Частинні похідні вищих порядків. Змішані похідні. Теорема Шварца. Повний приріст і повний диференціал функції кількох змінних

1. Частинні похідні вищих порядків. Змішані похідні. Теорема Шварца. Повний приріст і повний диференціал функції кількох змінних.

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ
Факультет Електроніки та інформаційних
1
технологій
ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ.
ЗМІШАНІ ПОХІДНІ. ТЕОРЕМА ШВАРЦА.
ПОВНИЙ ПРИРІСТ І ПОВНИЙ ДИФЕРЕНЦІАЛ
ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ. ДИФЕРЕНЦІАЛИ
ВИЩИХ ПОРЯДКІВ.
Викладач: Білоус Олена Анатоліївна.
Підготував: Погуляй Олександр.Р. гр.ЕЛ-72
Суми - 2018

2. Зміст

ЗМІСТ
1. Частинні похідні вищих порядків
2. Мішанні похідні. Теорема Шварца.
3. Повний приріст та повний
диференціал функції кількох
змінних.
4. Диференціали вищих порядків.
5. Висновок
6. Список літератури
2

3. Частинні похідні вищих порядків

ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
3
Нехай функція z=f(x;y), (x;y) є D має частинні
похідні dz/dx=f`x (x;y) та dz/dx=f`y (x;y) можно
розглянути як нові функції в області D, які в області
D або в деяких її точках можуть мати частинні
похідні.
Частині похідні від частинних похідних першого
порядку називаються частинними похідними
другого порядку
Для z=f(x;y) двох незалежних змінних існують 4
частині похідні другого порядку

4.

4
Похідні другого порядку можно знову диференцювати.
Ананлогічно візначаються частинні похідні 3-го і вище порядків.
d3z/dx2dy=(d2z/dx2) – Спочатку двічі диференцюють по змінній х,
а потім один раз по змінній y.
Частинні похідні першого та другого порядка використовують в економічній
теорій поля, для дослідження моделей споживання виробничих функцій та
для розв’язування задач оптимізацій виробництва.
Приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції
Спочатку знаходимо перші частинні похідні
Тепер знаходимо по дві частинні похідні від
кожної з них

5. Мішані похідні.Теорема Шварца

МІШАНІ ПОХІДНІ.ТЕОРЕМА ШВАРЦА
5
Частинні похідні другого і вище порядків функції z=f(x;y)
називають мішанними частинними похідними.
d2z/dxdy; d2z/dydx; d3z/dydx2; d4z/dxdy3; - називають мішаними
В 1 пункті ми прийшли до висновка що
і
рівні
Отже, диференцювання функцій по різним змінним не
залежить від послідовності за цими змінними.
Але від чого залежить ? На це питання відповів К.Г.Шварц
Для будь яких мішаних похідних, які відрізняються
між собою лише порядком диференціювання
мішані похідні одного порядку рівні між собою
К.Г.Шварц

6. Повний приріст та повний диференціал функції кількох змінних.

ПОВНИЙ ПРИРІСТ ТА ПОВНИЙ
ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ.
6
Якщо двом змінним дати прирощення, то функція отримає повний
приріст
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
Якщо частинні похідні неперевні в т. М