Перпендикулярность прямой и плоскости

1.

Учебник Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
«Геометрия 10» § 9

Перпендикулярность прямой и плоскости
Опр. Две прямые в пространстве называются
перпендикулярными, если угол между
ними равен 90º.
aˆ; b 900
a b
Лемма Если одна из 2-х параллельных прямых,
перпендикулярна третьей прямой, то и
другая прямая перпендикулярна к этой
прямой.
а
b
а b
а с
М
b c
с
a b O
a b
С
Доказательство
1.М , М а, М b, M c
2.MA a, MC c
a c AMC 900
3.a MA
А

3.

Задача №1
Дано: АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед,
ДАВ=900, АА1В1=900 , А1Д1Д=900
Доказать:1)
2)
3)
4)
АА1 ВС ;
АВ ВС ;
СД А1 Д1;
ВС ДД1 .

4.

Прямая перпендикулярная плоскости
Опр. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна
к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
а
у
р
х
Утверждение: Если прямая перпендикулярна плоскости, то она её пересекает.

5.

Теоремы о связи между параллельностью прямых и их
перпендикулярностью плоскости.
Th 14Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая
прямая, перпендикулярна этой плоскости.
l1
l1 l2
l2
Th 15Если две прямые перпендикулярны
плоскости, то они параллельны.
l1 2
l1
l2
l2
l1 l2
l1
l1 l2
l2 b l2
l2
M
b
Доказательство
l1 b
l1
B1
Доказательство
1.M l2
2.MB1 l1 MB1
3.MB1 BB1
MB BB1
(следует из определения)
B

6.

Задача №2
P
PQ
Q
PP1
QQ1
PQ P1Q1
P1
Q1

7.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Th 13 Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в
плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
b
Доказательство
c
a
a b
А
a c
1.m произвольн о, m
2.a O, b1 b, c1 c, O b1 , O c1
m1 m, O m1 (b1 b, b a b1 a)
3.ОА ОВ, t , t b1 P, t c1 L, t m1 Q
4. АР РВ, AL LB
b c X1
5. APL BPL APL BPL
6. APQ BPQ AQ BQ
7. AQB равнобедренный
a
b
c1
m1b O
1
m
c
В
Р
Q
L
QO медиана QO высота
m1 a
8.m1 m
o
m a
a
m1 a

8.

Построения
I. Через любую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой
и притом только одну.
Построение
а, М
a
! , М ,
а
b
М
K
c
I .M a
1. : M , a
b a, M b, b a K
2. : a ,
c a, K c
3. : b , c , b c K
4.а (по _ признаку )
Единственность
b
М
с
II .M a
5. , а , М ,
b1
а
(т.к. М –их общая точка)
b1 a(a , b1 )
6.в _ плоскости _ _ через _
точку _ М _ b1 a, b a,
что _ невозможно.

9.

Построения
II. Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости
и притом только одну.
Построение
,М
I .M a
! а, М а,
1.а1 , а1
а
2. , М , а1
3. b
4.а, М а, а , а b
5.а _(по _ признаку )
M
b
Единственность
a1
a
6. с, с , М с
7.с
а
а с
а с М
а с

Перпендикулярность прямой и плоскости

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.