Пересечение поверхности с проецирующей плоскостью

1. Лекция 8

•Пересечение поверхности с проецирующей
плоскостью.
•Пересечение поверхности с плоскостью
общего положения.
•Пересечение поверхности с прямой
линией.

2. Пересечение поверхности с проецирующей плоскостью

z
П2
S2
ÐП
S2
2
B2
À2
B2
C2
S
À2
C
x
C2
0
x
Ðx
0
Ð
À
B
C1
y
À1
S1
B1
ÐП
1
Если поверхность пересекается с проецирующей плоскостью, то
полученное сечение совпадает со следом плоскости.

3. Пересечение поверхности с плоскостью общего положения

S
Чтобы построить сечение
пирамиды с плоскостью
Ð
общего положения,
необходимо определить
F
E
точки пересечения каждого
C
ребра с плоскостью, а
затем соединить их с
D
À
учетом видимости.
B

4. Задача № 9.3 стр.45: Найти линию пересечения плоскости общего положения с поверхностью

• Дана пирамида
SABCD и плоскость
общего положения,
заданная
параллельными
прямыми (m ‖ n).

5.

Решение: Т.к.каркас пирамиды состоит
из трех ребер (АS,ВS,СS), в сечении
с плоскостью общего положения
должен получиться треугольник.
Определяем точку « I » пересечения
ребра [ SA ] с заданной плоскостью:
1) Заключаем ребро в
проецирующую плоскостьпосредник α ┴П2 (α2)
2) Находим линию пересечения α с
существующей плоскостью,
заданной параллельными
прямыми (m ‖ n)→ линия 1-2
3) Определяем точку пересечения
прямой SA с линией пересечения
1-2 →(.)I
S2
m2
I2
n2
22
12
À2
x
C2
B2
0
m1
2
C1
2
À1
n1
I1
21
B1
11
°
S1

6. Далее определяем пересечение ребер SB и SC с искомой плоскостью (m ‖ n)

S2
m2
n2
I2
Повторяем операции с ребрами
SС и SB. С помощью
III2
32
проецирующих плоскостей –
посредников β┴П2 (β2) и
42
II2
x
À2
γ ┴П2 (γ2) определяем точки II
62
C2
B2
0
m1
2
2
и III – точки пересечения ребер [
SB ] и [ SC ] с плоскостью.
52
C1
651
n1
III1
À1
I14
1
II1
B1
31
61
5
S1

7.

S2
m2
I2
n2
II2
Соединяем построенные
III2
точки между собой с учетом
видимости граней пирамиды.
Далее определяем
x
À2
B2
m1
видимость поверхности и
C1
искомой плоскости по
конкурирующим точкам
0
C2
III1
À1
n1
I1
II1
B1
S1

8.

S2
Рассмотрим на П2
m2
конкурирующие точки
I2
n2
Д и Е (Д2≡Е2), лежащие
Д2≡Е2
на прямой n и ребре АS.
На П1 видно, что точка Е
расположена дальше от
x
À2
°
II2
III2
B2
0
C2
m1
плоскости П2 (дальше от
оси), чем точка Д.
Следовательно, на П2
C1
À1
°
видна прямая n (т.е.
плоскость)
Д1
I1
II1
B1
°
III1
n1
Е1
S1

9.

S2
Следовательно, на
m2
П2 видно, как
I2
n2
вершина пирамиды
Д2≡Е2
выходит из
плоскости.
x
À2
°
II2
III2
B2
0
C2
m1
C1
À1
°
Д1
I1
II1
B1
°
III1
n1
Е1
S1

10.

S2
Рассмотрим на П1
m2
конкурирующие точки
I2
n2
М и Н (М1≡Н1), лежащие
Д2≡Е2
на прямой m и ребре CS.
На П2 видно, что точка М
расположена выше от
x
°
М2
°
II2
III2
Н2 °
À2
B2
m1
плоскости П1 (дальше от
C1 М1≡Нn1
оси), чем точка Н.
Следовательно, на П1
À1
°
видна прямая m (т.е.
плоскость)
0
C2
Д1
° III1
I1
II1
B1
°
1
Е1
S1

11.

