Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

2. Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
с
а
b
а b
L
c b

3. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

а L
а
L

4. Лемма

Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третьей прямой, то и
другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
a
Доказать: b c
b
M
A
c
C
L
Дано: а || b, a c
Доказательство:

5. Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая
прямая перпендикулярна к этой плоскости.
a
L
х
а1
Дано: а || а1; a L
Доказать: а1 L
Доказательство:

6. Теорема 2

Если две прямые перпендикулярны к плоскости,
то они параллельны.
β
O
с
L
a
b
b1
Теорема 2
Дано: а L; b L
Доказать: а || b
Доказательство:

7. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
m
q O
p
n
Дано: m p; m q
p L; q L
p∩q=O
L Доказать: а L
Доказательство:

8.

Теорема
Через любую точку пространства проходит прямая,
перпендикулярная к данной плоскости, и притом
только одна.
Дано: L; М L
β
М
b
а
L
с
Доказать:
1) ∃ с, с L, М с;
2) с – !
Доказательство:

9. Перпендикуляр и наклонные

М L
МН L
Н L
А L
В L
М
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр
L
Н
А
МА и МВ – наклонные
В

10.

Задача
O
Дано: NBK;
OB BK; OB BN;
OB = BD = a
Доказать: OB BD
Найти: OD
Решение:
a
В
N
a
D
K

11. Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
А
Н
L
β
а
М
Дано: а L, АН L,
АМ – наклонная,
а НМ, М а
Доказать: а АМ
Доказательство: