Практикум № 1. Точка, прямая, плоскость на комплексном чертеже

1. НАГЛЯДНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ИЗ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ

2. Практикум № 1. Точка, прямая, плоскость на комплексном чертеже.

Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Задача 10
Задача 11

3. Практикум № 2. Взаимное расположение геометрических элементов. Основные позиционные задачи.

Задача 12
Задача 13
Задача 14
Задача 15
Задача 16
Задача 17
Задача 18
Задача 19
Задача 20
Задача 21
Задача 22
Задача 23
Задача 24
Задача 25

4. Практикум № 3. Перепендикулярность прямых и плоскостей. Метрические задачи.

Задача 26
Задача 27
Задача 28
Задача 29
Задача 30

5. Практикум № 4. Способы преобразования комплексного чертежа.

Задача 32
Задача 33
Задача 34
Задача 35
Задача 36
Задача 37
Задача 38

6. Практикум № 5. Поверхности, их образование и задание на чертеже.

Задача 39
Задача 40
Задача 41
Задача 42

7. Практикум № 6. Позиционные задачи. Развертка поверхностей.

Задача 43
Задача 44
Задача 45
Задача 46
Задача 47

8. Практикум № 7. Позиционные задачи. Пересечение поверхностей плоскостью и прямой линией.

Задача 48
Задача 49
Задача 50
Задача 51
Задача 52
Задача 53
Задача 54
Задача 55
Задача 56
Задача 57
Задача 58

9. Практикум № 8. Взаимное пересечение поверхностей.

Задача 59
Задача 60
Задача 61
Задача 62
Задача 63
Задача 64

10. Практикум № 9. Особые случаи пересечения поверхностей.

Задача 65
Задача 66
Задача 67
Задача 68

11.

Z
П2
C
C2
-Y
A1
B
Ax
B
X
2
B Dx D2
A2
0
1
Cx
x
A
C
П
B
1
1
D D
1
Y
-Z
A(73, наглядное
-38,и-18)
– 3-ий
Измерим
Имея
запишем
изображение
координаты
точек,
точек
измерить
по осямиX,запис
Yи
октант
построить
комплексный чертеж.
В(54, 24, 8) – 1-ый
октант

12.

C3 C2
A1
y
C1
B2
X
Ax
Z(Y)
C
Bx
D3 D
Dx D 2
Ay
A2
B3
By
Cx
A
B1
3
D1
Y(Z)
Теперь
отложим
координаты
точкиточками
Аотложим
по
Построим
точу
А,
для
этого
Так
Далее
же мы
найдем
поступим
точки
сА3
остальными
и Аy сначала
осям Y и Z и по
назовем
координату
оси Х их
и
A1 и A2 соответственно
Назовем
ее Ax
Yy

13.

Z
П2
Z
B2
B B2
B3
A3
A2
П3
A
E3
E2
C2
X
B1
A1
0 D3 C3
D1 D2 Y
X
E1
E
Ax
C2
A1
D 0
E1
B1
C C1
П1
C1
Y
Y
Построим
третьи
проекции
точек
на
По
Построим
двум
точек
точек,
третьи
не забывая
проекци
п
Для
построения
наглядного
изображения
запишем
А(46,
16,проекциям
41)наглядное
В(33,
0,изображение
55) построить
С(22,
20,
0)
D(8,
0,
0) коо
E(
примере задания
1
изображение
искажения
поиоси
записать
Y
координаты точек

14.

Z(Y)
B1
X
A2
A3
D3
B2 D2
B3
C2
D1
A1 C1
Y
C3
Y(X)
Построить
комплексный
чертеж
точки
А
15) и В
(6
Так
как точка
С симметрична
точке
А относительно
П1
Построим
комплексный
чертеж
точек
А (30,
и В 25,
согласно
за
проекции
точки
симметричной
точкеу А
относительно
точки С (30,
25, С,
-15),
соответственно
точки
D,симметр
симметричной
В относительно
относительноточке
П2 координаты
будут П2.
D(60, 15, -10)

15.

Z
П2
П3
A2
A3
0
X
A1
Укажем плоскости на чертеже
П1
Построить проекции точки А,
Используя
пространственное
отстоящей
от плоскости П1
Y
воображение
на
расстоянииприходим
30 мм, отк выводу,
что
точка А
координаты
плоскости
П2имеет
на расстоянии
20 мм
А(0,
20, 30) в плоскости П3 .
и лежащей
Записать координаты этой точки.
Y

16.

A A2
Построить проекции
Z точки В, симметричной точке А относительно плоскости П1
0
X
A1 B1
III
B B2
Y
Y

17.

Построить комплексный чертеж прямой АВ по координатам
двух ее точек А (40, 20, 10), В (0, 25, 30).Построить
наглядное изображение.
Z
Z
B2
B3
B
A2
A3
0
X
X
A
0
A1
A1
B1
Y
B1
Y

18.

Построить комплексный чертеж треугольника АВС по
координатам его вершин А (0, 20, 10), В (45, 30, 10).
Построить наглядное изображение треугольника АВС.
Z
Z
C2
C
A2
0
B2
X
C1
X
0 A
B
B1
C1
A1
A1
B1
Y
Y

19.

Построить следы прямой a и указать октанты, через
Которые она проходит.
Z
F2 F
VI
a1
II
H2
Y
X
IV
F1
I
a1
H H1
Прямая проходит через 4, 1
, 2 , 6-ой
октанты.
Y

20.

Построить следы прямой b и указать
октаны, через которые она проходит.
Z
b2
II
III
X
H H1
F F2
H2
F1
V
I
0
b1
Прямая проходит через 3, 2,
1 , 5-ой
октанты.
Y
Y

21. 10. Построить фронтальный след плоскости ABC. Выделить цветным карандашом след, находящийся в 1-ом октанте и обозначить точку

пересечения
с осью X
B2
C2
P2
A2
f0≡f02
Sx
K1
f01
P1
K2
A1
C1
B1

22. 11. Построить горизонтальный след плоскости Σ (a ∩ b).

a2
C2
b2
x
h02
K2
S2
a1
b1
K1≡K
C1
h0≡h01
S1≡S

23. 12. Определить координаты точки приземления B парашютиста, если скорость снижения – вектор AB, скорость относа его ветром –

вектор AC.
A2
Z
C2
B2
D2≡Dx
X
O
Y
D1≡D
Dy
C1
Y
A1≡B1
D (44, 15, 0)

24.

a2
C2
M2 K
2
b2
D2
X
K1
D1
b1
M1
C1
a1
Найдем
Определить
проекцию
положение
точки
С
(a b)
относитель
Соединив
точки
С1
и К2
М1плоскости
спрямой
прямой
b1 пол
Соединим
точки
С2
и
ина
напересечении
полученной
найдем
проекций.
на
прямой
a1
недостающие
проекции точек С и М из
найдем
ееНайти
проекцию
на b2
принадлежности плоскости

25.

f0
f 20
f2
E2
K2
12
Sx
11
h2
h2
22
K1
f 10
0
E1
f1
21
h1
h 0 h1
0
Согласно
условию
проведем
через
К горизонталь,
Определить
Найдем проекции
недостающие
точек
КиЕ
проекции
на h1 точку
и f2точек
соответственно.
К и Е из условч
плоскости (h0 f0). Через точку К провести горизонталь,
точку Е – фронталь.

26.

f0
12
B2
h2
C2
h2’
22
Sx
f 20
D2
11
21
C1
h20
f 10
B1
h1
D1
h0
h1’
h10
Найдем
Достроить
Проведем
Соединим
проекцию
горизонталь
получившиеся
горизонтальную
точкичерез
С.
точки.
Проведем
проекцию
точку D2
горизонталь
итреугольника
найдем еечерез
прое
B
Треугольник
проекцию
точки
BCDВпринадлежит
на h1
(h0 f0).

27. 20. Определить взаимное положение прямой l и плоскости Г(a ∩ b).

a2
l2
12
K2
22
b2
a1
11
K1
l1
21
b1

28. 21. Определить взаимное положение прямой l и плоскости Г(f0 ∩ h0).

l2
12
f0 ≡
f20
K2
11
Sx
22
K1
l1
h0 ≡ h10
21
h20 ≡

29. Определить взаимное положени плоскостей DABC и DDEF, видимость

B2
E2
A2
Задача 23
F2
C2
C1
D2
F1
E1
B1
A1
D1

30.

B2
E2
A2
Задача 23
F2
C2
C1
D2
F1
E1
B1
A1
D1
•Даны две плоскости произвольного положения.
•Надо определить, как эти плоскости расположены друг относительно друга, т.е. найти
линию их пересечения.

31.

B2
E2
A2
Задача 23
F2
C2
C1
D2
F1
E1
B1
A1
D1
•Можно сказать, что плоскость DEFD задана двумя пересекающимися прямыми EF и ED.
•Поэтому, найдя точки пересечения прямых EF и ED с плоскостью DABC, мы найдём
линию пересечения этих треугольников.

32.

B2
E2
Задача 23
n2
A2
F2
C2
C1
D2
F1
E1
B1
A1
D1
Для того чтобы найти точку пересечения EF с DABC, надо взять прямую n, лежащую
в плоскости DABC, проекция n2 которой совпадает с E2F2.

33.

B2
E2
n2
Задача 23
12
22
A2
F2
C2
D2
C1
F1
E1
21
A1
11
n1
Затем спроецируем n2 в π1.
D1
B1

34.

