Пересечение прямых и плоскостей

1. Пересечение прямых и плоскостей

Пересечение прямой с
проецирующей плоскостью

2.

2
k2
N2
x12
Точкой пересечения прямой
с
плоскостью
является
точка,
принадлежащая
прямой и плоскости.
N т.к. N2 2
k1
N1
N k т.к. N2 k2
и N1 k1
( )N – точка пересечения
прямой k c пл.

3.

Пересечение плоскости общего
положения с проецирующей
плоскостью

4.

12
22
1
2

5.

12
22
Линия пересечения плоскости
ОП с
плоскостью ЧП имеет одну из своих
проекций на одноименном задающем
x12 плоскости ЧП .
следе
A1
11
B1
21
C1

6.

Пересечение прямой с плоскостью
общего положения

7.

1
m
K
Алгоритм:
(m );
1,2;
1,2 m K
2

8.

2
1
12
1,2;
1,2 m K
22
В1
x12
Алгоритм:
П2 (m );
К2
m
А
K
В2
С2
m2
1
1
2
А1
m1
К1
21
С1

9.

2
12
В2
К2
А
22
В1
x12
Алгоритм:
П2 (m );
1,2;
1,2 m K
С2
m2
11
А1
m1
К1
21
С1

10. Пересечение проецирующих плоскостей

11.

k2

12.

k2
k1
x12

13. Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения

14.

K
m
L
n

15.

К
K
m
L
n
L

16.

K
Построение линии пересечения двух
плоскостей
общего положения заключается в
m
определении точек пересечения
двух
L
прямых одной плоскости
с другой
n
плоскостью

17.

M
β
N

18.

f2
e2
2
12
2
(a b)
β(eff)
ПП22
12
5…
34
β 6…
12 34 M
5… 6… N
M2
M
22
β
a2 52
a1
51
b2
11
b1
N
32
42
N2
62
61
41
21
N1
M1
31
e1
f1

19.

Алгоритм построения линии пересечения
двух плоскостей общего положения
(a b) и β(eff)
П2
12 12 34 M
34
MN – линия
П2
пересечения
5…
5… 6… N
β 6…
плоскостей
и

20.

Пересечение плоскости с
проецирующей плоскостью

21.

Линией пересечения двух плоскостей является
прямая, принадлежащая обеим плоскостям.
В2
2
22
x12
12 т.к. 1222 2
С2
12
С1
А1
22
В1
12 АВС т.к.
( )1 АС;
( )2 ВС
А2
12
Плоскость П2
12 - линия
пересечения пл. и
пл. АВС

22. Определение видимости плоскостей

23.

В2
2
22
12
А2
x12
С2
12
С1
А1
22
В1

24. Пересечение поверхности плоскостью и прямой

25. Пересечение проецирующей плоскости с поверхностью многогранника

26.

27.

S2
12
22
32
А2
В2
2
С2
A1
11
31
21
B1
C1

28.

Пересечение с линейчатой
поверхностью

29.

парабола

30.

гипербола

31.

эллипс

32.

33.

34.

Конические сечения
гипербола
парабола
окружность
эллипс
треугольник

35.

62 42
52
72 32
22 82
12 1о2
2о2 8о2
3о2 7о2
4о2 6о2 5о2
7о1
8о1
6о1
81
71
61
51
11 1о1
5о1
41
2о1
21
31
3о1
4о1

36.

Алгоритм
На
поверхности обозначить ряд образующих.
Обязательно включить очерковые образующие с П1 и П2.
Обозначить
точки
пересечения
проецирующей
плоскости с образующими.
Перенести точки на другую плоскость проекций.
Соединить полученные проекции точек плавной кривой.
Показать видимость линии пересечения.

37.

52
m2M
62 42
72 32
82 22
(12)
81
m1
71
M
61
11
51
21
41
31
n1
n2

38.

Алгоритм
На
поверхности обозначить ряд точек на следе
плоскости. Обязательно включить точки, лежащие на
экваторе и главном меридиане.
Перенести точки, лежащие на экваторе и главном
меридиане на другую плоскость проекций.
На поверхности обозначить ряд параллелей на П1 и П2.
Обозначить
точки
пересечения
проецирующей
плоскости с параллелями.
Перенести точки на другую плоскость проекций.
Соединить полученные проекции точек плавной кривой.
Показать видимость линии пересечения.

39. Пересечение прямой с гранными поверхностями

40.

41.

S2
l2
А2
В2
2
С2
A1
l1
C1
B1

42.

Алгоритм построения точек пересечения
прямой с поверхностью
l пл. ;
пл. с поверхностью линия d;
линия d l ( ) M, N.

43. Пересечение прямой с линейчатой поверхностью

44.

45.

Алгоритм построения точек пересечения
прямой с поверхностью
l пл. ;
пл. с поверхностью линия d;
линия d l ( ) M, N.

46.

47.

48.

49.

N2
M2
l2
R
M1
N1
l1
2

50.

N2 M2
l2
l1
N1
M1
2

51.

1
M
3
N
2
5
6
4

52.

53.

1
M
N
2
3
4
1
3
M
5
N
2
6
4

54.

Алгоритм построения точек пересечения
прямой ОП с конусом
Выбрать ( ) 1 и ( ) 2 на прямой.
Через вершину конуса и ( ) 1 и ( ) 2 провести лучи.
На пересечении лучей с плоскостью основания
конуса построить ( ) 3 и ( ) 4.
Построить линию 34 .
На пересечении линии с очерком основания конуса
построить ( ) 5 и ( ) 6 .
Построить образующие конуса из ( ) 5 и ( ) 6 .
На пересечении образующих с прямой построить
( ) М и ( ) N.

55.

56.

57.

l2
х12
l1
1

58.

Алгоритм построения точек пересечения
прямой ОП со сферой
Заключить прямую l в проецирующую плоскость .
Ввести дополнительную плоскость проекций Пi+1 .
На пл. Пi+1 построить центр сферы О и прямую l.
Из центра Оi+1 построить сечение сферы плоскостью
(окружность).
Обозначить точки пересечения проекций сечения сферы и прямой
на пл. Пi+1 .
Точки перенести с плоскости Пi+1 на плоскости проекций Пi , П1, П2.

59.

(M2)
m2
N2
Х
m1
M1
N1
2