ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
Похідна функції
Алгоритм знаходження похідної
Геометрична інтерпретація похідної функції в точці
Фізичний зміст похідної функції
Правила диференціювання
Таблиця знаходження похідних елементарних функцій
Таблиця знаходження похідних елементарних функцій
Приклади визначення похідної функції
Диференціювання складених функцій
Диференціювання складених функцій
Таблиця похідних складених функцій
Таблиця похідних складених функцій
Приклади знаходження похідних складених функцій
Функція багатьох змінних
Частинні похідні функції багатьох змінних
Приклад знаходження частинних похідних
ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ
Приклади знаходження диференціала функції
ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!
396.00K
Category: mathematicsmathematics

Диференціальне числення. Похідна функції (лекція 1.2)

1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Лекція 1.2

2. Похідна функції

y
y=f(x)
f(x0+ x)
f(x)
f(x0)
0
x0
x
x0+ x x
Графічне зображення приросту
функції і приросту аргументу.
Похідною від функції
y=f(x)
по аргументу х
називається границя
відношення приросту
функції до приросту
аргументу, коли приріст
аргументу прямує до
нуля:
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x) lim
x 0
x
dy
dx

3. Алгоритм знаходження похідної

1) y f ( x) f ( x0 x) f ( x0 )
у
2)
х
у
3) y lim
x 0 х

4. Геометрична інтерпретація похідної функції в точці

f ( x0 ) k tg

5.

f ( x0 ) k tg
• Геометричний зміст похідної
полягає у тому, що значення похідної
функції y=f(x) у точці x0 дорівнює
кутовому коефіцієнту дотичної до
графіка функції у точці з абсцисою
x 0:

6. Фізичний зміст похідної функції

y f ( x) S (t )
S (t0 ) (t0 ) lim
t 0
S
t
-
миттєва швидкість
S (t0 ) (t0 ) a(t0 ) - прискорення
•Миттєва швидкість прямолінійного руху
дорівнює похідній шляху за часом руху
•Похідна від швидкості по часу(або друга
похідна від шляху) є прискоренням

7. Правила диференціювання

(u ) u
- похідна алгебраїчної
суми функції;
(u ) u u
- похідна добутку функції;
u u u - похідна від частки
2
функцій.

8. Таблиця знаходження похідних елементарних функцій

9. Таблиця знаходження похідних елементарних функцій

10. Приклади визначення похідної функції

№1
( y) ( x 2 sin x) ( x 2 ) (sin x) 2 x cos x
№2
1
1
( y ) ( x ln x) ( x ) ln x (ln x) x
ln x x
x
2 x
№3
( y) (
x
( x) cos x (cos x) x 1 cos x ( sin x) x cos x x sin x
)
2
2
cos x
cos x
cos x
cos2 x

11. Диференціювання складених функцій

12. Диференціювання складених функцій

y sin 2 x,
- складена функція
y sin u ( x), u ( x) 2 x,
y f (u ( x))
- загальний вигляд
складеної функції, де
- проміжний аргумент
u (x)
Похідна складеної функції
( y ) x f (u ( x)) f (u ) u ( x)

13. Таблиця похідних складених функцій

14. Таблиця похідних складених функцій

15. Приклади знаходження похідних складених функцій

№1
(cos 4 x) sin 4 x (4 x) 4 sin 4 x
№2
2
2
(cos 4 x) 3 cos 4 x (cos4 x) 12 cos 4 x sin 4 x
3

16. Функція багатьох змінних

S ab
• площа прямокутника: (де a і
b- довжини сторін),
V abc
• об’єм паралелепіпеда: (де a і
b - довжини сторін основи, а
c - висота).
S S ( a , b)
• Дані формули задають
функції двох і трьох змінних
V V (a, b, c)
z f ( x, y)
• Функція двох змінних,
представлена у загальному
вигляді

17. Частинні похідні функції багатьох змінних

• Частинна похідна першого порядку функції по
аргументу x:
x f
f ( x x; y) f ( x; y) f
lim
lim
f x
x 0 x
x 0
x
x
• Частинна похідна першого порядку функції по
аргументу у:
y f
f ( x; y y ) f ( x; y ) f
lim
lim
f y
y 0 y
y 0
y
y

18. Приклад знаходження частинних похідних

Знайти частинні похідні функції по x i по y
z ( x, y ) x 2 4 y 3
z
z x ( x 2 4 y 3 ) x ( x 2 ) x (4 y 3 ) x 2 x 0 2 x
x
z
z y ( x 2 4 y 3 ) y ( x 2 ) y (4 y 3 ) y 0 12 y 2 12 y 2
y

19. ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ

df f ( x) dx
df d x f d y f , або
f
f
df dx dy
x
y
• Диференціал
функції однієї
змінної
• Повний
диференціал
функції двох
змінних

20. Приклади знаходження диференціала функції

• Знайти диференціал функції
у ln 4 x при x 1, x 0,1
Рішення :
( 4 x)
dy (ln 4 x ) dx
x
4x
4
1
1
x x 0,1 0,1
4x
x
1

21. ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!

English     Русский Rules