B2
E2
n2
Задача 23
12
22
A2
32
F2
C2
D2
C1
31
F1
E1
21
A1
11
n1
B1
D1
Точка пересечения n1 и E1F1 (точка 3) будет искомой точкой пересечения EF c
плоскостью ABC π1.
Спроецируем её в π2.

35.

l2
B2
E2
n2
Задача 23
12
22
A2
42
62
32
F2
52
C2
C1
E1
D2
31
51
61
21
B1
41
A1
l1
11
n1
D1
Точно так же ищем точку пересечения ED с плоскостью ABC.
F1

36.

l2
B2
E2
n2
Задача 23
12
22
A2
42
62
32
F2
52
C2
C1
E1
D2
31
51
61
21
F1
B1
41
A1
l1
11
n1
D1
Соединив эти точки, получим линию пересечения плоскостей треугольников.
Но т.к. это конкретные треугольники, то линия пересечения будет заканчиваться на
границе треугольников.

37.

B2
E2
32
A2
Задача 23
42
12 22
52 62
72
F2
82
C2
C1
D2
F1
E1
B1
A1
D1
•Следующий этап - определение видимости. Для этого надо воспользоваться
конкурирующими точками. В данном случае это пары точек 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8.

38.

B2
E2
32
A2
Задача 23
42
12 22
52 62
72
F2
82
C2
C1
D2
F1
E1
21
A1
11
B1
D1
•Рассмотрим пару точек 1 и 2. Точка 1 лежит на АВ, а 2 - на EF. Т.к. эти точки
конкурируют в π2, то видимость будет определяться по координате y в π1. Т.к. y11 > y21, то
в π2 будет видна точка 1, а значит и прямая АВ, на которой лежит эта точка.

39.

B2
E2
32
A2
Задача 23
42
12 22
52 62
72
F2
82
C2
C1
D2
F1
E1
B1
A1
D1
•Аналогично видимость определяется и для других пар конкурирующих точек.

40.

B2
E2
A2
Задача 23
F2
C2
C1
E1 3 1 4 1
11
D2
F1
51 61
21
A1
71
111
121
81
B1
91 101
D1
•Теперь определим видимость в π1.
• Для этого надо воспользоваться конкурирующими точками. В данном случае это пары
точек 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8, 9 и 10, 11 и 12.

41.

B2
E2
Задача 23
22
A2
F2
12
C2
C1
E1 3 1 4 1
11
A1
D2
F1
51 61
21
71
111
121
81
B1
91 101
D1
•Рассмотрим пару точек 1 и 2. Точка 1 лежит на АС, а 2 - на ED. Т.к. эти точки
конкурируют в π1, то видимость будет определяться по координате z в π2. Т.к. z22 > z12, то
в π1 будет видна точка 2, а значит и прямая ED, на которой лежит эта точка.

42.

B2
E2
A2
Задача 23
F2
C2
D2
C1
51 61
E1 3 1 4 1
11
A1
F1
21
71
111
121
81
B1
91 101
D1
•Аналогично видимость определяется и для других пар конкурирующих точек.
Конец

43. Определить взаимное положение плоскостей DABC и DDEF

Определить взаимное положение плоскостей
Задача 24
DABC и DDEF E
B
2
2
F2
A2
C2
D2
E1
C1
F1
A1
B1
D1

44.

Задача 24
B2
E2
F2
A2
C2
D2
E1
C1
F1
A1
B1
D1
•В данном случае плоскости заданы треугольниками. Это плоскости
общего положения.
•Если найти хотя бы две общие точки этих плоскостей, то можно будет
найти и линию их пересечения.

45.

Задача 24
B2
E2
F2
A2
C2
D2
E1
C1
F1
A1
21
f1 1
1
B1
f`1
31
41
D1
Для того чтобы найти точку пересечения плоскостей DABC и DDEF,
надо построить пару фронталей f и f`, лежащих соответственно в
плоскости DABC и DDEF.

46.

Задача 24
B2
f2
М2
E2
22
12
F2
A2
C2
32
f`2
42
D2
E1
C1
F1
A1
M1
21
f1 1
1
B1
Спроецируем фронтали в π2.
Точка их пересечения и даст искомую точку.
f`1
D1
31
41

47.

Задача 24
B2
f2
М2
E2
72
22
12
A2
f``2
C2
32
f`2
42
D2
E1
C1
f``1
51
A1
M1
f```1
61
21
f1 1
1
B1
f```2
F2
N2
62
52
82
N1
F1
81
71
f`1
31
D1
С помощью другой пары фронталей f`` и f``` аналогично находим
вторую точку пересечения плоскостей DABC и DDEF.
41

48.

Задача 24
B2
f2
М2
E2
72
22
12
A2
f``2
C2
32
f`2
42
D2
E1
C1
f``1
51
A1
M1
f```1
61
N1
21
f1 1
1
F1
81
71
f`1
31
41
D1
B1
Соединив эти точки, получим линию пересечения плоскостей DABC и
DDEF.
Конец
f```2
F2
N2
62
52
82

49.

№26 Из точек А, В, С опустить перпендикуляры на соответствующие им на эпюрах прямые уровня.

50.

№26
1.Проведем из горизонтальной проекции т.А горизонтальную проекцию
перпендикуляра к горизонтальной проекции прямой h
2.Проведем из фронтальной проекции т.В фронтальную проекцию
перпендикуляра к фронтальной проекции прямой f
3.Для 3-й прямой найдем её проекцию в плоскости П3.

51.

№26
1.Найдем фронтальную проекцию основания перпендикуляра.
2.Найдем горизонтальную проекцию основания перпендикуляра
3.Найдём 13 и 23.

52.

№26
1.Соединяем получившиеся точки с точками А2 и В2.
2.Найдем проекцию т.С в плоскости П3, и из С3 опустим перпедикуляр на прямую 13 23.

53.

№26
3.Найдем фронтальную и горизонтальную проекции т.3

54.

№26
7.Соединяем получившиеся точки с точками С1 и С2,получаем
изображение перпендикуляра в плоскостях П1 и П2.

55.

№27 Провести перпендикуляр к плоскости из т.D принадлежащей АВС.

56.

№27
1.Проведем прямую через А1 и D1 . Точку пересечения с В1С1
обозначим 21 и найдем фронтальную проекцию этой прямой

57.

№27
2.Найдем фронтальную проекцию т.D

58.

№27
3.Проведем горизонтальную и фронтальную проекции горизонтали и фронтали.

59.

№27
4.Опустим перпендикуляр из D1 на горизонтальную проекцию
горизонтали, а из D2-на фронтальную проекцию фронтали.

60.

№27
5.Определяем видимость.

61.

№28
Опустить перпендикуляр из т.А На плоскость заданной
следами,определить точку пересечения перпендикуляра
и этой плоскости.

62.

№28
1.Возьмём плоскость проходящую через точку А и
перпендикулярная плоскости f=f2 до пересечения с плоскостью
Sx.

63.

№28
2.Далее находим след этой прямой,опустив перпендикуляры из
точек пересечения плоскостей, затем соединяем их.

64.

№28
3.Опускаем перпендикуляр из точки А1 на h=h1,продолжая его до
пересечения с проекцией прямой А2 12.

65.

№28
4.Из получившейся точки опустить перпендикуляр на прямую
А212,получаем точку пересечения плоскости и перпендикуляра.

66.

№29 Через прямую АВ провести плоскость перпендикулярную
плоскости F(a || b).

67.

№29
1.Проводим горизонталь в плоскости П2.

68.

№29
2.Опускаем перпендикуляры из точек пересечения горизонтальной проекции с прямыми a2 и b2.Нашли фронтальную проекцию
горизонтали.

69.

№29
3.Берём произвольную точку фронтальной проекции, находим
проекцию на прямой А1В1.

70.

№29
4.Опускаем перпендикуляр.

71.

№29
5.Из полученной точки опускаем перпендикуляр на прямую а2,
получаем плоскость перпендикулярную плоскости Ф(a b).

72.

№30
Изобразить направление движения шара, скатывающегося
с наклонного щита ВDСЕ, и определить угол наклона
щита к горизонту.А-точка касания шара со щитом.

73.

№30
1.Опускаем перпендикуляры из точки касания шара.

74.

№30
2.Из точки 11 проводим перпендикуляр к плоскости П2.

75.

№30
3.Полученную точку соединяем с точкой касания шара.

76.

№30
4.Откладываем на стороне Е1D1 расстояние равное Z,т.к. Z- высота на которой находится шар.

77.

Определение натуральной величины
прямых AS и BS и угла наклона между ними.
S2
B2
A2
X
Задача решается способом
замены плоскостей.
Для того, чтобы определить
натуральную величину
A1
прямых AS и BS необходимо
ввести дополнительную
плоскость проекции.
Переведем прямые AS и BS
из общего положения в прямые уровня.
B1 ≡ S1

78.

Чтобы прямые стали прямыми уровня
вводим дополнительную плоскость
проекции П4 : X1 ║ A1B1S1
S2
B2
A2
X
B1 ≡ S1
A1
П1
X1
П4

79.

Из точек A1 и B1 проводим линии связи
S2
B2
A2
X
B1 ≡ S1
A1
П1
X1
П4

80.

Спроецируем точки A,B,S,
в плоскость П4
S2
hS
B2
hB
A2
X
B1 ≡ S1
A1
hB
П1
X1
B4
hS
A4
П4
S4

81.

