку _ М _ b1 a, b a,
что _ невозможно.

9.

Построения
II. Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости
и притом только одну.
Построение
,М
I .M a
! а, М а,
1.а1 , а1
а
2. , М , а1
3. b
4.а, М а, а , а b
5.а _(по _ признаку )
M
b
Единственность
a1
a
6. с, с , М с
7.с
а
а с
а с М
а с

10.

Построения
II .M a
Построение
a
1.b, b , M b
2. : M , b
c М
b
Единственность
(по _ задаче _ №1)
с, с b
3.a, a , M a, a c
4.a искомая

11.

1.
Прямая а перпендикулярна
плоскости АВС, АСВ= 90º, АС= 4,
МD = 3. Найти МС.
А
М
D
С
Ответ: МС = 3
В
а
а
2.
Прямая а перпендикулярна
плоскости АВС, ΔАВС –
равносторонний, АВ =2√3,
МD = 4. Найти МС.
М
В
D
А
С
Ответ: МС = 5

12. В тетраэдре DABC ADAC, ADAB, DCCB.а)Докажите, что ADВC; б) Докажите, что прямая ВС  плоскости АDС; в) Найдите площадь Δ

№1
В тетраэдре DABC AD AC, AD AB,
DC CB.а)Докажите, что AD ВC; б) Докажите, что
прямая ВС плоскости АDС; в) Найдите площадь
Δ ВСА, если ВС= 4, АС = 3.
Решение:
D
а) AD AC, AD AB→ AD
AВC, ВС АВС→ AD ВС
А
В
С
б) DC CB, AD ВС →
ВС ADС
в) ВС ADС , АС АDС → ВС АС
Δ ВСА - прямоугольный
a b BC AC 4 3
S
6
2
2
2

13. Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ AB, ВЕВС. а)Докажите, что ВЕСD; б) Докажите, что прямая СD ВСЕ;

№2
Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника
АВСD, ВЕ AB, ВЕ ВС. а)Докажите, что ВЕ СD;
б) Докажите, что прямая СD ВСЕ; в)Найдите
площадь Δ ЕСD, если СD =6, СЕ = 8.
Решение
А
Е
а) ВЕ AB, ВЕ ВС→ВЕ
АВС, СD АВС→ ВЕ CD
В
С б)АВСD -прямоугольник →
СD BC
СD ВСЕ
СD ВЕ
D
в) СD ВСЕ→ СD СЕ→ΔЕСD - прямоугольный
CD CE 6 8
S
24
2
2

14. Через катеты ВD и ВС прямоугольных треугольников АВD и АВС проведена плоскость , не содержащая их общий катет. Будет ли АВ ?

№3
Через катеты ВD и ВС прямоугольных
треугольников АВD и АВС проведена плоскость , не
содержащая их общий катет. Будет ли АВ ?
А
Решение
1) Точки В,С, D – не
лежат на одной прямой
ΔABC- прямоугольный,
АВ и ВС – катеты →
AB BC
D
В
ΔABD – прямоугольный,
С
AB и BD катеты →
AB BD
Плоскость совпадает с плоскостью
BCD→ АВ

15.

2) Точки
В, С и D лежат на одной прямой
А
С
В
D
Прямая АВ может быть не перпендикулярна
плоскости

16.

Задача №1
Задача №2
АВС равносторонний
АВСД квадрат
АВ1С1
АС ВД О
ВВ1 АВ1С1
АМ АВС
СС1 АВ1С1
В1С1
1) ВД АМО
ВВ1 СС1
2) МО ВД
ВАВ1 300
М
В1С1 ?
В
А
С
В
О
Д
В1
А
С1
С

17.

Домашнее задание Глава 2. §1стр. теорию учить, №116, 123