S2
Следовательно, на П1
m2
видно, как поверхность
I2
n2
пирамиды выходит из
Д2≡Е2
плоскости
x
°
М2
°
II2
III2
Н2 °
À2
B2
0
C2
m1
C1 М1≡Нn1
À1
°
Д1
° III1
I1
II1
B1
°
1
Е1
S1

12. Пересечение прямой с поверхностью

1. Заключаем прямую во
вспомогательную плоскостьпосредник (S).
B
2. Строим сечение заданной
поверхности
S
I
вспомогательной плоскостью
(ΔI-II-III).
3. Находим точки пересечения
заданной прямой с
полученным сечением (F,E).
4. Определяем видимость
прямой по конкурирующим
точкам .
F
E
À
II
III

13. Пересечение прямой с призматической поверхностью

1. Заключаем прямую а во
вспомогательную
фронтально-проецирующую
12
плоскость-посредник α (α2≡а2).
плоскости α с заданной
22
x
Ì
Ì
Ê2 L2
поверхностью (∆ 1-2-3).
Видимость линий сечения
32
a2
2. Строим сечение
вспомогательной
2
Ê1
определяется по видимости
граней поверхности.
2
1
31
11
L1
a1
0
21

14.

3. Находим точки пересечения
заданной прямой с полученным
сечением (.) E и (.)F
4. Определяем видимость прямой.
На плоскости проекций П1 проекции
точек Е1 и F1 видимы, т.к.
принадлежат видимым граням
12
a2
F2
E2
х
22
32
поверхности. Следовательно,
прямая а до этих точек будет
видима. На плоскости проекций П2
фронтальная проекция точки Е2
видима, т.к. лежит в видимой грани
x
Ê1
ЕL, а F2 невидима, т.к. лежит в
горизонтальной проекции основания
ΔЕ1L1I1
a1
0
2
1
F1
11
L1 E1
невидимой грани ЕI (видимость
граней на П2 определяется по
Ì
Ì
Ê2 L2
21
31

15. Задача 9.4 б) стр. 47: Найти точки пересечения прямой с поверхностью. Определить видимость прямой относительно поверхности

Решение:
Представлена
поверхность
наклонного цилиндра с
основанием в виде
плоского замкнутого
контура- окружности

16.

1. Заключаем прямую n во
вспомогательную
фронтально- проецирующую
плоскость α(α2≡ n2).
2. Строим сечение заданной
цилиндрической поверхности
со вспомогательной
плоскостью α.
Сечение строим, определяя
точки пересечения
образующих цилиндра с
плоскостью α. Обязательно
используем очерковые
образующие :1 и 2- очерк
цилиндра на П2 – строим
проекции данных
образующих на плане

17.

Определяем точки
пересечения очерковых
образующих 1 и 2 с
плоскостью α → (.)А и (.)В
(на П2 - проекции А2 и В2),
строим горизонтальные
проекции этих точек А1 и В1
с учетом видимости)

18.

Образующие 3 и 4 ,
являются очерком
поверхности на П1.
Точки 3 и 4 - точки
касания очерковых
образующих окружности
основания (для
определения проекций
31 и 41 из центра
окружности О1
проводим
перпендикуляр к
очерковым
образующим) .
О1
х

19.

Строим
фронтальные
проекции
образующих 3 и 4.
Определяем
точки
пересечения С и
Д данных
образующих с
плоскостью α.
х
х

20.

Т.к. в сечении
получается эллипс,
четырех точек
недостаточно.
Дополнительно
берем произвольные
образующие 5 и 6
для уточнения линии
сечения. Задаем их
горизонтальные
проекции 51 и 61 на
П1
х

21.

