Перпендикулярность прямой и плоскости

1.

2.

Перпендикулярные прямые в пространстве.
Две прямые в пространстве называются
перпендикулярными (взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 900.
c a,
c a
a b,
a b
/
c
c
a
b

3.

Лемма.
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая
перпендикулярна к этой прямой.
A
a
b
c
M
C
aIIb,
a c

4.

D
№117.
В тетраэдре АВСD ВС АD.
Докажите, что АD MN, где М и N
– середины ребер АВ и АС.
ВС АD
BC II MN
N
А
M
B
C
MN AD

5.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости.
a
a

6.

Построение прямых углов на местности с помощью
простейшего прибора,
который называется экер
Треножник
с
экером
В
Отвес Экера
перпендикулярен
плоскости земли.
А
1
О

7.

Канат в спортивном зале
перпендикулярен
плоскости пола.

8.

9.

№119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой
отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD.
По опр.
АD AD ОВ
A
O
С
D
В

10.

№119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой
отрезка АD, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
По опр.
АD AD ОВ , AD ОС
A
O
С
D
В

11.

№119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка
АD. ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
По опр.
АD AD ОВ , AD ОС
A
O
С
D
В

12.

№121. В треугольника АВС дано: С = 900, АС = 6 см, ВС = 8
см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК,
перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем
СК = 12 см. Найдите КМ.
По опр.
КС ( АВС ) КС СМ
К
А
12 см
6см
С
М
8 см
В

13.

№121. Еще один эскиз к задаче
К
12 см
6см
А
С
8 см
М
В

14.

№120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата,
a
сторона которого равна , проведена прямая ОК,
перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние
от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.
По опр.
К
В
КО ( АВС ) КО ОВ
b
С
O
А
a
a
D

15.

Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости.
a
a
a1

16.

Обратная теорема.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
они параллельны.
a
a
b
b
a II b

17.

Обратная теорема.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
они параллельны.
a
b
M
a
b
a II b
c
b1

18.

АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ –
перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона
треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до
вершин треугольника.
По опр.
МО ( АВС ) МО ОВ
М
1
В
А
3
O
С

19.

Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость,
параллельная ВС, ВВ1
и СС1 , СС1=4, АС1= 209
0
АВ1= 33 , ВАС 60 . Найдите ВС.
В
С
4
В1
С1
33
А
209
ВВ1
СС1

20.

Дано:
ОМ ( АВС )
Дано:
АВС –равносторонний
треугольник со стороной 6 3
О – точка пересечения
медиан. Найти расстояние
от точки М до вершин
треугольника.
ОМ ( АВС )
АВСD – квадрат со
стороной 4, О – точка
пересечения диагоналей.
Найти расстояние от точки
М до вершин квадрата.
М
М
1
2
А
В
В
4
С
4
O
6 3
6 3
С
O
А
4
4
D

21.

№124. Прямая РQ параллельна плоскости . Через точки Р
и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости ,
которые пересекают эту плоскость соответственно в точках
Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1.
Р
Q
РР1
QQ1
PP1IIQQ1
P1
Q1

22.

ABCD – параллелограмм. BE (ABC),
Доказать: (АВЕ) II (СDF)
DF (ABC)
Е
(АВС)
DF
(АВС)
ВЕ II DF
F
В
А
ВЕ
С
D
AB II DC
(ABЕ) II (CDF)

23.

№125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости
, которые пересекают эту
плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Найдите Р1Q1.
15
Р
33,5
21,5
Q
P1
Q1
По опр.
РР1 РР1 Р1Q1,
РР1
QQ1
PP1IIQQ1