Соединяем точки A4 с S4 и B4 с S4.
Угол, между прямыми A4S4 и B4S4 – искомый.
S2
hS
B2
hB
A2
X
B1 ≡ S1
A1
hB
П1
П4
B4
hS
A4
α
S4

82. Определение расстояния от точки D до ΔABC и угла наклона ΔABC к П1.

D2
B2
A2
C2
X
C1
D1
A1
B1
Задача решается способом
замены плоскостей.
Чтобы определить расстояние
от точки D до ΔABC необходимо
построить вырожденную проекцию
ΔABC на плоскость П4,
спроецировать туда же точку D.
Искомое расстояние определяется
длиной ┴ от точки D до A4B4C4.

83.

Нужно построить горизонталь h
ΔABC, чтобы в дальнейшем
построить дополнительную
плоскость проекции П4: X1 ┴ h1,
X1 ┴ П4
B2
D2
12
A2
h2 Строим фронтальную проекцию
горизонтали h2
C2
X
C1
D1
11
A1
B1
h1
Строим горизонтальную проекцию
горизонтали h1

84.

Вводим дополнительную плоскость
проекции П4 : X1 ┴ h1, X1 ┴ П4
D2
B2
12
A2
h2
C2
X
C1
D1
11
B1
h1
П1 П
4
X1

85.

Из точек B 1,C1, D1 проводим линии связи
D2
B2
12
A2
h2
C2
X
C1
D1
11
B1
h1
П1 П
4
X1

86.

Спроецируем точку C
в плоскость П4
D2
B2
12
A2
h2
C2
По аналогии с точкой С, спроецируем
в плоскость П4 точки A,B,D.
hC
X
C1
D1
11
hC
C4
D4
h1
A4
B1
П1 П
4
X1
B4

87.

D2
Проводим прямую, соединяющую точки A4, B4 , C4
до пересечения с X1.
A4B4C4 – вырожденная проекция ΔABC
B2
12
A2
A4B4C4 ∩ X1 = α
h2
Из точки D4 опускаем
перпендикуляр на A4B4C4
и получаем точку K4
C2
X
C1
D1
11
α
C4
D4
h1
A4
K4
B1
П1 П
4
X1
B4

88.

Из точки D4 проводим линию
связи
D2
B2
12
A2
Из точки D1 проводим
прямую, параллельную оси
X1, т.к. прямая DK является
фронталью, ее проекция на
П4 проецируется без
искажения.
h2
K2
hK
C2
Спроецируем точку K1
в плоскость П2
X
C1
D1
11
K1
α
C4
D4
h1
A4
hK
B1
П1 П
4
X1
K4
B4

89.

DK – искомое расстояние
D2
B2
12
A2
h2
K2
C2
X
C1
D1
11
K1
α
C4
D4
h1
A4
K4
B1
П1 П
4
X1
B4

90.

Определение угла наклона между двумя
пересекающимися прямыми AB и BC.
B2
Задача решается способом A2
замены плоскостей.
Плоскость ABC находится
X
в общем положении.
Чтобы определить угол
необходимо найти
натуральную величину AB и BC.
Для этого введем дополнительную
плоскость проекции П4,
т. е. переводим плоскость
ABC в плоскость уровня. A1
Проекция ABC получится
вырожденной.
Для того чтобы найти угол нужно
ввести дополнительную
плоскость П5.
C2
C1
B1

91.

B2
h2
12
Нужно построить горизонталь,
чтобы в дальнейшем ввести
дополнительную плоскость проекции П4
Проводим фронтальную проекцию
горизонтали h2 через точку C2
C2
A2
Строим горизонтальную проекцию
горизонтали h1
X
C1
A1
h1
11
B1

92.

B2
h2
Вводим дополнительную плоскость
проекции П4 : X1 ┴ h1, X1 ┴ П1.
12
C2
A2
X
C1
A1
h1
11
B1
П 1 П4
X1

93.

Из точек B 1,C1, A1 проводим линии связи.
Спроецируем точку B
в плоскость П4
B2
h2
По аналогии с точкой B, спроецируем
в плоскость П4 точки A,C.
C2
12
A2
X
A4
C4
C1
A1
h1
11
B1
П 1 П4
X1
B4

94.

Соединяем точки A4, B4, и C4.
A4B4C4 – вырожденная проекция.
B2
h2
Для того, чтобы найти угол нужно
ввести дополнительную плоскость
12
проекции П5 : X2 ║ A4B4C4
C2
A2
X
П5
A4
C4
C1
A1
h1
B1
П 1 П4
X1
B4
П4
X2

95.

A5
B2
h2
α
B5
12
C2
A2
C5
X
Из точек B 4,C4, A4 проводим линии связи
C4
C1
Спроецируем точку B
в плоскость П5
A1
h1
11
По аналогии с точкой B, спроецируем
в плоскость П4 точки A,C.
B1
П5
A4
П 1 П4
X1
B4
П4
X2

96. Определение кратчайшего расстояния между траекториями полета двух самолетов.

a2
X
b2
b1
a1
Задача решается способом замены плоскостей.
Кратчайшее расстояние между двумя
прямыми - это длина взаимного перпендикуляра.
Одна из прямых переводится в положение уровня.
Эта же прямая переводится на плоскость П5
в проецирующее положение.
Вторая прямая переводится на плоскость П4,
затем на П5 в общем положении по закону проекционной связи
На плоскости П5 определяется искомое расстояние.

97.

На прямых a и b произвольно отметим точки
Спроецируем эти точки в плоскость П1
Чтобы перевести прямую
в положение уровня нужно
ввести дополнительную плоскость
проекции П4 : X1 ║ a1
A2
a2
X
a1
A1
A′2
B′2
B2
B′1
B1
b2
b1
A′1
П1
П4
X1

98.

Через точки A1, A′1, B1, B′1 проведем линии связи.
Спроецируем точку A′ в плоскость П4
По аналогии с точкой A′, спроецируем
в плоскость П4 точки A,B′,B
A′2
B′2
A2
b2
B2
a2
X
a1
B′1
A1
A4
b1
B1
A′1
П1
B4
h A′
B′4
h A′
A′4
П4
X1

99.

Соединим точки A4 и A′4; B4 и B′4
Вводим дополнительную плоскость
проекции П5 : X2 ┴ A4A′4,
чтобы перевести прямую
в проецирующее положение.
A′2
B′2
A2
b2
B2
a2
X
a1
B′1
A1
A4
B1
A′1
П1
B4
B′4
П5
П4
X2
b1
П4
A′4
X1

100.

Из точек B4, B′4, A4 проводим линии связи.
Прямая a становится проецирующей
линией относительно плоскости П5 ;
все ее точки (вся прямая) проецируются
на плоскость П5 в виде одной точки A5 ≡ A′5 ≡ 15
A′2
B′2
Спроецируем точки B и B′
A2
b2
B2
a2
X
B5
B′5
A5 ≡ A′5 ≡ 15
a1
B′1
A1
A4
B1
A′1
П1
B4
B′4
П5
П4
X2
b1
П4
A′4
X1

101.

Соединяем точки B5 и B′5
Из точки 15 проводим перпендикуляр к прямой b
A′2
B′2
A2
b2
B2
a2
X
B5
25
B′5
A5 ≡ A′5 ≡ 15
a1
B′1
A1
A4
B1
A′1
П1
B4
B′4
П5
П4
X2
b1
П4
A′4
X1

102.

Из точки 25 проводим линию связи
до пересечения с прямой b.
Из точки 25 опускаем перпендикуляр на прямую a.
Точки 15 и 25 спроецируем в П1, а затем в П2
B′2
A2
X
B5
25
B′5
A5 ≡ A′5 ≡ 15
b2
B2
21
a1
b1
B1
A1
11
A4
14
B′4
П5
П4
X2
22
12
a2
A′2
24
A′1
П1
B4
П4
A′4
X1

103.

РАБОТА №37
На прямой l определить точку
М, удаленную от плоскости ∑
(h0 f0 ) на расстоянии 20 мм и
определить угол наклона ∑ к П1
далее

104.

12
l2
32
РАБОТА №37
f0 = f2 0
М2
22
h20 = f10
x
11
21
М1
l1
31
24
14
20
мм
h0 = h10
П1
М4
П4
34

105.

РАБОТА №38
Изобразить направление
напряженности магнитного поля в
точке С при движении по проводнику
электрического тока от А к В
далее

106.

П2
РАБОТА №38
П4
C4
C2
B2
x А2
А1
B1
C2
А4 =B4

107. Задача № 39

ЗАДАНИЕ Построить проекции трехгранной
пирамиды SABC с основанием ΔABC и высотой
SA=40 мм.
ДАНО
B2
C2
A2
x
C1
A1
B1
Меню

108.

№39
1) Строим фронтальную проекцию
горизонтали h2, плоскости ABC. Находим точку
её пересечения с ребром A2B2.
B2
h2
12
C2
A2
x
C1
A1
B1
Меню

109.

№39
2) Строим горизонтальную проекцию
горизонтали h1.
Находим точку 11,
пересечения h1 со стороной A1B1.
B2
h2
12
C22
A2
x
C1
A1
h1
B11
Меню

110.

3) Введем дополнительную
плоскость
проекции П4,
перпендикулярную горизонтали h и
плоскости проекции П1.
№39
B2
h2
12
C22
A2
x
x1
C1
A1
h1
П4 П 1
B11
Меню

111.

B2
№39
h2 на12П4.
4) Спроецируем ΔABC
A2
C22
ZB
x
x1
C1
A1
A1
A4
B11
h1 C4
B4
ZB
П4 П1
Меню

112.