• Строим фронтальные
проекции образующих 5 и 6 с
учетом видимости.
Видимость образующих на
П2 определяем по
основанию цилиндра на П1:
основание образующей (.)51
находится за диаметром,
следовательно образующая
5 на П2 невидима.
Основание образующей (.)61
находится в первой половине
окружности, следовательно
образующая 6 на П2 видима.
• Определяем точки Е и Л
пересечения образующих 5 и
6 с плоскостью α
х

22.

Соединяем найденные точки
А1-Е1-Д1-В1-Л1-С1-А1 – получим
горизонтальную проекцию
линии пересечения цилиндра
плоскостью-посредником α.
3. Находим точки пересечения
заданной прямой n с
полученным сечением –
(·) I и (·) II.
4. Определяем видимость
прямой.
На П1 проекция (·) I1 видима,
проекция (·) II1 невидима,
Следовательно видно, как
прямая входит в поверхность,
а далее она видна только изза очерка .

23.

• На П2 проекция (·) I2
видима, т.к. образующая
8, на которой лежит
точка I , находится в
видимой части
поверхности. Проекция
(·) II2 невидима, т.к.
образующая 7, на
которой она лежит,
находится в задней
части поверхности
(видимость образующих
на П2 определяем по
видимости основания
цилиндра на П1)
82
81

24. Простейшее сечение цилиндра –плоскостью, параллельной образующим цилиндра – параллелограмм.

а
в
m
Вспомогательная плоскость должна
проходить через прямую и быть
параллельной образующим
цилиндра, следовательно можно на
прямой взять точки А и В ,через них
провести прямые а и в,
параллельные образующим
цилиндра. Найти горизонтальные
следы этих прямых и построить
горизонтальный след
вспомогательной плоскости α,
проходящий через точки Н1 и Н1*.
Основание цилиндра является
горизонтальным следом
поверхности цилиндра и
пересекается с горизонтальным
следом плоскости по линии 1-2,
которая и определяет срез по
поверхности, параллельно
образующим цилиндра.
À
I
М
II
N
Â
В
M1
Н
L
2 Н1*
N
Ð?
1
Точки М и N – точки пересечения
прямой АВ с поверхностью

25.

Задача 9.4в стр.48:
Найти точки
пересечения прямой
с поверхностью.
Определить
видимость прямой
относительно
поверхности
Решение:
На прямой n возьмем
две произвольные
точки А и В

26.

1. Заключаем
прямую n во
вспомогатель
ную
плоскость,
проходящую
параллельно
образующим
цилиндра
(а‖в) через
искомую
прямую n.

27.

2. Находим горизонтальные
следы прямых а и в: Н1 и Н1* .
И, соединив найденные точки
Н1 и Н1* ,
определим след всей плоскости.
*

28.

Далее находим
пересечение
следа плоскости Н1 - Н1*
и следа поверхности
( окружность основания)линия 1-2.
Строим на П1 проекцию
среза плоскостью
по поверхности и
определяем
Проекции точек
пересечения
М1 и N1
21
11
М1
N1

29.

Строим на П2
проекции
точек пересечения
М2 и N2 .
Определяем
видимость
точек входавыхода прямой
на П2 по
видимости
образующей, на
которой лежат
эти точки

30.

Задача 9.5 б) стр.49:
Определить точки
пересечения
прямой с
поверхностью

31.

Рассмотрим решение задачи на аксонометрическом чертеже
S
А
В
П1
Простейшее сечение конуса –треугольник, полученный при
рассечении поверхности плоскостью, проходящей через вершину
поверхности.

32.

S
m
А
В
П1
Плоскость зададим пересекающимися прямыми: (АВ) и (m),
проходящей через вершину конуса « S ».

33.

S
m
Н1
А
В
Н 1*
П1
Построим горизонтальные следы прямых АВ и m→ Н1* и Н1

34.

S
m
А
В
Н1
Н 1*
П1
Построим горизонтальный след плоскости→ соединим (..) Н1* и Н1

35.

S
m
А
В
Н1
П1
1
2
Н 1*
горизонтальный след плоскости и горизонтальный след
поверхности пересекаются по линии 1-2 → построим сечение
конуса, соединив найденные (..) 1 и 2 с вершиной конуса.

