Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Содержание
Перпендикулярные прямые в пространстве
Лемма
Определение прямой, перпендикулярной к плоскости
Теорема о перпендикулярности двух параллельных
прямых к плоскости
Теорема о параллельности двух перпендикулярных
прямых к плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема о существовании и единственности прямой,
перпендикулярной к данной плоскости
Перпендикуляр и наклонные
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Угол между прямой и плоскостью

2. Содержание

Перпендикулярные прямые в
пространстве
Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
с
а
b
а b
α
c b

3. Перпендикулярные прямые в пространстве

Лемма
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна к этой прямой.
a
Доказать:
b
M
Дано: а || b, a c
b c
A
c
C
α
Доказательство:

4. Лемма

Прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к
любой прямой, лежащей в этой плоскости
а
α
а α

5. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая
прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Дано: а || а1; a
α
Доказать: а1
Τ
х
а1
Τ
a
α
α
Доказательство:

6. Теорема 1

Теорема 2
β
Если две прямые
перпендикулярны к
плоскости, то они
параллельны.
M
с
Дано: а α; b α
α
a
Доказать: а || b
b1
b
Доказательство:

7. Теорема 2

Признак перпендикулярности
прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
a
q O
p
m
Дано: а p; a q
p α; q α
α
p∩q=O
Доказать: а α
Доказательство:

8. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Доказательство:
а) частный случай
a
A
P
l
Q
q
O
α
p
m
B
L

9.

Доказательство:
а) общий случай
a1
a
m
q
p
O
α

10.

Теорема 4
Через любую точку пространства проходит
прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и
притом только одна.
β
М
b
а
α
с

11.

Перпендикуляр и наклонные
М α
МН α
Н α
А α
В α
А
М
МА и МВ – наклонные
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр
α
Н
В

12. Перпендикуляр и наклонные

Теорема о трех
перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а НМ, М а
Доказать: а АМ
Доказательство:

13. Теорема о трех перпендикулярах

Теорема, обратная теореме
о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна
и к ее проекции.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а АМ, М а
Доказать: а НМ
Доказательство:

14.

Угол между прямой и плоскостью
(а ; α) = АОН = φ
β
А
φ
О
α
а
Н