№39
5) Построим AS12
h2
перпендикуляр к
плоскости ΔABC. В
A2
проекции на П4
A4S4=40мм и
перпендикулярен x
x1
B4A4.
40м
A1
м
S
A1
4
A4
h1 C4
B2
C22
C1
B11
П4 П1
B4
Меню

113.

№39
6) Строим S1. Во12
h2
первых, S1S4
перпендикулярен x1.
A2
Во-вторых, S1A1
параллелен x1. x1
Значит S1 лежит наSx1
x1.
S
B2
C22
x
C1
AA11
4
A4
h1 C4
B11
П4 П1
B4
Меню

114.

S2
№39
7) Строим S2.
Проведем
zs
соединительную
A2
линию из S1.
x1
Zs=S1S4.
zs
S1
B2
C2
x
C1
S
A1
4
A4
C4
B1
П4 П1
B4
Меню

115.

№39
8) Определяем
видимость ребер
пирамиды. По
правилу
конкурирующих
точек, ребро S2C2
невидимо, так как
y1>y2 , ребро A1C1
невидимо , так как
z3>z4.
32
S2
B2
12=22
A2
C2
42
x
S1
21
A1
31=
41 11
C1
B1
Меню

116.

№39
Ответ.
B2
S2
C2
A2
x
S1
C1
A1
B1
Меню

117. Задача № 40.

ЗАДАНИЕ
Построить
фронтальный очерк поверхности косой
плоскости, заданной направляющими d и
d’ и плоскостью параллелизма П2
d2
d’2
ДАНО
x
d1
d’1
Меню

118.

№40
1) Построим фронтальные проекции
фронталей f1, f’1, f”1.. Они параллельны, так как
плоскость проекции П2- является плоскостью
параллелизма.
d’2
d2
x
A1
f1 A’
1f’
B’1 1 f’’1
C’
B1
C
D1
1
1
D’
E
1
d1
E’
1
1
d’1
Меню

119.

№40
2)Строим фронтальные проекции
фронталей..
A’
2
d2 E
2
D2
E’
C
2
x
C
D1
2
B2 A2
A1
d1
1
f1 A’
1 f’
B’11 f’’1
C’
B1
1
1
D’
E
1
B’2
C’ d’2
2D’
E’
1
1
d’1
Меню

120.

№40
ОТВЕТ..
d’2
d2
x
d1
d’1
Меню

121. Задача 41

122.

Задача 41
Условия задачи:
Построить фронтальный очерк поверхности вращения заданной осью i и образующей q.
i2
q2
x
q1
i1

123.

Задача 41
Возьмем проекции точек 12,22,42,52 на q2. По принадлежности найдем проекции точек на
П1
i2
12
22
42
52
q2
x
51
i1
41
11
21
q1

124.

Задача 41
Проекцию точки 31 возьмем в точке пересечения перпендикуляра к q1 проведенного через
i1 и q1 . По принадлежности найдем 32.
i2
12
22
32
42
52
q2
x
51
i1
41
31
11
21
q1

125.

Задача 41
Через проекции точек 11,21,31,41,51 на П1 проводим окружности
i2
12
22
32
42
52
q2
x
51
i1
41
31
11
21
q1

126.

Задача 41
Через проекцию i1 проведем фронталь
i2
12
22
32
42
52
q2
x
51
i1
41
31
11
21
q1

127.

Задача 41
На П2 проекции этих окружностей будут выглядеть отрезками параллельными П1. Поэтому
начертим прямые горизонтального уровня на которых будут лежать эти окружности.
i2
12
22
32
42
52
q2
x
51
i1
41
31
11
21
q1

128.

Задача 41
Измеряем радиусы окружностей на П1 и отмечаем эти радиусы на проециях окружностей в
П2 (ставим засечки).
i2
12
22
32
42
52
q2
x
51
i1
41
31
11
21
q1

129.

Задача 41
Аппроксимируем получившиеся засечки и ограничиваем плоскость.
i2
12
22
32
42
52
q2
x
51
i1
41
31
11
21
q1

130.

Задача 41
Результат решения
Стираем линии построения. В результате получается поверхность вращения гиперболоид
i2
q2
x
q1
i1
Зад. 42 Главное меню

131. Задача 42

132.

Задача 42
Условия задачи:
Построить фронтальный очерк поверхности вращения, заданной осью i,
образующей АВ и шагом Р.
i2
B2
Х
А2
А1
i1≡B1

133.

Задача 42
Разделим расстояние Р на 8 частей – уровней.
i2
B2
Х
А2
А1
i1≡B1

134.

Задача 42
Проекции точки В на П2 уже обозначены(здесь B2` положение на последнем
уровне.
B2’
i2
B2
Х
А2
А1
i1≡B1

135.

Задача 42
Построим проекции очки А в П1 на каждом уровне. Для этого:
В П2 проведем через проекции точки В горизонтали на которых будут лежать проекции
точки А
B2’
i2
B2
Х
А2
А1
i1≡B1

136.

Задача 42
В П1 разделим окружность на 8 частей и обозначим положения точки А на
каждом уровне цифрами.
B2’
i2
B2
Х
А2
3
2
4
i1≡B1
А1
5
1
6
8
7

137.

Задача 42
Проводим вспомогательные линии из положений 2,4,6,8.
B2’
i2
B2
Х
А2
3
2
4
i1≡B1
А1
5
1
6
8
7

138.

Задача 42
Отмечаем положение точки А на каждом уровне в плоскости П2. Здесь А2`
положение проекции на последнем уровне
B2’
А2’
i2
B2
Х
А2
3
2
4
i1≡B1
А1
5
1
6
8
7

139.

Задача 42
Чертим проекции прямой АВ на П2 т.е. соединяем А2 и В2 на каждом из
восьми уровней.
B2’
А2’
i2
B2
Х
А2
3
2
4
i1≡B1
А1
5
1
6
8
7

140.

Задача 42
Аппроксимируем проекции точек А2 – А2`
B2’
А2’
i2
B2
Х
А2
3
2
4
i1≡B1
А1
5
1
6
8
7

141.

Задача 42
Соединяем точки В2 и В2’
B2’
А2’
i2
B2
Х
А2
3
2
4
i1≡B1
А1
5
1
6
8
7

142.

Задача 42
Результат решения
Получилась такая поверхность вращения:
B2’
А2’
i2
B2
Х
А2
3
2
4
i1≡B1
А1
5
1
6
8
7
Зад. 43 Главное меню

143. Задача 43

144.

Задача 43
Условия задачи:
Построить недостающие проекции точек, принадлежащих поверхности
трехгранной пирамиды.
S2
S3
12
22
X
A2
A1
B2
C2
S1
C1
41
31
B1
A3 ≡
C3
B3

145.

Задача 43
Точка 1 лежит на ребре SA. Поэтому сначала по принадлежности находим
проекцию 11,
S2
S3
12
22
X
A2
A1
B2
11
C2
S1
C1
41
31
B1
A3 ≡
C3
B3

146.

Задача 43
Затем проекцию 13 точки 1
S3
12
13
22
X
A2
A1
B2
11
C2
S1
C1
41
31
B1
A3 ≡
C3
B3

147.

Задача 43
Точка 2 лежит в грани ABS. Чтобы найти недостающие проекции точки
проведем через неё в грани ABS линию MN параллельную АВ.
S2
S3
12
22
M2
X
A2
A1
11
13
N2
B2
C2
S1
C1
41
31
B1
A3 ≡
C3
B3

148.

Задача 43
По принадлежности найдем M1
S2
S3
12
M2
X
A2
A1 M1 11
22
13
N2
B2
C2
S1
C1
41
31
B1
A3 ≡
C3
B3

149.

Задача 43
Параллельно А1В1 проводим M1N1
S2
S3
12
M2
X
A2
A1 M1 11
22
13
N2
B2
C2
S1
C1
41
31
N1
B1
A3 ≡
C3
B3

150.

Задача 43
На M1N1по принадлежности находим 21
S2
S3
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
S1
A1 M1 11
C1
41
21
31
N1
B1
A3 ≡
C3
B3

151.

Задача 43
Чтобы найти 23 проведем через проекцию точки 22 линию P2Q2║S2B2
S2
S3
P2
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
41
21
31
N1
B1
A3 ≡
C3
B3

152.

Задача 43
Найдем P3Q3 . Для этого: 1)по принадлежности найдем P3
S2
S3
P2
P3
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
41
21
31
N1
B1
A3 ≡
C3
B3

153.

Задача 43
2)параллельно S3B3 прочертим P3Q3
S2
S3
P2
P3
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
41
21
31
N1
B1
A3 ≡
C3
Q3
B3

154.

Задача 43
Теперь по принадлежности находим проекцию 23 .
S2
S3
P2
P3
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
41
21
31
N1
B1
23
A3 ≡
C3
Q3
B3

155.

Задача 43
Точка 31 лежит на ребре SB. Чтобы найти 32 в грани SBC проведем через
точку 3 линию параллельную ВС . Назовем её l .
S2
S3
P2
P3
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
l1
41
21
31
N1
B1
23
A3 ≡
C3
Q3
B3

156.

Задача 43
Найдем проекцию l2 этой линии на П2
S2
S3
P2
P3
l2
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
l1
41
21
31
N1
B1
23
A3 ≡
C3
Q3
B3

157.