36.

S
m
А
●К
Н1
П1
1
М
2
В
Н 1*
Найдем точки пересечения прямой АВ с полученным
сечением → К и М

37.

• Простейшее сечение
конуса и пирамиды –
треугольник, полученный
при рассечении
поверхности плоскостью,
проходящей через
m2
вершину поверхности.
Плоскость зададим
пересекающимися
прямыми: АВ и m,
проходящей через
вершину конуса « S ».
m1

38.

Строим горизонтальный след
S2
плоскости ( Н1-Н*1 ).
По точкам пересечения следа с
m2
основанием конуса определяем
À2
сечение ∆1-S-2
(проекция ∆11-S1-21 ).
x
Â2
Ì Н22
В2
N2
Н*
М
N1
Н*
В1
21
S1
11
À1
Ì
Н1 1
М
Â1

39.

S2
m2
À2
Находим точки
пересечения
x
I2
НМ
2Ì
2
х
II2
Â
В22
Н*
N 22
заданной прямой с
N11
Н*
полученным
Â
В11
сечением –
21
∆1-S-2 – точки ( I ) и
I1
11
( II ).
МН
Ì 11
À1
х
II1
S1

40. Определяем видимость прямой.

На П1 проекция точки I1
видима, т.к. лежит на видимой
образующей 11, следовательно
видим, как прямая вошла в
поверхность. Проекция точки II1
– невидима, т.к. лежит на
образующей 21 в нижней части
поверхности, следовательно мы
увидим прямую только из-за x
очерка поверхности
На П2 аналогично: I2 – видима,
т.к. точка лежит на образующей,
находящейся в первой половине
поверхности, а II2 –невидима,
т.к. лежит на образующей в
задней части поверхности
S2
m2
À2
Ì
I2
2
х
II2
Â2
В2
N2
N1
Â1
21
I1
11
Ì
1
À1
х
II1
В1
S1

41.

Задача 9.5 а) стр.49:
Определить точку
пересечения прямой с
поверхностью
• Решение: Если заключим
прямую в проецирующую
плоскость, то в сечении
сферы плоскостью получим
окружность, которая
отразится на другой
плоскости проекций в виде
эллипса из-за угла наклона
плоскости сечения. Но если
изменить взгляд и
посмотреть перпендикулярно
плоскости сечения, то
окружность не
деформируется.
х

42.

• Задачу решаем
методом замены
плоскостей
проекций.
• Главный элементпрямая.
Преобразуем
прямую в прямую
уровня. Плоскость
проекций П4
берем вместо П2
и располагаем
параллельно
прямой [ АВ ].
za
zo
zb
Х1,2
Х1,4
zb
° B4
zo
°
za
°
A4
O4

43.

Строим проекцию сферы
À2
ОÎ 2
на П4.
2
Заключаем прямую во
вспомогательную
горизонтально-
B2
x1 2
П2
0
П1
проецирующую плоскость α
1
Î 1
О
(α1≡ А1В1)
B1
1
Получаем сечение -
RR
окружность радиуса R.
B4
À1
Î 4
О
4
П1
x1 2
П4
R
À4

44.

À2
Строим точки пересечения заданной
Î 2
О
2
прямой с полученным сечением – точки
I2
( I ) и ( II ).
II 2
Определяем видимость прямой:
Сначала просто переносим проекции с
x1 2
B2
П2
0
П1
плоскости П4 по линиям связи на П1,
B1
потом на П2. Затем определяем
Î 1
О
1
видимость точек ( I ) и ( II ): на П1 обе
R
проекции невидимы, т.к. , если
B4
x
I1x
посмотреть на П2, то видно, что обе
точки лежат в нижней части сферы.
II 4
À1
Следовательно прямая видна только за
очерком сферы. На П2 обе проекции
I4
П1
x1 2
П4
точек I2 и II 2 видимы, т.к., если
посмотреть на П1 то видно, что они
находятся в первой половине сферы
II1
À4
Î
О
4
4