Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма. Определение прямой, перпендикулярной к плоскости

1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Содержание
• Перпендикулярные прямые в пространстве
• Лемма
• Определение прямой, перпендикулярной к плоскости
• Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к
плоскости
• Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к
плоскости
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости
• Теорема о существовании и единственности прямой,
перпендикулярной к данной плоскости
• Перпендикуляр и наклонные
• Теорема о трех перпендикулярах
• Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
• Угол между прямой и плоскостью

2. Содержание

Перпендикулярные прямые в
пространстве
Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
с
а
b
а b
α
c b

3. Перпендикулярные прямые в пространстве

Лемма
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна к этой прямой.
a
Доказать:
b
M
Дано: а || b, a c
b c
A
c
C
α
Доказательство:

4. Лемма

Прямая
называется
перпендикулярной
к
плоскости, если она перпендикулярна к любой
прямой, лежащей в этой плоскости
а
α
а α

5. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая
прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Дано: а || а1; a
α
Доказать: а1
Τ
х
а1
Τ
a
α
α
Доказательство:

6. Теорема 1

Теорема 2
β
Если две прямые
перпендикулярны к
плоскости, то они
параллельны.
M
с
Дано: а α; b α
α
a
Доказать: а || b
b1
b
Доказательство:

7. Теорема 2

Признак перпендикулярности
прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
a
q O
p
m
Дано: а p; a q
p α; q α
α
p∩q=O
Доказать: а α
Доказательство:

8. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Доказательство:
а) частный случай
a
A
P
l
Q
q
O
α
p
m
B
L

9.

Доказательство:
а) общий случай
a1
a
m
q
p
O
α

10.

Теорема 4
Через любую точку пространства проходит
прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и
притом только одна.
β
М
b
а
α
с

11.

Упражнение 1
Докажите, что плоскость, проходящая через
ребро AB правильного тетраэдра ABCD и
точку
Е
–
середину
ребра
CD,
перпендикулярна ребру CD.
Доказательство: Прямая CD перпендикулярна прямым AE и
BE. Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABE.
12

12. Упражнение 1

Упражнение 2
Докажите, что прямая AA1, проходящая
через вершины куба ABCDA1B1C1D1
перпендикулярна плоскости ABC.
Доказательство. Прямая AA1 перпендикулярна прямым AB и AD.
Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABC.
13

13. Упражнение 2

Задача . Прямые АВ, АС и AD
попарно перпендикулярны.
Найдите отрезок CD, если АВ = 3
см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.
АС, АВ
Дано: АВ
АD, AD AC.
АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.
С
Найти CD.
7 см
Решение: 1) АВС – прямоугольный,
по теореме Пифагора АС2 = ВС2 – АВ2 =
49 – 9 = 40, АС = 40 см.
2)
40
?
АСD – также прямоугольный,
В
по теореме Пифагора СD2 = AC2 + AD2 =
А
1,5 см
= 40 + 2,25 = 42,25. CD = 42,25 cм = 6,5 см.
Ответ: CD = 6,5 см.
D
3 см

14.

Задача. Прямые АВ, АС и AD
попарно перпендикулярны.
Найдите отрезок CD, если ВD = 9
см, ВС = 16 см, АD = 5 см.
Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC.
BD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см.
С
Найти CD.
Решение: 1) АВD – прямоугольный,
200
по теореме Пифагора АB2 = ВD2 – АD2 =
81 – 25 = 56, АС = 56 см.
?
2) АСB – также прямоугольный,
по теореме Пифагора AC2 = BC2 - AB2 =
= 256 - 56 = 200. AC =
56
200 cм.
А
3) ACD – прямоугольный, CD2 = AC2 +AD2=
= 200 + 25 = 225, CD = 15 см.
Ответ: CD = 15 см.
D
В

15.

Перпендикуляр и наклонные
М α
МН α
Н α
А α
В α
А
М
МА и МВ – наклонные
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр
α
Н
В

16. Перпендикуляр и наклонные

Теорема о трех
перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а НМ, М а
Доказать: а АМ
Доказательство:

17. Теорема о трех перпендикулярах

Теорема, обратная теореме
о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна
и к ее проекции.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а АМ, М а
Доказать: а НМ
Доказательство:

18.

Угол между прямой и плоскостью
(а ; α) = АОН = φ
β
А
φ
О
α
а
Н