Задача 43
32 будет лежать в точке пересечения l2 с S2B2
S2
S3
P2
P3
l2
32
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
l1
41
21
31
N1
B1
23
A3 ≡
C3
Q3
B3

158.

Задача 43
Проекцию 33 можно найти по принадлежности. Для этого проведем через 32
соединительную линию на П3
S2
S3
P2
P3
l2
32
12
M2
X
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
l1
41
21
31
N1
B1
23
A3 ≡
C3
Q3
B3

159.

Задача 43
В точке пересечения с S3B3 ставим проекцию 33
S2
S3
P2
P3
l2
32
12
M2
X
33
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
l1
41
21
31
N1
B1
23
A3 ≡
C3
Q3
B3

160.

Задача 43
Точка 4 лежит на ребре ВС. Поэтому, чтобы найти 42 проводим
соединительную линию в плоскость П2
S2
S3
P2
P3
l2
32
12
M2
X
33
22
A2
13
N2
B2
C2
Q2
S1
A1 M1 11
C1
l1
41
21
31
N1
B1
23
A3 ≡
C3
Q3
B3

161.

Задача 43
На А2С2 ставим проекцию 42
S2
S3
P2
P3
l2
32
12
M2
X
33
22
A2
13
N2
B2
C2
42
Q2
S1
A1 M1 11
C1
l1
41
21
31
N1
B1
23
A3 ≡
C3
Q3
B3

162.

Задача 43
Через 42 проводим линию 42F2 параллельную S2B2
S2
S3
P2
P3
l2
32
12
M2
X
22
A2
N2
B2
2
13
S1
C1
l1
41
21
31
N1
B1
23
C2
42
Q2
A1 M1 11
33
F
A3 ≡
C3
Q3
B3

163.

Задача 43
По принадлежности находим проекцию F3 на П3 , и чертим через F3 линию
параллельно S3B3
S2
S3
P2
P3
l2
32
12
M2
X
22
A2
N2
B2
F
2
13
C1
l1
41
21
31
N1
B1
3
23
C2
S1
A1 M1 11
F
42
Q2
33
A3 ≡
C3
Q3
B3

164.

Задача 43
Точка 4 лежит на ребре ВС. Поэтому проекция 43 в точке пересечения
А3В3 и линии проходящей через F3║S3B3. Проекция будет невидимой
потому что на П3 В3С3 лежит за А3В3
S2
S3
P2
P3
l2
32
12
M2
X
22
A2
N2
B2
F
2
13
3
23
C2
S1
A1 M1 11
F
42
Q2
33
C1
A3 ≡ 43 Q3
C3
B3
l1
41
21
31
N1
B1
Зад. 44 Главное меню

165. Задача 44

166.

Задача 44
Условия задачи:
Построить недостающие проекции точек, принадлежащих поверхности
сферы.
A2
C2
O2
O3
E2
P3
X
O1
B1

167.

Задача 44
Точка А :
Т.к в П1 проекция А2 принадлежит окружности, то очевидно что в П1 проекция
А1 будет лежать на экваторе окружности, т.е. на штрихпунктирной линии :
A2
C2
O2
O3
E2
P3
X
O1
A1
B1

168.

Задача 44
В П3 проекция А3 также будет лежать на штрихпунктирной линии:
A2
A3
C2
O2
O3
E2
P3
X
O1
A1
B1

169.

Задача 44
Точка В :
Проекция точки В в П1 лежит на окружности. Значит в П2 Проекция В2 будет
лежать на экваторе (штрихпунктирной линии) :
A2
A3
C2
B2
O2
O3
E2
P3
X
O1
A1
B1

170.

Задача 44
Чтобы найти В3 проведем через точку вспомогательную плоскость 1 . 1 будет
горизонтально проецирующая :
21
A2
A3
C2
B2
O2
O3
E2
P3
X
O1
A1
B1

171.

Задача 44
Плоскость пересекает сферу по окружности. Начертим в П3 ту ее часть, на
которой будет лежать проекция В3 :
21
A2
A3
C2
B2
O2
O3
E2
P3
X
O1
A1
B1

172.

Задача 44
В точке пересечения с экватором окружности ставим В3
21
A2
A3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
B3
P3

173.

Задача 44
Точка С :
Для нахождения С3 через точку С проведем вспомогательную секущую
горизонтально прецирующую плоскость 2 :
21
22
A2
A3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
B3
P3

174.

Задача 44
Плоскость будет пересекать сферу по окружности. Начерти часть ее в П3
21
22
A2
A3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
B3
P3

175.

Задача 44
Теперь по принадлежности найдем С3 :
21
22
A2
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
B3
P3

176.

Задача 44
Для нахождения С1через точку С проведем D1 – секущую профильно
проецирующую плоскость:
21
22
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
B3
P3

177.

Задача 44
На П1 рисуем окружность по которой D1 пересекает сферу
21
22
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
B3
P3

178.

Задача 44
По принадлежности находим С1 :
21
22
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
B3
P3

179.

Задача 44
Точка
Е:
Т.к. в П2 проекция точки Е лежит на экваторе окружности (штрихпунктирной
линии) то в П1 проекция точки Е будет лежать в нижней части окружности:
21
22
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
B3
P3

180.

Задача 44
Для нахождения Е3 воспользуемся вспомогательной плоскостью . Начертим 3
– горизонтально проецирующую
21
22
23
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
B3
P3

181.

Задача 44
В П3 проведем ту часть окружности, по которой 3 пересекает сферу, где лежит
проекция Е3 .
21
22
23
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
B3
P3

182.

Задача 44
По принадлежности находим Е3. проекция будет невидимой.
21
22
23
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
E
B3
P3
3

183.

Задача 44
Точка Р:
Чтобы построить проекцию Р2 , проведем вспомогательную горизонтально
проецирующую плоскость плоскость 4
21
22
23
34
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
E
B3
P3
3

184.

Задача 44
Плоскость пересекает сферу по окружности. Начертим ту ее часть, где будет
лежать проекция Р2
21
22
23
34
A2
D21
A3
C3
C2
B2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
E
B3
P3
3

185.

Задача 44
По принадлежности находим проекцию точки Р2
21
22
23
34
A2
D21
A3
C3
C2
B2
P2
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
E
B3
P3
3

186.

Задача 44
Чтобы найти Р1 проведем ещё одну вспомогательную плоскость D2 –
профильно проецирующую
21
22
23
34
A2
D21
A3
C3
C2
B2
P2
D22
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
E
B3
P3
3

187.

Задача 44
D2 пересекает сферу по окружности. В П1 начертим ту её часть, где лежит
проекция Р1
21
22
23
34
A2
D21
A3
C3
C2
B2
P2
D22
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
C1
E1
E
B3
P3
3

188.

Задача 44
Теперь по принадлежности находим Р1
22
21
23
34
A2
D21
A3
C3
C2
B2
P2
D22
O2
O3
E2
X
O1
A1
B1
P1
C1
E1
E
B3
P3
3

189.

Задача 44
22
21
23
34
A2
D21
A3
C3
C2
B2
P2
D22
O2
O3
E2
E
B3
P3
3
X
O1
A1
B1
P1
C1
E1
Зад. 45 Главное меню

190. Задача 45

191.

Задача 45
Условия задачи:
Построить проекции точек, принадлежащих поверхности конуса.
S3
S
A
2
2
E
F
3
3
B
X
2
O
O
2
D
1
S1 ≡
O1
C
1
3

192.

Задача 45
Точка А :
На П2 находится на левой крайней образующей . Поэтому на П1 и П3 проекции
точки будут лежать на штрихпунктирных линиях. По принадлежности находим
проекцию А1 :
S3
S
A
2
2
E
F
3
3
B
X
2
O
O
2
D
1
A
1
S1 ≡
O1
C
1
3

193.

Задача 45
Затем проекцию А3 :
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
3
B
X
2
O
O
2
D
1
A
1
S1 ≡
O1
C
1
3

194.

Задача 45
Точка В :
Для нахождения проекции В1 через точку В проведем вспомогательную
плоскость горизонтального уровня.
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
3
B
X
2
O
O
2
D
1
A
1
S1 ≡
O1
C
1
3

195.

Задача 45
Эта плоскость пересекает конус по окружности. Радиус можно
измерить на П2 (он выделен зеленым цветом, используйте кнопку
видео). Начертим эту окружность на П1 :
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
3
B
X
2
O
O
2
D
1
A
1
S1 ≡
O1
C
1
3

196.

Задача 45
Теперь по принадлежности находим проекцию В1 лежащую на окружности.
Проекция будет лежать в нижней части окружности.
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
l2
B
X
2
l31
B
O
3
O
2
D
1
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
3

197.

Задача 45
Точка С :
На П1 проекция С1 лежит на штрихпунктирной линии. Значит и на П2 проекция
точки С будет лежать на штрихпунктирной линии.
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
l2
B
X
2
l31
B
O
3
O
2
D
1
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
3

198.

Задача 45
С помощью соединительных линий находим С2 :
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
X
l2 C
B 2
l31
B
O
3
2
O
2
D
1
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
3

199.

Задача 45
В П3 проекция С3 будет лежать на правой крайней образующей:
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
X
l2 C
B 2
l31
O
3
2
B
O
2
D
1
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
3
C
3

200.

Задача 45
Точка D лежит на нижнем основании конуса поэтому ее проекцию D2 можно
найти с помощью соединительных линий . Проекция D2 невидимая :
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
l2 C
B 2
X
2
l31
B
O
D
2
2
O
D
3
1
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
3
C
3

201.

Задача 45
Для нахождения проекции D3 на П2 проведем вспомогательную прямую q
параллельную правой крайней образующей:
S3
A
S
A
2
3
2
E
F
3
q
l2 C
B 2 2
X
2
l31
B
O
D
2
2
O
D
3
1
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
3
C
3

202.

Задача 45
Найдем проекцию прямой q на П3 :
S3
A
S
A
2
3
2
E
q
q
l2 C
B 2 2
X
2
1
B
1
l31
B
1
O
D
2
2
O
D
3
1
A
F
3
S1 ≡
O1
C
1
3
C
3

203.

Задача 45
Теперь в точке пересечения с основанием конуса ставим проекцию D3 –
невидимую :
S3
A
S
A
2
3
2
E
q
q
l2 C
B 2 2
X
2
1
B
1
l31
B
1
O
D
2
2
D O
D
3
1
A
F
3
S1 ≡
O1
C
1
3
3
C
3

204.

Задача 45
Точка Е :
S3
A
S
A
2
3
2
E
q
q
l2 C
B 2 2
X
2
1
B
1
l31
B
1
O
D
2
2
D O
D
3
1
A
F
3
S1 ≡
O1
C
1
3
3
C
3

205.

Задача 45
На П3 точка E лежит на левой крайней образующей, поэтому очевидной что на
П2 проекция точки E будет лежать на штрихпунктирной линии. По
принадлежности находим E2 :
S3
A
S
A
2
3
2
E
E
2
3
q
q
l2 C
B 2 2
X
2
1
B
1
l31
B
1
O
D
2
2
D O
D
3
1
A
F
S1 ≡
O1
C
1
3
3
C
3

206.

Задача 45
А на П1 проекция точки E1 будет лежать на окружности. Радиусом этой
окружности будет зеленая прямая(используйте кнопку видео) :
A
A
3
2
E
E
2
3
q
q
l2 C
B 2 2
X
2
1
B
1
B
O
D
2
2
D O
D
3
E
A
l31
1
1
1
F
S1 ≡
O1
C
1
3
3
C
3

207.

Задача 45
Точка F :
Чтобы найти проекцию F2, проведем в П3 через точку F прямую k ║ образующей
цилиндра совпадающей со штрихпунктирной линией.
S3
A
S
A
2
3
2
E
E
2
3
q
X
O
D
2
2
D O
D
3
E
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
l31
B
1
1
1
1
q
l2 C
B 2 2
2
k F
3
3
C
3

208.

Задача 45
На П2 эта образующая показана жирной линией (она мигает):
S3
A
S
A
2
3
2
E
E
2
3
q
X
O
D
2
2
D O
D
3
E
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
l31
B
1
1
1
1
q
l2 C
B 2 2
2
k F
3
3
C
3

209.

Задача 45
Исходя из этого находим проекцию k2 прямой.
S3
A
S
A
2
3
2
k
2
E
E
2
3
q
X
O
D
2
2
D O
D
3
E
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
l31
B
1
1
1
1
q
l2 C
B 2 2
2
k F
3
3
C
3

210.

Задача 45
Теперь по принадлежности находим проекцию F2:
S3
A
S
A
2
3
2
k
F2
2
X
E
E
2
3
q
O
D
2
2
D O
D
3
E
A
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
l31
B
1
1
1
1
q
l2 C
B 2 2
2
k F
3
3
C
3

211.

Задача 45
Аналогично тому как мы находили проекцию В1 точки В находим проекцию F1
S3
A
S
A
2
3
2
k
F2
2
E
2
3
q
k F
1
q
l2 C
B 2 2
2
X
E
l31
C
3
B
1
O
D
2
2
D O
D
3
3
3
1
E
1
A
F
1
1
B
1
S1 ≡
O1
C
1
Главное меню

212. Построить развертку наклонной призмы. На развертке определить положение точки M, принадлежащей видимой грани.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
C
2
1
C'
1
B'
1
A
1
C
1
B
1
Задача №46
Построить развертку
наклонной призмы. На
развертке определить
положение точки M,
принадлежащей видимой
грани.

213.

A'
B'
2
C'
2
Дано: фронтальная и
горизонтальная проекции
наклонной
призмы, фронтальная проекция
точки M, принадлежащей грани
AA’B’B.
2
M
2
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
C
2
1
C'
1
B'
1
A
1
C
1
B
1

214.

A'
B'
2
C'
2
Построим диагональ A’1B1.
2
M
2
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
C
2
1
C'
1
B'
1
I
A
1
C
1
B
1

215.

A'
B'
2
C'
2
Построим диагональ B’1C1.
2
M
2
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
C
2
1
C'
1
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1

216.

A'
B'
2
C'
2
Построим диагональ C’1A1.
2
M
2
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
C
2
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1

217.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
C
2
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Найдем натуральную
величину диагоналей и
ребер способом
прямоугольного
треугольника.
Построим 1-ый катет,
равный разности
координат концов
отрезков диагоналей и
ребер на фронтальной
плоскости проекций.

218.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
C
2
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Найдем натуральную
величину ребер.
Построим 2-ой катет,
равный
горизонтальным
проекциям этих ребер.

219.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
C
2
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Гипотенуза – искомая
натуральная величина
ребер.

220.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
I
C
2
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Аналогично найдем
натуральную величину
диагонали A’B.

221.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
I
C
2
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Гипотенуза – искомая
натуральная величина
диагонали A’B..

222.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
I
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Аналогично найдем
натуральную величину
диагонали B’C.

223.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
I
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Гипотенуза – искомая
натуральная величина
диагонали B’C.

224.

A'
B'
2
C'
2
2
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
III
I
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Аналогично найдем
натуральную величину
диагонали C’A.

225.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
III
I
Гипотенуза – искомая
натуральная величина
диагонали C’A.

226.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
A'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Построим первый элемент развертки –
натуральную величину ребра AA’.
A
III
I

227.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
A'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки радиусами A1B1 и A’B из
точек A и A’ соответственно. Точка
пересечения засечек – искомая точка B.
A
III
I

228.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
A'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Проводим ребро AB.
A
B
III
I

229.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
A'
1
I
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки радиусами AA’ и A’1B’1 из
точек B и A’ соответственно. Точка
пересечения засечек – искомая точка B’.
A
B
III
I

230.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим ребра BB’ и A’B’. 1-ая грань
призмы построена.
A
B
III
I

231.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки радиусами B’C и B1C1 из
точек B’ и B соответственно. Точка
пересечения засечек – искомая точка C.
A
B
III
I

232.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим ребро BC.
C
A
B
III
I

233.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки радиусами B’B и B’1C’1
из точек B’ и C соответственно. Точка
пересечения засечек – искомая точка C’.
C
A
B
III
I

234.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
C'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим ребра CC’ и B’C’. 2-ая грань
призмы построена.
C
A
B
III
I

235.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
C'
1
III
B'
C'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки радиусами C’A и C1A1 из
точек C’ и C соответственно. Точка
пересечения засечек – искомая точка A.
C
A
B
III
I

236.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
III
I
C'
1
III
B'
C'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим ребро CA.
C
A
B
A

237.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
III
I
C'
1
III
B'
C'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки радиусами C’C и C’1A’1
из точек A и C’ соответственно. Точка
пересечения засечек – искомая точка A’.
C
A
B
A

238.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
III
I
C'
1
III
B'
C'
A'
1
I
A'
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим ребра AA’ и C’A’. 3-я грань
призмы построена.
C
A
B
A

239.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
III
I
C'
1
III
B'
C'
A'
1
I
A'
B'
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки радиусами A’1B’1 и C’1B’1
из точек A’ и C’ соответственно. Точка
пересечения засечек – искомая точка B’.
C
A
B
A

240.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
III
I
B'
C'
1
III
B'
C'
A'
1
I
A'
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим ребра A’B’ и C’B’. 4-я грань
призмы построена.
C
A
B
A

241.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
1
III
I
B'
C'
1
III
B'
C'
A'
1
I
A'
B'
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки радиусами A’B’ и C’B’из
точек A и C соответственно. Точка
пересечения засечек – искомая точка B.
C
A
B
A

242.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим ребра AB и CB. Развертка
призмы построена.
C
A
B
A
B

243.

B'
A'
M
C'
2
2
2
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
IIII
B'
1
C'
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим горизонталь через
фронтальную проекцию точки M.
C
A
B
A
B

244.

B'
A'
M
C'
2
2
2
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Находим, в каком отношении эта
горизонталь делит натуральную величину
ребер.
C
A
B
A
B

245.

B'
A'
M
C'
2
2
2
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
A'
B
2
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Находим по принадлежности
горизонтальные проекции точек
пересечения горизонтали с ребрами
призмы.
C
A
B
A
B

246.

A'
B'
2
C'
2
2
M
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим проекцию горизонтали в
плоскости П1
C
A
B
A
B

247.

A'
B'
2
C'
2
2
M
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
M
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Находим по принадлежности
горизонтальную проекцию точки M.
C
A
B
A
B

248.

A'
B'
2
C'
2
2
M
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
M
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
II
B'
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечки, радиусы которых равны
A
большему из отрезков, на которые
горизонталь делит натуральные
величины ребер. Засечки делаем из точек
A и B.
C
B
A
B

249.

A'
B'
2
C'
2
2
M
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
M
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Проводим отрезок горизонтали на
развертке.
C
A
B
A
B

250.

A'
B'
2
C'
2
2
M
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
M
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
A
1
C
1
B
1
Сделаем засечку радиусом, равным
отрезку горизонтали между точкой M1 и
ребром B1B’1.
C
A
B
A
B

251.

A'
B'
2
C'
2
2
M
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
M
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
M
A
1
C
1
B
1
Строим точку M на развертке.
C
A
B
A
B

252.

A'
B'
2
C'
2
2
M
M
2
Н.В.
ребро
П
ПA
2
2
1
B
2
A'
II
C
2
III
I
1
B'
C'
1
M
1
III
B'
C'
A'
A'
1
I
B'
II
M
A
1
C
1
B
1
Задача решена.
C
A
B
A
B

253. Построить развертку эллиптического цилиндра с круговым основанием способом раскатки. На развертку нанести видимую точку М.

Задача № 47
Построить развертку эллиптического цилиндра с
круговым основанием способом раскатки. На развертку
нанести видимую точку М.
О2
М2
О'
2
О'
1
О1

254.

О2
М2
Дано: фронтальная и
горизонтальная проекции
эллиптического цилиндра с
круговым основанием,
фронтальная проекция видимой
точки M.
О1
О'
2
О'
1

255.

О2
М2
Разделим фронтальную проекцию
основания цилиндра на 8 равных
частей.
О1
О'
2
О'
1

256.

7
О2
М2
6
О'
2
5
4
О1
1
2
3
Будем раскатывать цилиндр по
часовой стрелке.
8
О'
1

257.

7
О2
М2
6
О'
2
5
4
О1
1
2
3
Находим по принадлежности
горизонтальные проекции
пронумерованных точек.
8
О'1

258.

7
О2
М2
6
5
4
Проведем через
пронумерованные точки линии,
перпендикулярные к
горизонтальным проекциям
образующих цилиндра.
О1
О'
2
8
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'

259.

О2
М2
6
О'
2
5
4
На горизонтальной плоскости
проекций от точки 1 до линии 2
отложим хорду, стягивающую токи
1 и 2 на фронтальной плоскости
проекций.
О1
7 8
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
2

260.

7
О2
М2
6
5
4
Далее из полученной точки
откладываем такую же хорду так,
чтобы она пересекала линию 3.
О'
2
8
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
3
О1

261.

О2
М2
6
5
7
О'
2
4
Затем из вновь полученной точки
откладываем такую же хорду так,
чтобы она пересекала линию 4.
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
4
О1
8

262.

О2
М2
6
5
7
О'
2
4
Потом из вновь полученной точки
откладываем такую же хорду так,
чтобы она пересекала линию 5.
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
5
О1
8

263.

7
О2
М2
6
5
4
И так далее, до тех пор, пока не
построим 8 точек.
8
О'
2
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
6
О1

264.

О2
М2
6
7
8
О'
2
5
4
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
7
О1

265.

О2
М2
6
7
8
О'
2
5
4
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
8
О1

266.

О2
М2
6
7
8
О'
2
5
4
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
1
О1

267.

О2
М2
6
О1
8
О'
2
5
4
В итоге построено 8 точек
7
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'

268.

О2
М2
6
О1
8
О'
2
5
4
Проведем через полученные
точки линию основания цилиндра.
7
1
2
3
5 6 4 3 7 О'
18 2 1

269.

О2
М2
6
О1
8
О'
2
5
4
Через эти же точки проводим 8
взаимно параллельных
образующих цилиндра.
7
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'

270.

О2
М2
6
О1
8
О'
2
5
4
Через конечные точки этих
образующих проводим линию 2-го
основания цилиндра.
7
1
2
3
182 1
5 6 4 3 7 О'

271.

О2
М2
6
О1
8
О'
2
5
4
Перенесем на развертку
фронтальные проекции оснований
цилиндра без изменений.
7
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'

272.

О2
М2
6
О1
8
О'
2
5
4
Развертка цилиндра способом
раскатки построена.
7
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'

273.

О2
М2
6
О1
8
О'
2
5
4
Проводим образующую цилиндра
через точку M на фронтальной
плоскости проекций.
7
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'

274.

О2
М2
6
О1
8
О'
2
5
4
Проводим эту же образующую в
горизонтальной плоскости
проекций.
7
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'

275.

О2
М2
6
8
О'
2
5
4
Проводим эту образующую на
развертке без изменений.
7
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
8
О1

276.

О2
М2
6
8
О'
2
5
4
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
Находим по
принадлежности
горизонтальную
проекцию точки M.
М1
О1
7

277.

О2
6
М2
8
О'
2
5
4
Находим точку M на
развертке. Для этого
через M1 проводим
прямую
перпендикулярную
образующей до
пересечения с этой
образующей на
развертке.
7
1
2
3
18 2 1
5 6 4 3 7 О'
М1
О1
М

278.

О2
М2
О'
2
О'
1
Задача решена.
М1
О1
М

279.

Задача №49

280.

Задача №49
Условие задачи: построить линию пересечения сферы с плоскостью
02
2
03

281.

Задача №49
Находим опорные точки (1,4) и точки смены видимости (2,3):
42
43
02
03
33
22 32
2
12
23
13

282.

Задача №49
Находим промежуточные точки(5,6,7,8):
42
52
02
43
63
62
53
03
33
72
82
22
32
73
83
R
2
12
13
23

283.

Задача №49
Строим линию пересечения сферы и плоскости :
42
52
02
43
63
62
53
03
33
72
2
12
82
22
32
73
83
13
23

284.

Задача №49
Ответ:
42
52
02
43
63
62
53
03
33
72
12
82
22
32
73
83
13
23

285.

Задача №50

286.

Задача №50
Условие задачи: построить проекции и
натуральную величину сечения
пирамиды плоскостью
S2
B2
A2
C2
B1
A1
C1
S1
2

287.

Задача №50
Находим точки пересечения ребер пирамиды AB(т.1), AC(т.2), SB(т.3), SC(т.4)
и плоскости :
S2
52
h2
42
32
12
22
C2
B2
A2
11
B1
31
A1
2
21
51
C1
41
S1

288.

Задача №50
Находим проекцию сечения и определяем его видимость(если линии лежат
на видимых гранях, то они также видимы; если нет, то линии невидимы):
S2
2
52
h2
42
32
12
22
C2
B2
A2
11
B1
31
A1
21
51
C1
41
S1

289.

Задача №50
45
П5
Находим проекции точек
пересечения на
плоскость П5 для нахождения
натуральной величины
сечения:
П2
S2
35
52
25
h2
42
15
32
12
22
C2
B2
A2
11
B1
31
A1
2
21
51
C1
41
S1

290.

Задача №50
45
П5
Находим натуральную
величину сечения:
П2
S2
35
52
25
h2
42
15
32
12
22
C2
B2
A2
11
B1
31
A1
2
21
51
C1
41
S1

291.

Задача №50
45
П5
Ответ:
П2
S2
35
52
25
h2
42
15
32
12
22
C2
B2
A2
11
B1
31
A1
2
21
51
C1
41
S1

292.

Задача №51

293.

Задача №51
Условие задачи: построить
линию пересечения поверхности
конуса с плоскостью
S2
S1
1

294.

Задача №51
Находим опорные точки(1,2),
точки смены видимости(3) и
промежуточные точки(4):
S2
32
42
12
22
11
41
R
S1
31
21
1

295.

Задача №51
Находим дополнительно промежуточные
S точки(5,6):
2
32
42
52
62
12
11
22
51
R
41
S1 R
31
61
21
1

296.

Задача №51
Находим линию пересечения
конуса и плоскости :
S2
32
42
52
62
12
11
22
51
S1
41
31
61
21
1

297.

Задача №51
Ответ:
S2
32
42
52
62
12
11
22
51
S1
41
31
61
21
1

298.

Задача №52

299.

Задача №52
Условие задачи: построить линию пересечения поверхности призмы с плоскостью (H0 f0)
A2'
A2
B2 '
C1 '
C1
h10
C2 '
C2
B2
A1'
h0
f0
A1
B1 '
B1
f2

300.

Задача №52
И поверхность(призма) и плоскость - общего положения, поэтому выполняем преобразование
комплексного чертежа, т.е. строим проекции вершин призмы и след плоскости на П4:
A2'
f0
B2 '
f2
C2 '
12
A2
C2 11
B2
C1 '
A1'
C1
h0
h10
A1
B1 '
14
C4
C4 '
B1
A4
П1
П4
B4
A'4 B'4

301.

Задача №52
Строим проекцию призмы на плоскость П4 и линию пересечения призмы
и плоскости :
0
f2
f
'
A2
B2 '
C2 '
12
A2
C2 11
B2
C1 '
A1'
C1
h0
h10
A1
B1 '
14
C4
C4 '
B1
П1
A4
П4
B4
A'4 B'4

302.

Задача №52
Строим проекции точек пересечения призмы и плоскости на плоскости П1 и П2:
A2'
f0
B2 '
f2
C2 '
12
A2
C2 11
B2
C1 '
A1'
C1
h0
h10
A1
B1 '
14
C4
C4 '
B1
П1
A4
П4
B4
A'4 B'4

303.

Задача №52
Строим линию пересечения призмы с плоскостью (ответ) :
A2'
f0
B2 '
f2
C2 '
12
A2
C2 11
B2
C1 '
A1'
C1
h0
h10
A1
B1 '
14
C4
C4 '
B1
П1
A4
П4
B4
A'4 B'4

304. Задача № 53

2
Задание: построить
линию
пересечения
поверхности тора
плоскостью .

305. Решение задачи № 53

Поверхность тора проецирующего положения, тогда
несколько проекций линии
пересечения тора с плоскостью на чертеже уже есть,
их нужно обозначить, а вторые проекции найти по принадлежности. Недостающие
проекции линии пересечения находим с помощью
проведения вспомогательных прямых (M,N,O).
12 22
M2
N2
2
32 42 52 62
72 82 92
102 112
O2
122 132
142
101
71
31
121
11
41
141
81
51
131
21
61
111
91

306. Задача № 54

Задание:
a)
Построить точки пересечения линии L с заданными
поверхностями.
S2
б)
а2
S2
l2
В2
А2
O2
C2
х
x
А1
C1
S1
O 1 S1
l1
а1
В1

307. Задача № 54

в)
г)
а2
о2
а2
x
а1
о1
а1

308. Для того чтобы определить точки пересечения прямой с поверхностью надо: · Через прямую провести произвольную вспомогательную

Решение задачи 54а:
Для того чтобы определить
точки пересечения прямой с
поверхностью надо:
Через прямую провести
произвольную вспомогательную
плоскость ( ). В нашем случае
плоскостью явл-ся треугольник,
подобный основанию пирамиды.
Построить линии пересечения
плоскости с поверхностью.
И там где данные линии
пересекают прямую находятся
точки пересечения прямой с
поверхностью.
a)
l2 2
S2
12
22
А2
В2
C2
x
А1
C1
S1
11
l1
21
В1

309. Решение задачи 54б:

Для решения данной
задачи требуется провести
образующую конуса,
которая пересекает прямую
a в точке К. получившаяся
точка К является точкой
пересечения прямой а с
заданной поверхностью
конуса.
б)
S2
а2
К2
O2
х
а1
O 1 S1
К1

310. Решение задачи 54в:

в)
В данной задаче поверхностью
является цилиндр горизонтальнопроецирующего положения,
а
значит дополнительных
плоскостей проводить не надо.
x
Но при нахождении точек
пересечения нужно быть
внимательным, так как точка 2 на
фронтальной плоскости проекции
будет невидимой.
а1
22
12
2
21
1
1

311. Решение задачи 54г:

г)
Порядок решения этой задачи
такой же как и у з. 54а. Сперва
проводим вспомогательную
плоскость ( ). этой плоскостью
будет окружность. Затем строим
линии пересечения плоскости с
поверхностью. И там где данная
окружность пересекает прямую
находятся точки пересечения
прямой с заданной поверхностью.
а 2 2
12
о2
22
а1
о1
11
21

312. Задача № 55

Задание: построить точки
S2
B2
22
12
A2
О2
X
S1
О1
A1
11
21
B1
пересечения прямой АВ с поверхностью конуса.
Решение:чтобы определить
точки пересечения прямой с
поверхностью конуса нужно
через прямую провести вспомогательную произвольную
плоскость (через следы плоскости h0 и f0). Затем построить
линии пересечения поверхности конуса с этой плоскостью.
И там где эти линии пересекают прямую АВ, и есть точки
пересечения прямой АВ с поверхностью конуса. Обе точки
– видимые.

313. Задача № 56

Задание: построить точки
A2
12
22
B2
X
A1
11
21
B1
пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра. Опреде-лить
видимость.
Решение данной задачи анало-гично
решению предыдущей задачи: сперва
нужно через прямую провести вспомогательную произвольную плоскость (через следы плос-кости h0 и f0).
Затем построить линии пересечения
поверхности цилиндра с этой плоскостью. И там где эти линии пересекают прямую АВ, и есть точки пересечения прямой АВ с поверхностью
цилиндра. Обе точки – видимые.

314.

П2 П3
12
M2
13
O2
M3
K3
K2
22
15
M5
K5
O3
23
Построить точки пересечения
сферы с прямой l, применив
25
O5
способ замены плоскостей проекций

315.

Будет ли виден самолет (точка А),движущийся в
Направлении S, наблюдателю (точка
22’B),
Смотрящему в иллюминатор?
22
12’
32’
12
32
A2
42’
42
A1
31
11
32’
21 41
11’
21’ 42’

316.

Построить линию
пересечения
цилиндра и конуса.
22
32 32’
42
12 12’
11
31
21
41
31’
11’

317.

E2
Достроить горизонтальную
проекцию пирамиды с
призматическим
отверстием
12 12’ 52’
52
Г2 62 42 42’
61
41
51
32
22 22’ 62’
11
21 61’
51’
41’
11’
31
21’

318.

Г2
Z2
42
32 32’
42’
22 22’
12
Построить линию 52 52’
пересечения конуса
и призмы.
51
62
4 1 31
21
S1
31’ 21’
51’
41’
1 1 61

319.

Задача №62.
Задание: построить линию пересечения цилиндра и сферы.

320.

О2
Дано:
О1

321.

О2
Дано:
Решение:
О1

322.

О2
Дано:
Решение:
О1
Проведем вспомогательную плоскость
∆1
∆1

323.

О2
Дано:
Решение:
О1
Обозначим точку
пересечения ∆1 с
цилиндром
∆1
21

324.

О2
Дано:
Решение:
О1
Построим окружность,
образовавшуюся при
пересечении ∆1 сферы,
в п2(в пределах
цилиндра)
∆1
21

325.

О2
Дано:
Решение:
22
О1
Спроецируем точку 21
на п2.
∆1
21

326.

О2
Дано:
Решение:
22
О1
∆5
∆4
Проведем в п1
вспомогательные
плоскости ∆2, ∆3, ∆4 и
∆5 .
∆3
∆2
∆1
21

327.

О2
Дано:
42
Решение:
32
62
22
52
72
12
О1
∆5
41
51
71
81
1
Проделаем аналогичные 1
операции, как в случае с ∆1.
∆4
31
61
21
∆3
∆2
∆1

328.

О2
Дано:
32
42
Решение:
62
62
22
52
72
12
О1
∆5
41
51
71
Красная линия – линия 11
пересечения двух данных
поверхностей.
∆4
31
81
61
21
∆3
∆2
∆1

329. 63. Построить линию пересечения конуса и сферы.

S2
O'2
O2
O‘1
Задача №63
S1=O1

330. 1. Строим вспомогательные секущие плоскости.

S2
O'2
O2
Затем на фронтальной проекции
замеряем расстояния от оси цилиндра
до его образующих, и этим радиусом
проводим окружности на
горизонтальной проекции с центром в
т. О1.
Потом замеряем расстояние от оси
шара до окружности ( на фронт.
проекции) и строим окружности на
горизонтальной проекции.
Точки их пересечения и будут точками
пересечения двух поверхностей.
O‘1
Задача №63
S1=O1

331. Строим точки пересечения поверхностей.

S2
42
По аналогии строим остальные точки
пересечения плоскостей.
Точки расположенные на оси
поверхностей, будут точками смены
видимости.
O'2
=> 1 и 2 – точки смены видимости.
12=22
32
O2
11
31
S1=O1
O‘1
41
21
Задача №63
Точки 3 и 4 – опорные точки, т.к. лежат
на пересечении образующей конуса с
сферой.

332. Строим саму линию пересечения.

S2
12=22
σ2
O'2
O2
11
S1=O1
O‘1
21
Задача №63

333. 64. Построение линии пересечения конуса и цилиндра.

Задача №64

334. На ПРОФИЛЬНОЙ проекции цилиндр занимает проецирующее положение, => на ПРОФИЛЬНОЙ проекции линия пересечения уже есть.

На ПРОФИЛЬНОЙ проекции цилиндр занимает проецирующее
положение, => на ПРОФИЛЬНОЙ проекции линия пересечения уже
есть.
Задача №64

335. 1.Строим вспомогательные плоскости уровня.

S2
S1
Задача №64
S3

336. 2.Строим линию пересечения, замеряем r, на фронтальной проекции и делаем засечки на соответствующих вспомогательных плоскостях,

горизонтальной проекции. Полученные точки будут принадлежать линии
пересечения.
S3
S2
32
33=43
42
Σ3
Σ3
11
Задача №64
31
S1
41
21
В3
13=23
22
12
А3
Для плоскости Σ3, r является
отрезок АВ, то есть расстояние
от оси конуса, до его
образующей.

337. Строится искомая линия пересечения.

S3
S2
32
33=43
42
А3
Σ3
72=82
52=62
53=63
71
51
11
Задача №64
21
61
S1
81
Σ3
31
41
73=83
13=23
22
12
В3
Точки, расположенные на оси
поверхностей будут точками смены
видимости => точки 5,6,7,8 –
точки смены видимости.

338. 65. Построить линию пересечения конуса и цилиндра.

S2
Задача №65
S3

339. На ПРОФИЛЬНОЙ проекции цилиндр находится в проецирующем положении => на ПРОФИЛЬНОЙ проекции линия пересечения уже есть.

На ПРОФИЛЬНОЙ проекции цилиндр находится в
проецирующем положении => на ПРОФИЛЬНОЙ проекции
линия пересечения уже есть.
S2
Задача №65
S3

340. Искомую линию пересечения находим согласно теореме Монжа: Если две поверхности второго порядка описаны около третьей

поверхности второго
порядка или вписаны в неё, то они пересекаются по двум кривым, плоскости
которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий
прикосновения.
=> строится вписанная сфера, и теперь теорема Монжа применима к этой задаче.
S2
Задача №65
S3